高考数学复习点拨 学习椭圆要有四观

用心 爱心 专心 学习椭圆要有四观学习椭圆要有四观 椭圆的学习是学习圆锥曲线的第一道门槛 学习好椭圆对后续学习双曲线 抛物线均 有莫大的益处 本文介绍椭圆学习中常用的四个观点 愿能使同学们摆脱解题时急于求成 乱碰乱撞 解题失败等现象 一 细致的审题观 审题观是指审题中要思考的 要什么 求什么 给什么 用什么 等常规审题思维观 例 1解方程 22 10 38010 38020 xxxx 分析 观察方程的特点 极易让人联想起椭圆的定义 结合题中的要求 可得如下解法 解 将方程变形为 22 5 3 5 5 3 520 xx 令 2 5y 原方程转化为方程组 2222 2 5 3 5 3 20 5 xyxy y 此方程组的解可转化为直线5y 与椭圆 22 1 10025 xy 的交点 交点的横坐标就是方 程的解 解得原方程的解为4 5x 二 科学的估算观 科学的估算观是指应用科学的方法 对解题的方向 解题的过程 解题的结果 解题 的 结论数据等做出估算的直觉意识观 例 2已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 与x轴的正半轴交于点AO 是原点 若椭圆上 存 在一点M 使MAMO 求椭圆的离心率的取值范围 分析 从题目表面上看不到有关确定椭圆率心率取值范围的条件 但据MAMO 与点 M在椭圆上 可估算应先找出abc 的关系式 对解题过程的估算可求出点M的横坐标 再结合条件 0 xa 从而使问题得解 解 设 M xy 则MAMO 得1 yy x xa 将其与椭圆方程联立 消去y得 222 0 xa b xa xb a 由xa 得 22 222 abab x abc M xy 在椭圆上 xaa 用心 爱心 专心 又MAMO 则 0 xa 即 2 2 0 ab a c 2 2 01 b c 222 22 12 abc cc 则 2 2 1 2 c a 2 2 e 又01e 2 1 2 e 三 灵活的转化观 灵活的转化观是指为了避免解题过程的繁冗 灵活转换问题视角 另辟蹊径 将问题 转化为简单易解的等价问题的构造性思维观 例 3 已知椭圆 22 1 259 xy 和直线 5l yxm 当m在什么范围取值时 能使椭圆 上存在两点AB 关于l对称 分析 要使l垂直平分弦AB AB的中点P可视为 与l垂直的弦中点的轨迹与直线 l的交点 因此 问题可转化为先求AB中点P的轨迹方程 解 设 A xaybB xayb 则 P xy 由题意 22 1 259 xayb 1 22 1 259 xayb 2 1 11 5 AB b k ak 3 2 1 得 44 0 259 axby 4 由 3 4 可得 9 5 yx 点P在椭圆内 9 5 yx 代入椭圆可解得交点横坐标为 10 2 x 故 P 点的轨迹方程为 91010 522 yxx 由 9 5 yx 及5yxm 可解得 5 16 xm 10510 2162 m 即当 8 108 10 55 m 时 在椭圆上存在两点关于l对称 四 不懈的探索观 不懈的探索观是指要具有对问题作持之以恒的探究观 例 4 设 M xy 是椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 上的动点 0 A m 是x轴上的定点 试 用心 爱心 专心 求AM的最值 解 设AMd 则 2 22222 2 222 222 cab cm dAMxmyxm acc 其中 xa 1 若 2 c m a 则 2 2 a ma c 当xa 时 min dam 当xa 时 max dam 2 若 2 0 c m a 则 2 2 0 a am c 当 2 2 a xm c 422 2 b yca m c 时 22 min b dcm c 当0 xay 时 max dam 3 若 2 0 c m a 则 2 2 0 a ma c 当 2 2 a xm c 422 2 b yca m c 时 22 mi