【备课精选】2012年高二数学新人教A版选修2-1同步练习：3.1《空间向量及其运算》

新课标高二数学同步测试新课标高二数学同步测试 2 1 第三章 3 1 说明说明 本试卷分第一卷和第二卷两部分 第一卷 74 分 第二卷 76 分 共 150 分 答题 时间 120 分钟 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 请把正确答案的代 号填在题后的括号内 每小题 5 分 共 50 分 1 在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中 M 为 AC 与 BD 的交点 若 则下列向量中与相等的BA1a 11D AbAA1cMB1 向量是 A B cba 2 1 2 1 cba 2 1 2 1 C D cba 2 1 2 1 cba 2 1 2 1 2 在下列条件中 使 M 与 A B C 一定共面的是 A B OCOBOAOM 2OCOBOAOM 2 1 3 1 5 1 C D MCMBMA0 OCOBOAOM0 3 已知平行六面体中 AB 4 AD 3 ABCDABC D 5AA 0 90BAD 则等于 0 60BAADAA AC A 85 B C D 50855 2 4 与向量平行的一个向量的坐标是 1 3 2 a A 1 1 B 1 3 2 3 1 C 1 D 3 2 2 1 2 3 22 5 已知 A 1 2 6 B 1 2 6 O 为坐标原点 则向量的夹角是 OAOB 与 A 0 B C D 2 3 2 6 已知空间四边形 ABCD 中 点 M 在 OA 上 且 OM 2MA NcOC bOB aOA 为 BC 中点 则 MN A B cba 2 1 3 2 2 1 cba 2 1 2 1 3 2 图 C D cba 2 1 2 1 2 1 cba 2 1 3 2 3 2 7 设 A B C D 是空间不共面的四点 且满足 000 ADAB ADAC ACAB 则 BCD 是 A 钝角三角形B 锐角三角形C 直角三角形D 不确定 8 空间四边形 OABC 中 OB OC AOB AOC 600 则 cos BC OA A B C D 0 2 1 2 2 2 1 9 已知 A 1 1 1 B 2 2 2 C 3 2 4 则ABC 的面积为 A B C D 3326 2 6 10 已知 则的最小值为 2 1 1 ttbttta ba A B C D 5 5 5 55 5 53 5 11 二 填空题 请把答案填在题中横线上 每小题 6 分 共 24 分 11 若 则为邻边的平行四边形的面积为 1 3 2 a 3 1 2 bba 12 已知空间四边形 OABC 其对角线为 OB AC M N 分别是对边 OA BC 的中点 点 G 在线段 MN 上 且 现用基组表示向量OG 有 xGNMG2 OCOBOA OG 则 x y z 的值分别为 OCzOByOA 13 已知点 A 1 2 11 B 4 2 3 C 6 1 4 则 ABC 的形状是 14 已知向量 若成 1200的角 则 k 0 3 2 a 3 0 kb ba 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 共76分 15 12 分 如图 已知正方体的棱 ABCDA B C D 长为 a M 为的中点 点 N 在 上 且 BD AC 试求 MN 的长 3 A NNC 16 12 分 如图在空间直角坐标系中 BC 2 原点 O 是 BC 的中点 点 A 的坐标是 0 点 D 在平面 yOz 上 且 BDC 90 2 1 2 3 DCB 30 1 求向量的坐标 OD O N M D C B A C B A D z y x 图 2 设向量和的夹角为 求 cos 的值ADBC 17 12 分 若四面体对应棱的中点间的距离都相等 证明这个四面体的对棱两两垂直 18 12 分 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是一个平行四边形 2 1 4 AB 4 2 0 1 2 1 ADAP 1 求证 PA 底面 ABCD 2 求四棱锥 P ABCD 的体积 3 对于向量 x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 定义一种运算 abc x1y2z3 x2y3z1 x3y1z2 x1y3z2 x2y1z3 x3y2z1 试计算 的abcABADAP 绝对值的值 说明其与四棱锥 P ABCD 体积的关系 并由此猜想向量这一运算 的绝对值的几何意义 ABADAP 19 14 分 如图所示 直三棱柱 ABC A1B1C1中 CA CB 1 BCA 90 棱 AA1 2 M N 分别是 A1B1 A1A 的中点 1 求的长 BN 2 求 cos的值 11 CB BA 3 求证 A1B C1M 20 14 分 如图 已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是菱形且 C1CB C1CD BCD 60 1 证明 C1C BD 2 假定 CD 2 CC1 记面 C1BD 为 面 CBD 为 求二面角 BD 的平面角 2 3 的余弦值 3 当的值为多少时 能使 A1C 平面 C1BD 请给出证明 1 CC CD 参考答案 一 1 A 解析 2 1 111 BCBAAABMBBMB c 2 1 ba 2 1 a 评述 用向量的方法处理立体几何问题 使复杂的线面空间关系代数化 本题考查 2 1 bc 的是基本的向量相等 与向量的加法 考查学生的空间想象能力 2 A 解析 空间的四点 P A B C 共面只需满足且 OCzOByOAxOP 既可 只有选项 A 1 zyx 3 B 解析 只需将 运用向量的内即运算即可 AAADABCA 2 CACA 4 C 解析 向量的共线和平行使一样的 可利用空间向量共线定理写成数乘的形式 即 babab 0 5 C 解析 计算结果为 1 cos ba ba 6 B 解析 显然 OAOCOBOMONMN 3 2 2 1 7 B 解析 过点 A 的棱两两垂直 通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形 8 D 解析 建立一组基向量 再来处理的值 OCOBOA BCOA 9 D 解析 应用向量的运算 显然 ACAB ACAB ACAB ACAB sin cos 从而得 ACABACABS sin 2 1 10 C 二 11 解析 得 可得结果 56 7 2 cos ba ba ba 7 53 sin ba 12 OCOBOA 3 1 3 1 6 1 解析 OCOBOA OAOCOBOA OMONOAMNOAMGOMOG 3 1 3 1 6 1 2 1 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1 13 直角三角形 解析 利用两点间距离公式得 222 ACBCAB 14 解析 得 39 2 1 913 2 cos 2 k k ba ba ba39 k 三 15 解 以 D 为原点 建立如图空间直角坐标系 因为正方体棱长为 a 所以 B a a 0 A a 0 a 0 a a 0 0 a C D 由于 M 为的中点 取中点 O 所以 M O a 因为 BD A C 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 所以 N 为的四等分 从而 N 3 A NNC A C 为的中点 故 N a O C 4 a3 4 a 根据空间两点距离公式 可得 222 36 242424 aaaaa MNaa 16 解 1 过 D 作 DE BC 垂足为 E 在 Rt BDC 中 由 BDC 90 DCB 30 BC 2 得 BD 1 CD DE CD sin30 3 2 3 OE OB BE OB BD cos60 1 2 1 2 1 D 点坐标为 0 即向量 OD TX 的坐标为 0 2 3 2 1 2 3 2 1 2 依题意 0 1 0 0 1 0 0 2 1 2 3 OCOBOA 所以 0 2 0 2 3 1 2 3 OBOCBCOAODAD 设向量和的夹角为 则ADBC cos 222222 020 2 3 1 2 3 0 2 3 2 1 0 2 3 BCAD BCAD 10 5 1 17 证 如图设 则分别为 321 rSCrSBrSA SNSMSHSGSFSE 1 2 1 r 2 1 32 rr 2 1 21 rr 3 2 1 r 2 1 31 rr 2 2 1 r 由条件 EH GH MN 得 223123212132 2 2 2 rrrrrrrrr 展开得 313221 rrrrrr 0 231 rrr 1 r0 23 rr 0 即 SA BC 1 r 23 rr 同理可证 SB AC SC AB 18 1 证明 2 2 4 0 AP AB ABAP 又 4 4 0 0 AP AD ADAP AB AD 是底面 ABCD 上的两条相交直线 AP 底面 ABCD 2 解 设与的夹角为 则ABAD cos 105 3 4161614 28 ADAB ADAB V sin 3 1 ABADAP16141 105 9 1105 3 2 3 解 4 32 4 8 48 它是四棱锥 P ABCD 体积的 3 倍 ABADAP 猜测 在几何上可表示以 AB AD AP 为棱的平行六面体的体ABADAP 积 或以 AB AD AP 为棱的直四棱柱的体积 评述 本题考查了空间向量的坐标表示 空间向量的数量积 空间向量垂直的充要条件 空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理 棱锥的体积公式等 主要考查考生的运 算能力 综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力 19 如图 建立空间直角坐标系 O xyz 1 依题意得 B 0 1 0 N 1 0 1 BN3 01 10 01 222 2 依题意得 A1 1 0 2 B 0 1 0 C 0 0 0 B1 0 1 2 1 1 2 0 1 2 1 BA 1 CB 1 BA 3 1 CB 1 BA6 1 CB5 cos 1 BA 1 CB30 10 1 11 11 CBBA CBBA 3 证明 依题意 得 C1 0 0 2 M 2 1 1 2 2 1 2 1 BA1 0 0 0 A1B C1M MC1 2 1 2 1 BA1MC1 2 1 2 1 BA1MC1 评述 本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识 考查空间两向量垂直的充要条件 20 1 证明 设 则 CBaCDb 1 CCca bCBCDBD ba cos60 cos60 0 BD 1 CCbacbcacbcac C1C BD 2 解 连 AC BD 设 AC BD O 连 OC1 则 C1OC 为二面角 BD 的平面角 2 1 2 1 CDBCCOa b 2 1 11 CCCOOCa bc CO 2 1 1 OCa b 2 1 a bc 2 2 2 4 1 aab b 2 1 ac 2 1 bc 4 2 2 2cos60 4 2 cos60 2 cos60 4 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 3 图 则 cosC1OC CO3OC1