【高考秘籍】2013高考数学提分训练第1章1.3

1 在 在 ABC 中 中 AB 6 BC 2 AC 8 则 则 AC 边上的高为边上的高为 13 解析 由余弦定理得 解析 由余弦定理得 cosA 62 82 2 13 2 2 6 8 1 2 故故 sinA AC 边上的高 边上的高 AB sinA 6 3 3 2 3 23 答案 答案 3 3 2 2011 年南京质检年南京质检 一艘船以一艘船以 4 km h 的速度与水流方向成的速度与水流方向成 120 的方向航行 已知河水流的方向航行 已知河水流 速为速为 2 km h 则经过 则经过 h 该船实际航程为 该船实际航程为 3 解析 解析 如图 如图 2 4 AOB 120 OA OB A 60 OC 22 42 2 2 4cos60 2 经过经过h 该船的航程为 该船的航程为 33 2 6 km 33 答案 答案 6 km 3 某人朝正东方向走 某人朝正东方向走 x km 后 向右转后 向右转 150 然后朝新方向走 然后朝新方向走 3 km 结果他离出发点恰 结果他离出发点恰 好好 km 那么 那么 x 的值为的值为 3 解析 由余弦定理得解析 由余弦定理得 3 x2 9 6x 3 2 即即 x2 3x 6 0 故 故 x 2或或 x 333 答案 答案 2或或 33 4 测定河的宽度 在一岸边选定两点 测定河的宽度 在一岸边选定两点 A B 使 使 AB 120 m 从 从 A B 望对岸标记物望对岸标记物 C 测得测得 CAB 30 CBA 75 则河宽为 则河宽为 m 解析 解析 CAB 30 CBA 75 ACB 180 CAB CBA 180 30 75 75 AC AB 120 m 河宽河宽 CD AC 60 m 1 2 答案 答案 60 一 填空题一 填空题 1 有一山坡 倾斜角为 有一山坡 倾斜角为 30 若某人在斜坡的平面上沿着一条与斜坡底线成 若某人在斜坡的平面上沿着一条与斜坡底线成 30 角的小路角的小路 前进一段路后 升高了前进一段路后 升高了 100 米 则此人行走的路程为米 则此人行走的路程为 解析 解析 如图 如图 h BCsin30 ABsin30 sin30 100 AB 400 答案 答案 400 米米 2 一船以每小时 一船以每小时 15 km 的速度向东航行 船在的速度向东航行 船在 A 处看到一个灯塔处看到一个灯塔 B 在北偏东在北偏东 60 行驶 行驶 4 h 后 船到达后 船到达 C 处 看到这个灯塔在北偏东处 看到这个灯塔在北偏东 15 这时船与灯塔的距离为 这时船与灯塔的距离为 km 解析 解析 如图 由已知如图 由已知 AC 60 km B 45 BAC 30 由正弦定理得 由正弦定理得 BC sin30 60 sin45 BC 30 km 2 答案 答案 30 2 3 ABC 的内角的内角 A B C 所对的边分别为所对的边分别为 a b c 满足 满足Error 则 则 ABC 的三内角中的三内角中 最大的角为最大的角为 解析 由已知得解析 由已知得 a c c b c c 所以角 所以角 C 最大 最大 3 7 5 7 cosC C 120 a2 b2 c2 2ab 3 7 2 5 7 2 1 2 3 7 5 7 1 2 答案 答案 120 4 海上有 海上有 A B 两个小岛相距两个小岛相距 10 海里 从海里 从 A 岛望岛望 C 岛和岛和 B 岛成岛成 60 的视角 从的视角 从 B 岛望岛望 C 岛和岛和 A 岛成岛成 75 的视角 则的视角 则 B C 间的距离是间的距离是 解析 如图所示 在解析 如图所示 在 ABC 中 中 AB 10 海里 海里 A 60 B 75 C 180 A B 45 根据正弦定理 根据正弦定理 AB sinC BC sinA BC 5海里 海里 ABsinA sinC 10sin60 sin45 6 答案 答案 5海里海里 6 5 在 在 ABC 中 若中 若 A 120 AB 5 BC 7 则 则 ABC 的面积的面积 S 解析 由余弦定理解析 由余弦定理 BC2 AC2 AB2 2AC AB cos120 解得解得 AC 3 因此 因此 ABC 的面积的面积 S AB AC sin120 1 2 15 3 4 答案 答案 15 3 4 6 在某个位置测得某山峰仰角为 在某个位置测得某山峰仰角为 对着山峰在平行地面上前进 对着山峰在平行地面上前进 600 m 后测得仰角为原来后测得仰角为原来 的的 2 倍 继续在平行地面上前进倍 继续在平行地面上前进 200 m 后 测得山峰的仰角为原来的后 测得山峰的仰角为原来的 4 倍 则该山峰的倍 则该山峰的 3 高度为高度为 解析 如图 由题意可得 在解析 如图 由题意可得 在 BED 中 中 BD ED 600 在 在 BCD 中 中 BC DC 200 3 由余弦定理 得由余弦定理 得 cos DCB BC2 CD2 BD2 2 BC CD 200 3 2 200 3 2 6002 2 200 3 200 3 1 2 又因为又因为 0 DCB 180 所以所以 DCB 120 BCA 4 60 所以所以 AB BCsin4 BCsin60 300 m 答案 答案 300 m 7 CD 是京九铁路线上的一条穿山隧道 开凿前 在是京九铁路线上的一条穿山隧道 开凿前 在 CD 所在水平面上的山体外取点所在水平面上的山体外取点 A B 并测得四边形 并测得四边形 ABCD 中 中 ABC BAD AB BC 400 米 米 AD 250 3 2 3 米 则应开凿的隧道米 则应开凿的隧道 CD 的长为的长为 解析 在解析 在 ABC 中 中 AB BC 400 米 米 ABC 3 AC AB 400 米 米 BAC 3 CAD BAD BAC 2 3 3 3 在在 CAD 中 由余弦定理 得中 由余弦定理 得 CD2 AC2 AD2 2AC AD cos CAD 4002 2502 2 400 250 cos 3 122500 CD 350 米 米 答案 答案 350 米米 8 2010 年高考课标全国卷年高考课标全国卷 在在 ABC 中 中 D 为为 BC 边上一点 边上一点 BC 3BD AD ADB 135 若 若 AC AB 则 则 BD 22 解析 如图 设解析 如图 设 AB k 则 则 AC k 2 再设再设 BD x 则 则 DC 2x 在在 ABD 中 由余弦定理得中 由余弦定理得 k2 x2 2 2 x x2 2 2x 2 2 2 在在 ADC 中 由余弦定理得中 由余弦定理得 2k2 4x2 2 2 2x 4x2 2 4x 2 2 2 k2 2x2 1 2x 由由 得得 x2 4x 1 0 解得 解得 x 2 负值舍去负值舍去 5 答案 答案 2 5 9 2010 年高考江苏卷年高考江苏卷 在锐角在锐角 ABC 中 角中 角 A B C 的对边分别为的对边分别为 a b c 若若 6cosC 则 则 的值是的值是 b a a b tanC tanA tanC tanB 解析 由解析 由 6cosC 得 得 b2 a2 6abcosC b a a b 化简整理得化简整理得 2 a2 b2 3c2 将 将 切化弦 切化弦 tanC tanA tanC tanB 得得 sinC cosC cosA sinA cosB sinB sinC cosC sin A B sinAsinB sinC cosC sinC sinAsinB sin2C cosCsinAsinB 根据正 余弦定理得根据正 余弦定理得 sin2C cosCsinAsinB c2 ab a2 b2 c2 2ab 4 2c2 a2 b2 c2 2c2 3 2c2 c2 答案 答案 4 二 解答题二 解答题 10 如图 海中有一小岛 周围如图 海中有一小岛 周围 3 8 海里内有暗礁 一军舰从海里内有暗礁 一军舰从 A 地出发由西向东航行 望见地出发由西向东航行 望见 小岛小岛 B 在北偏东在北偏东 75 航行 航行 8 海里到达海里到达 C 处 望见小岛处 望见小岛 B 在北偏东在北偏东 60 若此舰不改变航行若此舰不改变航行 的方向继续前进 问此舰有没有触礁的危险 的方向继续前进 问此舰有没有触礁的危险 解 解 过点过点 B 作作 BD AE 交交 AE 于于 D 由已知 由已知 AC 8 ABD 75 CBD 60 在在 Rt ABD 中 中 AD BD tan ABD BD tan75 在在 Rt CBD 中 中 CD BD tan CBD BD tan60 AD CD BD tan75 tan60 AC 8 BD 4 3 8 8 tan75 tan60 因此该军舰没有触礁的危险 因此该军舰没有触礁的危险 11 在 在 ABC 中 已知中 已知 2 3 2 求角 求角 A B C 的大小 的大小 AB AC 3 AB AC BC 解 设解 设 BC a AC b AB c 由由 2 得 得 2bccosA bc AB AC 3 AB AC 3 所以所以 cosA 3 2 又又 A 0 因此 因此 A 6 由由 3 得 得 bc a2 3 AB AC BC2 3 于是于是 sinC sinB sin2A 3 3 4 所以所以 sinC sin C 5 6 3 4 sinC cosC sinC 1 2 3 2 3 4 因此因此 2sinC cosC 2sin2C 33 sin2C cos2C 0 3 即即 sin 2C 0 3 由由 A 知知 0 C 所以 所以 2C 从而 从而 2C 0 或 或 2C 即即 C 或 或 6 5 6 3 3 4 3 3 3 6 C 2 3 故故 A B C 或 或 A B C 6 2 3 6 6 6 2 3 12 如图 如图 在山脚测得山顶仰角在山脚测得山顶仰角 CAB 45 沿倾斜角为 沿倾斜角为