高考数学一轮复习 理解集合与函数的概念 新人教A版

第一章第一章 集合与函数的概念集合与函数的概念 一 集合 一 集合的含义与表示 1 集合 一般地 我们把研究对象统称为元素 element 把一些元素组成的总体叫做集合 set 2 集合元素三特征 对于一个给定的集合 集合中的元素是确定的 是互异的 是无序的 即集合元素三特征 注意 只要构成两 个集合的元素是一样的 我们称这两个集合 相等 3 集合的字母表示 如果a是集合A的元素 就说a属于 belong to 集合A 记作 a A 如果a不是集合A的元素 就说a不属于 not belong to 集合A 记作 aA 4 集合的表示方法 列举法 把集合的元素一一列举出来 并用花括号 括起来 这种表示集合的方法叫做列举法 描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法 一般形式为 其中x代表元素 xA P P是确定条件 5 集合的含义与表示的反思与小结 描述法表示集合时 应特别注意集合的代表元素 如与不同 2 1 x yyx 2 1 y yx 只要不引起误解 集合的代表元素也可省略 例如 1 x x 3 x xk kZ 集合的 已包含 所有 的意思 例如 整数 即代表整数集 Z Z 所以不必写 全体整数 下列写法 实数 集 R R 也是错误的 列举法与描述法各有优点 应该根据具体问题确定采用哪种表示法 要注意 一般集合中元素较多或有无限 个元素时 不宜采用列举法 6 文氏图 或称Venn图 7 基础练习 1 下列说法正确的是 A 某个村子里的高个子组成一个集合 B 所有小正数组成一个集合 C 集合和表示同一个集合 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 D 这六个数能组成一个集合 1 3 61 1 0 5 2 2 44 2 下列说法正确的是 A 不等式的解集表示为253x 4 x B 所有偶数的集合表示为 2 x xk C 全体自然数的集合可表示为 自然数 D 方程实数根的集合表示为 2 40 x 2 2 3 直线与y轴的交点所组成的集合为 A B 0 1 0 1 C D 1 0 2 1 0 2 4 以下三个集合有什么区别 1 2 1 x yyx 2 2 1 y yx 3 2 1 x yx 5 例题 某班有 35 个学生 每个学生至少参加英语小组 语文小组 数学小组中的 个课外活动小组 现 已知参加英语小组的有 17 人 参加语文小组的有 30 人 参加数学小组的有 13 人 如果有 5 个学生三个小组全 参加了 问有多少个学生只参加了一个小组 A 15 B 16 C 17 D 18 二 集合间的基本关系 1 子集 相等 真子集 空集的概念 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素 我们说这两个集合有包含关系 称集合A是集合B的子集 subset 记作 读作 A包含于 is contained in B 或B包含 contains A ABBA 或 当集合A不包含于集合B时 记作 AB 在数学中 我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合 这种图称为Venn图 用Venn图表示两个集合间的 包含 关系为 ABBA 或 集合相等 若 则中的元素是一样的 因此 ABBA 且AB AB 真子集 若集合 存在元素 则称集合A是集合B的真子集 proper subset 记作 A AB xBxA 且 B 或B A 读作 A真包含于B 或B真包含A 空集 不含有任何元素的集合称为空集 empty set 记作 并规定 空集是任何集合的子集 是任何 非空集合的真子集 2 如果一个集合含有n个元素 那么它的子集有个 真子集有个2n21 n 3 任何一个集合是它本身的子集 任何一个非空集合是它本身的真子集 3 基础练习 1 外语学校有英语 法语 日语教师共 27 人 其中只能教英语的有 8 人 只能教日语的有 6 人 能教英 日 语的有 5 人 能教法 日语的有 3 人 能教英 法语的有 4 人 三种都能教的有 2 人 则只能教法语的有 A 4 人 B 5 人 C 6 人 D 7 人 2 3 类比下列实数中的结论 你能在集合中得出什么结论 若 若 abbaab 且则 abbcac 且则 3 若集合 且满足 求实数的取值范围 Ax xa 250 Bxx AB a 4 已知 且 求实数p q所满足的条件 2 0 Ax xpxq 2 320 Bx xx AB B A 三 集合的基本运算 1 一般地 由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合 叫作A B的交集 intersection set 记 作A B 读 A交B 即 ABx xAxB 且 Venn图如右表示 2 类比说出并集的定义 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合 叫做A与B的并集 union set 记作 读AB 作 A并B 用描述法表示是 ABx xAxB 或 Venn图如右表示 A A A A A A A A A 3 全集 如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素 那么就称这个集合为全集 Universe 通常 记作U 4 补集 已知集合U 集合AU 由U中所有不属于A的元素组成的集合 叫作A相对于U的补集 complementary set 记作 读作 A在U中补集 即 U C A U C Ax xUxA 且 补集的Venn图表示如右 说明 1 全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念 补集的概念必须要有全集的限制 2 有关不等式解集的运算可以借助数轴来研究 5 集合的基本性质 ABCABAC ABCABAC ABCABC ABCABC AABAAABA 6 基础练习 1 若关于x的方程 3x2 px 7 0 的解集为A 方程 3x2 7x q 0 的解集为B 且A B 求 1 3 AB 2 设集合 则 2 3 My yx 2 21 Ny yx MN A B A BA 二 函数二 函数 1 函数定义 设A B是非空数集 如果按照某种确定的对应关系f 使对于集合A中的任意一个数x 在集合B中都有唯 一确定的数和它对应 那么称为从集合A到集合B的一个函数 function 记作 f x f AB yf xxA 其中 x叫自变量 x的取值范围A叫作定义域 domain 与x的值对应的y值叫函数值 函数值的集合 叫值域 range f xxA 2 设a b是两个实数 且a b 则 叫闭区间 x axba b 叫开区间 x axba b 都叫半开半闭区间 x axba b x axba b 实数集 R R 用区间表示 其中 读 无穷大 读 负无穷大 读 正无穷大 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致 即称这两个函数相等 或为同一函数 3 3 函数三要素 定义域 值域 对应法则 4 函数的表示法 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 优点 简明 给自变量求函数值 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 优点 直观形象 反应变化趋势 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 优点 不需计算就可看出函数值 5 一般地 设A B是两个非空的集合 如果按某一个确定的对应法则f 使对于集合A中的任意一个元素x 在 集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射 fAB mapping 记作 fAB 关键 1 A中任意 B中唯一 对应法则f 2 判定是否是映射主要看两条 一条是A集合中的元素都要有对应 但B中元素未必要有对应 二条 是A中元素与B中元素只能出现 一对一 或 多对一 的对应形式 6 6 基础练习 基础练习 1 如下图可作为函数的图象的是 yf x A B C D 2 下列各组函数的图象相同的是 f xg x与 A 2 f xx g xx B 22 1 f xxg xx C 0 1 f xg xx D x f xx g x x 0 0 x x 3 1 2 3f xfx x 4 画出函数f x x 1 x 2 的图象 三 函数的基本性质 1 设函数y f x 的定义域为I 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1 x2 当x1 x2时 都 有f x1 f x2 那么就说f x 在区间D上是增函数 increasing function 如果函数f x 在某个区间D上是增函数或减函数 就说f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 区间D叫 f x 的单调区间 2 证明单调性 第一步 设x x 给定区间 且x x 1212 第二步 计算f x f x 至最简 12 第三步 判断差的符号 第四步 下结论 3 用定义求最大最小值 先按定义证明单调性 再应用单调性得到最大 小 值 例如求的最大值和最小值 3 3 6 2 x yx x 3 奇偶性 一般地 对于函数定义域内的任意一个x 都有 那么函数叫偶函数 even f x fxf x f x function 判别方法 先看定义域是否关于原点对称 再计算 fx 定义在 R R 上的奇函数的图象一定经过原点 由图象对称性可以得到 奇函数在关于原点对称区间上单调性 一致 偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反 四 集合与函数概念测试 一 填空与选择 1 已知集合 且 M N 都是集合的子集 如果把 3 4 Mx mxm 1 3 Nx nxn 01xx 叫做集合的 长度 那么集合的长度的最小值是 ba x axb MN 2 设且 则实数的取值 3 310 5 AxxaBy yxxACz zx xA BCC a 范围是 3 下列表述中错误的是 A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 若 B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 若 ABABA 则 BABBA 则 C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 BA A BA BCACBAC UUU 4 设集合求集合的所有非空子集元素和的和 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1