山东省栖霞市2019届高三数学模拟卷 理（含解析）

1 山东省栖霞市山东省栖霞市 20192019 届高三数学模拟卷届高三数学模拟卷 理 含解析 理 含解析 一 选择题一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一个选项符合题目要求在每小题给出的四个选项中 只有一个选项符合题目要求 1 已知全集 集合 则 u r 24 1 3 0 x axbxxx ua b a b c d 1 2 1 2 1 3 2 答案 b 解析 分析 化简集合a b 根据补集 交集的运算求解即可 详解 由可得 可得 所以集合 24 x 2x 1 3 0 xx 13x 所以 故选 b 2 1 3 ab 2 ua ua b 1 2 点睛 本题主要考查了集合的交集 补集运算 涉及指数不等式和二次不等式 属于中 档题 2 已知复数 为虚数单位 在复平面内对应的点在直线上 则实 i 1 i za i 2yx 数的值为 a a b c d 01 1 1 3 答案 d 解析 分析 根据复数的乘法运算 计算 根据对应点在在直线上可得出 za 详解 因为 对应的点为 因为点在直线 i 1 i 1 1 zaaa i 1 1 aa 上 所以 解得 故选 d 2yx 12 1 aa 1 3 a 点睛 本题主要考查了复数的运算 复数对应的点 属于中档题 2 3 小张刚参加工作时月工资为元 各种用途占比统计如下面的条形图 后来他加强了 5000 体育锻炼 目前月工资的各种用途占比统计如下面的拆线图 已知目前的月就医费比刚参加 工作时少元 则目前小张的月工资为 200 a b c d 5500600065007000 答案 a 解析 分析 根据条形图求得刚参加工作的月就医费 从而求得目前的月就医费 利用折线图可知目前 月就医费占收入的 从而可求得月工资 10 详解 由条形图可知 刚参加工作的月就医费为 元 5000 15 750 则目前的月就医费为 元 750200550 目前的月工资为 元 550 10 5500 本题正确选项 a 点睛 本题考查利用统计图表求解数据的问题 属于基础题 4 设均为不等于 的正实数 则 是 的 a b 11ab log 2log 2 ba a 充分不必要条件b 必要不充分条件 c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 答案 a 解析 分析 首先通过对数运算可判断出时 得到充分条件成立 当 1ab log 2log 2 ba 时 可根据对数运算求出或或 得到必 log 2log 2 ba 10ba 1ab 01ba 要条件不成立 从而可得结果 3 详解 由 可得 则 即 1ab lglg0ab lg2lg2 lglgab log 2log 2 ba 可知 是 的充分条件 1ab log 2log 2 ba 由可知 则 log 2log 2 ba lg2lg2 lglgab 11lglg 0 lglglg lg ba abab 或 lglg0 lg lg0 ba ab lglg0 lg lg0 ba ab 或或 10ba 1ab 01ba 可知 是 的不必要条件 1ab log 2log 2 ba 综上所述 是 的充分不必要条件 1ab log 2log 2 ba 本题正确选项 a 点睛 本题考查充分条件 必要条件的判断 关键是能够通过对数运算来进行判断 5 若 则 2 sin 43 sin2 a b c d 1 9 1 9 5 9 5 9 答案 b 解析 分析 根据诱导公式及角之间的关系 22 42 可利用余弦的二倍角公式求解 2 sic 2 n2cos os2 4 详解 因为 2 41 21 2sin1 2 4499 cos 又 2 sic 2 n2cos os2 4 4 所以 故选 b 1 sin2 9 点睛 本题主要考查了角的变换 诱导公式 属于中档题 6 已知函数和都是定义在上的偶函数 当时 则 f x 2 f x r 0 2 x 2xf x 2019 2 f a b c d 22 2 3 2 22 答案 b 解析 分析 由和都是定义在上的偶函数 可推导出周期为 4 而 f x 2 f x r 2019 2 f 即可计算 2019 2 f 42521 5 1 5 ff 详解 因为都是定义在上的偶函数 所以 即 2 f x r 2 2 fxf x 又为偶函数 所以 所以函数周期 4 f xfx f x 4 f xfxfx 4t 所以 故选 b 2019 2 f 2019 2 f 4 252 1 5 1 5 2 2ff 点睛 本题主要考查了函数的奇偶性 周期性 利用周期求函数值 属于中档题 7 若正整数除以正整数后的余数为 则记为 例如 nmn mod nnm 如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的 中国剩余定理 执行 102 mod4 该程序框图 则输出的 等于 i 5 a 4b 8 c 16d 32 答案 c 解析 初如值 n 11 i 1 i 2 n 13 不满足模 3 余 2 i 4 n 17 满足模 3 余 2 不满足模 5 余 1 i 8 n 25 不满足模 3 余 2 i 16 n 41 满足模 3 余 2 满足模 5 余 1 输出 i 16 选 c 8 将函数的图像向右平衡个单位长度 再把图象上所有点的横坐 2sin 2 6 f xx 6 标伸长到原来的倍 纵坐标不变 得到函数的图象 则下列说法正确的是 2 g x a 函数的最大值为b 函数的最小正周期为 g x31 g x c 函数的图象关于直线对称d 函数在区间上单调 g x 3 x g x 2 63 递增 答案 d 解析 6 分析 根据平移变换和伸缩变换的原则可求得的解析式 依次判断的最值 最小正周 g x g x 期 对称轴和单调性 可求得正确结果 详解 函数向右平移个单位长度得 f x 6 2sin 22sin 2 666 xx 横坐标伸长到原来的倍得 2 2sin 6 g xx 最大值为 可知错误 g x 2a 最小正周期为 可知错误 g x 2 b 时 则不是的对称轴 可知错误 3 x 66 x 3 x g x c 当时 此时单调递增 可知正确 2 63 x 0 62 x g x d 本题正确选项 d 点睛 本题考查三角函数平移变换和伸缩变换 正弦型函数的单调性 对称性 值域和 最小正周期的求解问题 关键是能够明确图象变换的基本原则 同时采用整体对应的方式 来判断正弦型函数的性质 9 已知双曲线与抛物线在第一象限交于点 若抛物线 22 22 1 0 0 xy ab ab 2 yx p 在点处的切线过双曲线的左焦点 则双曲线的离心率为 2 yx p 4 0 f a 2b c d 4 171 4 171 4 答案 d 解析 分析 设 求函数导数 利用导数的几何意义及切线斜率公式建立方程关系求出 2 p m m 2m 7 根据双曲线的定义求出即可 a c 详解 设 左焦点 抛物线在第一象限对应的函数为 2 p m m 4 0 f 0 f xxx 函数的导数 则在p处的切线斜率 1 2 fx x 2 2 11 2 2 kf m m m 又切线过焦点 所以 解得 则 设右焦点坐标为 2 1 42 m mm 2m 4 2 p 4 0 a 则 即 2 6842 171 apfpa 171a 所以 故选 d 171 4 c e a 点睛 本题主要考查了导数的几何意义 双曲线的定义 离心率 属于中档题 10 某空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的外接球半径为 a b c d 2352 2 答案 c 解析 分析 由三视图可知该棱锥的一条侧棱垂直底面 且高为 2 由三视图所给数据可知相邻的两个 侧面是全等的等腰直角三角形 其外接圆圆心为斜边中点 故可找到球心 且球心到底面 距离为 1 由正弦定理求底面外接圆半径 利用即可求解 22 rdr 详解 由三视图可知三棱锥的直观图如图 8 由三视图可知底面三角形是边长为 2 顶角的三角形 所以外接圆半径可由正弦定理 120 得 2 24 sin30 r 由侧面为两等腰直角三角形 可确定出外接圆圆心 利用球的几何性质可确定出球心 且 球心到底面的距离 所以球半径 故选 c 1d 22 5rdr 点睛 本题主要考查了三棱锥的外接球 球的截面圆的性质 三视图 属于中档题 11 设锐角三角形的内角所对的边分别为 若 则的 abc a b c a b c2 2aba b 取值范围为 a b 0 4 2 2 3 c d 2 2 2 3 2 2 4 答案 c 解析 分析 由题意可得且 解得的范围 可得的范围 由正弦定理求 02 2 a 3 2 a acos a 得由正弦定理可求得 根据的范围确定出范围即可 1 2cos 2 b ba a cos ab 详解 由锐角三角形的内角所对的边分别为 若 abc a b c a b c2 2aba 02 2 a 3aba 3 2 a 63 a 0 4 a 9 23 cos 22 a 2 2aba 由正弦定理得 即 1 2cos 2 b ba a 4cosba 2 24cos2 3a 则 b 的取值范围为 故选 c 2 2 2 3 点睛 本题主要考查了正弦定理 余弦函数的性质 属于中档题 解题关键是根据三角形 为锐角三角形 求出角a的取值范围 12 已知函数在上都存在导函数 对于任意的实数都有 当 f x r fx 2 e x fx f x 时 若 则实数的取值范围是 0 x 0f xfx e 21 1 a faf a a a b c d 2 0 3 2 0 3 0 0 答案 b 解析 分析 先构造函数 再利用函数奇偶性与单调性化简不等式 解得结果 详解 令 则当时 x g xe f x 0 x 0 x g xef xfx 又 所以为偶函数 xx gxefxe f xg x g x 从而等价于 211 a e faf a 211 21 1 21 1 aa efaef agag a 因此选 b 2 2 21 1 21 1 3200 3 gagaaaaaa 点睛 本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式 考查综合分析求解能力 属中档 题 10 二 填空题二 填空题 13 展开式中的的系数为 5 2 12xx 6 x 答案 30 解析 分析 利用组合知识 5 个相乘 其中含的项 可以 5 个括号中 3 个取 剩 2 12xx 6 x 2 2x 余 2 个取 1 也可以 2 个取剩余的 3 个括号中选 2 个取 剩余 1 个取 1 还可以 5 2 2x x 个括号选一个取 剩余 4 个取 这 3 项的系数和即为所求 2 2x x 详解 利用组合知识 含的项可以分 3 种情况取得 第一种取 3 个 剩余两个 6 x 2 2x 取 1 即 第二种选 2 个括号提供 剩余的 3 个括号中选 2 个取 剩余 32 3 5 2 cx 2 2x x 1 个取 1 即 第三种 5 个括号选一个取 剩余 4 个取 即 22 222 53 2 cxc x 2 2x x 合并同类项 系数为 故填 30 1244 54 2 cx c x 80 120 1030 点睛 本题主要考查了含三项的二项式展开式问题 利用组合知识解决比较简单 属于 中档题 14 若向量不共线 且 则 2 2 1 ax b abab a b 答案 3 解析 分析 先计算 的坐标 根据向量垂直 可知向量的数量积等于 0 即可求出 ab ab 详解 因为 且 ab 0 x 1 ab 4 x 1 abab 所以 解得或 0 4 1 1 0 xx 1x 1x 因为 向量不共线 所以不成立 2 2 1 ax b 1x 11 所以 故填 2 2 1 13 a b 3 点睛 本题主要考查了向量的坐标运算 向量的垂直 向量的数量积运算 属于中档题 15 已知实数满足约束条件 若的最大值为 则 x y 20 20 xy xy xa 2 0 zaxy a 1 实数的值是 a 答案 1 解析 分析 作出可行域 当在y轴上的截距越小时 越大 平移 观察图象即 22 az yx z2 a yx 可求解 详解 作出可行域如图 由可得 2 0 zaxy a 22 az yx 平移直线 当直线过点a时 有最大值 2 a yx z1 由 得 20 xy xa 2 a aa 解得 或 舍去 故填 1 2 max 2 2 1zaa 1a 3a 12 点睛 本题主要考查了简单的线性规划问题 属于中档题 16 如图 在四面体中 用平行于 abcd 3 34abcdadbdacbc 的平面截此四面体 得到截面四边形 则该四边形面积的最大值 ab cd efghefgh 为 答案 9 4 解析 分析 根据线面平行的性质可知 因为 ghab efab gfcd ehcd 故 所以四边形为矩形 设 34adbdacbc abcd 建立二次函数关系求解四边形面积的最 01 bf bdbg bcfg cdxx 大值 详解 因为直线ab 平面efgh 且平面abc交平面efgh于hg 所以hg ab 同理 efab gfcd ehcd 所以四边形efgh为平行四边形 又 可证明 34adbdacbc abcd 所以四边形efgh为矩形 设 01 bf bdbg bcfg cdxx 3 3 1 fgx hgx 当时 有最大值 2 11 9 1 9 24 efgh sfghgxxx 1 2 x 9 4 13 故填 9 4 点睛 本题主要考查了四面体 abcd 中的对称性来证明四边形是矩形 线面平行的性质 二次函数求最值 属于难题 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 已知等差数列满足 等比数列满足 n a 324 21 7aaa n b 3524 2bbbb 且 2 2 2 nn bbn n 1 求数列 的通项公式 n a n b 2 记数列的前项和为 若数列满足 求 n a nn s n c 12 12 n n n ccc sn bbb n 的前项和为 n c n n t 答案 1 2 21 n an 1 2n n b n t 23 23 n n 解析 分析 1 根据等差数列等比数列的通项公式列方程组求解即可 2 由等差数列求出 2 n sn 求出 利用错位相减法可以求和 1 21 2n n cn 详解 1 设的首项为 公差为 则有 n a 1 a d11 22 1adad 1 37ad 解得所以 1 a1 d2 21 n an 设 由已知 可得 1 1 n n bbq 3524 2 bbbb 2q 由可得 可得 所以 2 2 2 nn bb 211 2 11 22 2 nn bb 1 1b 1 2n n b 2 由 1 知 2 21 1 2 n nn sn 所以 2 12 12 n n ccc n bbb 2 112 121 1 2 n n ccc nn bbb l 14 两式相减可得 21 n n c n b 当时 满足上式 所以 1n 1 1c 1 21 2n n cn 011 1 23 2 21 2n n tn 12 21 23 2 21 2n n tn 两式相减可得 2 122 21 2 nn n tn 21 2 1 2 1 21 2 1 2 n n n 32 23 n n 所以 n t 23 23 n n 点睛 本题主要考查了等差数列 等比数列的通项公式 等差数列的求和公式 错位相 减法 属于中档题 18 如图 在三棱锥中 侧面底 vabc 90 2vcababcabbc acv 面 为线段上一点 且满足 abc45acv dabadcv 1 若为 的中点 求证 eacbecv 2 当最小时 求二面角的余弦值 dvabcv 答案 1 见证明 2 3 3 解析 分析 1 根据中点可得 再根据面面垂直的性质定理得面 即可证明 beac be acv 结论 2 以为坐标原点 分别以射线和垂直于面向上的方向为轴 b bc ba abc x y z 15 建立空间直角坐标系 求出两个半平面的法向量 利用公式求其夹角余弦即可 b xyz 详解 1 在 因为 abc 90abc abbc 为的中点 所以 eac beac 因为面面 面面 所以面 acv abcacv abcac be acv 又面 vc acvbevc 2 以为坐标原点 分别以射线和垂直于面向上的方向为轴 建 b bc ba abc x y z 立空间直角坐标系 b xyz 设 则有 因为侧面底面 bdt 0 0 0 2 0 0 0 0 bcdt acv abc 45acv 所以 2 1 1 222 ttt v 所以 2222 32 1 1 344 222 ttt dvtt 当时 最小 2 0 2 3 t dv 此时 2 0 0 3 d 4 2 2 2 3 33 v 4 2 2 2 2 0 0 3 33 bcbv 设为平面的一个法向量 则有 x y z n vbc 0 0bcbv aann 所以 令 则 20 422 2 0 333 x xyz 2z 0 2 2 n 而平面的一个法向量为 abc 0 0 1 m 16 所以 23 cos 316 n m 故二面角的余弦值为 abcv 3 3 点睛 本题主要考查了线线垂直 面面垂直的性质 线面垂直的判定及性质 利用法向 量求二面角 属于中档题 19 李克强总理在 2018 年政府工作报告指出 要加快建设创新型国家 把握世界新一轮科 技革命和产业变革大势 深入实施创新驱动发展战略 不断增强经济创新力和竞争力 某手 机生产企业积极响应政府号召 大力研发新产品 争创世界名牌 为了对研发的一批最新款 手机进行合理定价 将该款手机按事先拟定的价格进行试销 得到一组销售数据 如表所示 1 2 6 ii x yi 单价 千元 x 345678 销量 百件 y 7065625956t 已知 6 1 1 60 6 i i yy 1 若变量具有线性相关关系 求产品销量 百件 关于试销单价 千元 的线 x yy x 性回归方程 ybxa 2 用 1 中所求的线性回归方程得到与对应的产品销量的估计值 当销售数据 i x a i y 对应的残差的绝对值时 则将销售数据称为一个 好数据 现 ii x y 1 ii yy ii x y 从个销售数据中任取个子 求 好数据 个数的分布列和数学期望 63 e 参考公式 线性回归方程中的估计值分别为 b a 1 22 1 n ii i n i i x ynxy baybx xnx 答案 1 2 见解析 482yx 17 解析 分析 1 根据所给数据 先计算出 计算 代入公式求 再由 t1 n ii i x y nxy 2 1 n i i x 2 nx b 求即可 2 利用回归方程计算销量的预测值 找到 4 个 好数据 a ybx a 于是可写出的所有可能取值为 计算即可 3 70 4 65 5 62 6 59 1 2 3 详解 1 由 可求得 6 1 1 60 6 i i yy 48t 故 1 1910 n ii i x y 1980nxy 2 1 199 n i i x 2 181 5nx 代入可得 1 2 2 1 1910 198070 4 199 181 517 5 n ii i n i i x ynxy b xnx 604 5 582aybx 所以所求的线性回归方程为 482yx 2 利用 1 中所求的线性回归方程可得 当时 当 482yx 1 3x a 1 70y 时 当时 当时 当时 2 4x a 2 66y 3 5x a 3 62y 4 6x a 4 58y 5 7x 当时 a 5 54y 6 8x a 6 50y 与销售数据对比可知满足的共有 4 个 好数据 a 1 1 2 6 ii yyi 3 70 4 65 5 62 6 59 于是的所有可能取值为 1 2 3 12 42 3 6 1 1 5 c c p c 21 42 3 6 3 2 5 c c p c 30 42 3 6 1 3 5 c c p c 的分布列为 123 18 p 1 5 3 5 1 5 所以 131 1232 555 e 点睛 本题主要考查了线性回归方程的求法 运用 离散型随机变量的分布列 期望 属于中档题 20 已知抛物线 过抛物线焦点的直线 分别交抛物线与圆 2 16yx fl 于 自上而下顺次 四点 22 4 16xy a c d b 1 求证 为定值 acbd 2 求的最小值 abaf 答案 1 见证明 2 108 解析 分析 1 设直线 的方程为 联立抛物线可得 l 4xmy 1122 a x yb xy 12 16yym 结合抛物线定义可得 故 12 64y y 112 4 4 2 p afxxbfx 化为纵坐标即可证出 12 acbdx x 2 根据 化 12 8abafbfxx 1 4afx 12 16x x 利用导数求最小值即可 2 11 1 64 1248abafxx x 详解 1 有题意可知 4 0 f 可设直线 的方程为 l 4xmy 1122 a x yb xy 联立直线和抛物线方程 消可得 2 16 4 yx xmy x 2 16640ymy 19 所以 12 16yym 12 64y y 由抛物线的定义可知 112 4 4 2 p afxxbfx 又 4 4acafbdbf 所以 222 12 12 2 64 4 4 16 16 1616 yy acbdafbfx x 所以为定值 16 acbd 2 由 1 可知 12 8abafbfxx 1 4afx 2 12111212 8 4 12432abafxxxxx xxx 由 可得 12 16x x 2 1 16 x x 所以 其中 2 11 1 64 1248abafxx x 1 0 x 令 2 64 1248f xxx x 2 22 642 2 4 212 xx fxx xx 当时 函数单调递减 当时 函数单调递 0 2 x 0fx 2 x 0fx 增 所以 2 108f xf 所以的最小值为 abaf 108 点睛 本题主要考查了抛物线的定义 直线与抛物线的位置关系 利用导数求函数最值 定值问题 属于难题 解决此类性问题 一般要联立方程组 根据根与系数的关系得到两个 交点坐标之间的关系 特别注意涉及抛物线时 要主动考虑抛物线定义的使用 21 设函数 其中 是自然对数的底数 lnexf xxxa a re 1 若在上存在两个极值点 求的取值范围 f x 0 a 20 2 若 证明 2 2 e a 0f x 答案 1 2 见证明 1 0a e 解析 分析 1 在上存在两个极值点等价于在有两个根 分离参数 f x 0 0fx 0 分析函数的单调性及极值 即可得出取值 ln1 ex x a ln1 x x g x e a 范围 2 即 等价于 令 利 0f x lne0 x xxa e ln0 x a x x e ln x a f xx x 用导数求函数的最值 证明最大值小于 0 即可 详解 1 由题意可知 0 x ln10 x fxxae 在上存在两个极值点等价于在有两个根 f x 0 0fx 0 由可得 令 ln1e0 x xa ln1 ex x a ln1 x x g x e 则 令 1 ln1 x x x g x e 1 ln1h xx x 可得 当时 2 11 h x xx 0 x 0h x 所以在上单调递减 且 h x 0 1 0h 当时 单调递增 0 1 x 0h x 0g x g x 当时 单调递减 1 x 0h x 0g x g x 所以是的极大值也是最大值 又当 当 大 1x g x0 xg x xg x 于趋向于 00 要使在有两个根 只需 0fx 0 0 1 ag 所以的取值范围为 a 1 0a e 21 2 证明 即 等价于 0f x lne0 x xxa e ln0 x a x x 令 e ln x a f xx x 22 1 1 xxx ae xaexa xe f x xxx 当时 单调递增 所以 01x 0f x 1 0f xfae 当时 令 1x 2 1 1 x a xx f xe xa x 1 x x g xe a x 又 2 1 0 1 x g xe a x 2 2 2 222 2 0 ae gea aae 取 且使 即 1 2 m 2 1 m e a m 2 2 1 1 ae m ae 则有 22 0 1 m m g meee a m 因为 故存在唯一零点 2 0g m g g x 0 1 2 x 即有唯一的极值点且为极小值点 f x 0 1 2 x 由可得 故 0 g 0 x 0 0 0 1 x x e a x 00 0 1 ln 1 f xx x 因为 故为上的增函数 0 2 00 11 0 1 f x xx 0 f x 1 2 所以 所以 2 0 2 ln2ln2 10 2 ae f xf 2 2 a e 3 4xx 综上 当时 总有 2 2 a e 0f x 点睛 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性 极值 最值 证明不等式 属于难 题 解决此类问题 注意条件的恰当转化 转化后一般要利用导数研究新函数的极值最值 在研究过程中往往需要二次求导 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 22 在平面直角坐标系中 曲线的参数方程为 为参数 以坐标 xoy c cos 2sin xat yt t 0a 原点为极点 轴的非负半轴为极轴 建立极坐标系 直线 的极坐标方程为 oxl cos4 2 4 1 设是曲线上的一个动眯 当时 求点到直线 的距离的最小值 pc 2 3a pl 2 若曲线上所有的点都在直线 的右下方 求实数的取值范围 cla 答案 1 2 2 2 0 2 15 解析 分析 1 将直线 的极坐标方程化为普通方程 利用点到直线距离公式构造出距离关于参数 ld 的三角函数关系式 利用三角函数值域可求得的最小值 2 根据点在直线右下方可 td 得 利用辅助角公式进行整理可得 从而 cos2