(新人教A)高三数学教案全集之2.4极限的四则运算(三)

课课 题题 2 42 4 极限的四则运算极限的四则运算 三三 教学目的 教学目的 1 熟练运用极限的四则运算法则 求数列的极限 2 理解和掌握三个常用极限及其使用条件 培养学生运用化归转化和分类讨论的思想解 决数列极限问题的能力 3 正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限 从近似中认识精确 从量变中认识质 变的一种辩证唯物主义的思想 4 掌握无穷等比数列各项的和公式 教学重点 教学重点 使用极限四则运算法则及 3 个常用极限时的条件 教学难点 教学难点 使用极限四则运算法则及 3 个常用极限时的条件 授课类型 授课类型 新授课 课时安排 课时安排 1 课时 教教 具具 多媒体 实物投影仪 教学过程教学过程 一 复习引入 一 复习引入 1 数列极限的定义 一般地 如果当项数无限增大时 无穷数列的项无限趋近于某个常数 那么n n a n aa 就说数列以为极限 记作 n aalim n n aa 2 几个重要极限 1 2 C 是常数 0 1 lim n n CC n lim 3 无穷等比数列 的极限是 0 即 n q1 q 1 0lim qq n n 3 函数极限的定义 1 当自变量x取正值并且无限增大时 如果函数f x 无限趋近于一个常数a 就说当 x趋向于正无穷大时 函数f x 的极限是a 记作 f x a 或者当x 时 f x a x lim 2 当自变量x取负值并且绝对值无限增大时 如果函数f x 无限趋近于一个常数a 就说当x趋向于负无穷大时 函数f x 的极限是a 记作f x a或者当x 时 f x a x lim 3 如果f x a且f x a 那么就说当x趋向于无穷大时 函数f x 的极限 x lim x lim 是a 记作 f x a或者当x 时 f x a x lim 4 常数函数f x c x R R 有f x c x lim f x 存在 表示f x 和f x 都存在 且两者相等 所以f x 中的 既有 x lim x lim x lim x lim 又有 的意义 而数列极限an中的 仅有 的意义 x lim 5 趋向于定值的 函数极限概念 当自变量无限趋近于 时 如果函数x 0 x 0 xx 无限趋近于一个常数 就说当趋向时 函数的极限是 记作 xfy ax 0 x xfy a 特别地 0 lim xx f xa CC xx 0 lim 0 0 limxx xx 6 0 00 lim lim lim xx xxxx f xaf xf xa 其中表示当从左侧趋近于时的左极限 表示当从右侧 0 lim xx f xa x 0 x 0 lim xx f xa x 趋近于时的右极限 0 x 7 对于函数极限有如下的运算法则 如果 那么 BxgAxf oo xxxx lim limBAxgxf o xx lim BAxgxf o xx lim 0 lim B B A xg xf o xx 当 C 是常数 n 是正整数时 lim limxfCxCf oo xxxx n xx n xx xfxf oo lim lim 这些法则对于的情况仍然适用 x 8 数列极限的运算法则 与函数极限的运算法则类似 如果那么 lim limBbAa n n n n BAba nn n limBAba nn n lim BAba nn n lim 0 lim B B A b a n n n 二 讲解范例 二 讲解范例 一 运用极限的四则运算法则求数列的极限 例例 1 求 利用公式法 f x n f x n 100 2 1 lim x x x lim x lim 解 11 2 1 lim 2 1 lim 100100100 xx xx 例例 2 利用 0 1 1 lim 2 2 xx x x n x x 1 lim 解 1 11 1 1 1 lim 1 1 lim 2 2 2 2 xx x xx x xx 例例 3 分子有理化法 x x x 11 lim 0 解 2 1 11 1 lim 11 lim 11 lim 000 xxx x x x xxx 例例 4 分子有理化法 11 lim 22 xxx x 解 11 2 lim 11 lim 22 22 xx x xxx xx 1 11 2 1 1 1 1 2 lim 22 xx x 例例 5 求下列有限 1 2 13 12 lim n n n 1 lim 2 n n n 分析 1 2 当无限增大时 分式的分子 分母都无限增大 分子 分母都没有极限 n 上面的极限运算法则不能直接运用 解 1 111 2lim 2 lim2lim 212 limlim 111 313 3lim 3 lim3lim nnn nn nnn n nnn n nnn 2 2 22 11 lim limlim0 11 1 1lim 1 n nn n n nn n nn 二 先求和再求极限 例例 6 求下列极限 1 2 1 12 1 7 1 5 1 3 lim 2222 n n nnn n 3931 2421 lim 1 1 n n n 解 1 1 12 1 7 1 5 1 3 lim 2222 n n nnn n 2 2 222 2 2 3 21 1 357 21 2 2 limlimlimlim1 1 111 1 nnnn nn nnn n nnn n 1 1 21 2 1 242212 21 33 lim limlimlim0 11 1 3 9331 31 1 23 n nnn n nn nnnn n n 三 公比绝对值小于 1 的无穷等比数列前 n 项和的极限 公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前 n 项的和 当 n 无限增大时的极限 叫做这个 无穷等比数列各项的和 设无穷等比数列的公比的绝对值小于 1 则其各项的和 1 1 2 111 n qaqaqaaq S 为 q a S 1 1 1 q 例例 7 7 求无穷等比数列 0 3 0 03 0 003 各项的和 解 0 3 0 03 0 003 的首项 公比 1 0 3a 0 1q 所以 s 0 3 0 03 0 003 0 31 1 0 13 例例 8 8 将无限循环小数化为分数 92 0 解 0 290 290 00290 000029 2 246 2 1 11129 10 29 29 1 10101099 1 10 三 课堂练习三 课堂练习 1 求下列极限 1 2 3 32 lim 2 1 x x 132 lim 2 2 xx x 3 12 lim 4 xx x 4 5 6 143 12 lim 2 2 1 xx x x 1 1 lim 2 1 x x x 9 65 lim 2 2 3 x xx x 7 8 133 22 lim 23 2 xx xx x 5 2 lim 3 2 y yy y 答案 2 3 49 2 3 2 1 6 0 0 2 已知an 2 bn 求下列极限 n lim n lim 3 1 1 2an 3bn 1 2 n lim nn nn n ba ba lim 解 1 2an 3bn 1 2an 3bn 1 n lim n lim n lim n lim 2an 3bn 1 2 2 3 1 2 n lim n lim 3 1 2 5 7 3 1 2 3 1 2 limlim limlim lim lim lim n n n n n n n n nn n nn n nn nn n ba ba ba ba ba ba 3 求下列极限 1 2 1 5 lim 2 n n nn nn n 23 123 lim 2 2 解 1 5 05 1 lim5lim 1 5 lim 22 nn nnn 2 1 03 003 2 lim 3 lim 1 lim 2 lim3lim 2 3 12 3 lim 23 123 lim 22 2 2 n nn n nn nn nn nn nnn nn 4 求下列无穷等比数列各项的和 1 2 8 3 2 1 3 2 9 8 75 4 15 4 3 1 1 3 2 6 答案 1 32 63 2 5 6 5 化循环小数为分数 1 2 72 0 603 0 答案 1 3 11 2 34 111 四 小结四 小结 在函数或数列的极限都是存在的前提下 才能运用极限的运算法则进行计算 当无限n 增大 或 x 无限的趋向于某值 时 分式的分子 分母都无限增大 分子 分母都没有极限 分式的分子 分母都趋向于 0 则极限运算法则不能直接运用 无穷等比数列各项的和 公式 化循环小数为分数的方法 五 课后作业五 课后作业 1 13 14 15 13 lim 24 3 xx xx x 3 2 3 1 21 lim 32 x x x 352 6113 lim 2 2 1 xx xx x 16 17 18 352 6113 lim 2 2 xx xx