2014届高考数学二轮复习典例总结训练：《椭圆、双曲线、抛物线》

椭圆 双曲线 抛物线椭圆 双曲线 抛物线 高考对本节知识的考查主要有以下两种形式 1 以选择 填空的形式考查 主要考查圆 锥曲线的标准方程 性质 特别是离心率 以及圆锥曲线之间的关系 突出考查基础知识 基本技能 属于基础题 2 以解答题的形式考查 主要考查圆锥曲线的定义 性质及标准方 程的求解 直线与圆锥曲线的位置关系 常常在知识的交汇点处命题 有时以探究的形式 出现 有时以证明题的形式出现 该部分题目多数为综合性问题 考查学生分析问题 解 决问题的能力 综合运用知识的能力等 属于中 高档题 一般难度较大 圆锥曲线的定义 标准方程与几何性质 名称椭圆双曲线抛物线 定义 PF1 PF2 2a 2a F1F2 PF1 PF2 2a 2ab 0 x2 a2 y2 b2 1 a 0 b 0 x2 a2 y2 b2 y2 2px p 0 图形 范围 x a y b x ax 0 顶点 a 0 0 b a 0 0 0 对称性关于x轴 y轴和原点对称关于x轴对称 焦点 c 0 0 p 2 轴 长轴长 2a 短轴长 2b 实轴长 2a 虚轴长 2b 离心率 e c a 0 e1 c a 1 b2 a2 e 1 几何性质 准线 x p 2 渐近线 y x b a 考点一 圆锥曲线的定义与标准方程 例 1 1 设椭圆 1 和双曲线 x2 1 的公共焦点分别为F1 F2 P为这两条曲线 x2 2 y2 m y2 3 的一个交点 则 PF1 PF2 的值等于 2 已知直线y k x 2 k 0 与抛物线C y2 8x相交于A B两点 F为C的焦 点 若 FA 2 FB 则k 答案 1 3 2 2 2 3 解析 1 焦点坐标为 0 2 由此得m 2 4 故m 6 根据椭圆与双曲线的定义 可得 PF1 PF2 2 PF1 PF2 2 两式平方相减得 63 4 PF1 PF2 4 3 所以 PF1 PF2 3 2 方法一 抛物线C y2 8x的准线为l x 2 直线y k x 2 k 0 恒过定点 P 2 0 如图 过A B分别作AM l于点M BN l于点N 由 FA 2 FB 则 AM 2 BN 点B为AP的中点 连接OB 则 OB AF 1 2 OB BF 点B的横坐标为 1 故点B的坐标为 1 2 2 k 2 2 0 1 2 2 2 3 方法二 如图 由图可知 BB BF AA AF 又 AF 2 BF BC AC BB AA 1 2 即B是AC的中点 Error 与 Error 联立可得A 4 4 B 1 2 22 kAB 4 2 2 2 4 1 2 2 3 1 对于圆锥曲线的定义不仅要熟记 还要深入理解细节部分 比如椭圆的定义中要求 PF1 PF2 F1F2 双曲线的定义中要求 PF1 PF2 F1F2 抛物线上的点 到焦点的距离与到准线的距离相等的转化 2 注意数形结合 提倡画出合理草图 1 2012 山东 已知椭圆C 1 a b 0 的离心率为 双曲线x2 y2 1 的渐 x2 a2 y2 b2 3 2 近线与椭圆C有四个交点 以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16 则椭圆C的方 程为 A 1 B 1 x2 8 y2 2 x2 12 y2 6 C 1 D 1 x2 16 y2 4 x2 20 y2 5 2 如图 过抛物线y2 2px p 0 的焦点F的直线交抛物线于点 A B 交其准线l于点C 若 BC 2 BF 且 AF 3 则此抛物线的方 程为 A y2 9x B y2 6x C y2 3x D y2 x 3 答案 1 D 2 C 解析 1 椭圆的离心率为 3 2 c a a2 b2 a 3 2 a 2b 椭圆方程为x2 4y2 4b2 双曲线x2 y2 1 的渐近线方程为x y 0 渐近线x y 0 与椭圆x2 4y2 4b2在第一象限的交点为 2 5 5 b 2 5 5 b 由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为 b b 4 b2 5 a2 4b2 20 2 5 5 2 5 5 椭圆C的方程为 1 x2 20 y2 5 2 如图 分别过A B作AA1 l于A1 BB1 l于B1 由抛物线的 定 义知 AF AA1 BF BB1 BC 2 BF BC 2 BB1 BCB1 30 AFx 60 连接A1F 则 AA1F为等边三角形 过F作FF1 AA1于F1 则F1为AA1的中点 设l交x轴于N 则 NF A1F1 AA1 AF 即p 抛物线方程为 1 2 1 2 3 2 y2 3x 故选 C 考点二 圆锥曲线的几何性质 例 2 1 2013 辽宁 已知椭圆C 1 a b 0 的左焦点为F C与过原点的直线 x2 a2 y2 b2 相交于A B两点 连接AF BF 若 AB 10 BF 8 cos ABF 则C的离心率 4 5 为 A B C D 3 5 5 7 4 5 6 7 2 已知双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点分别为F1 F2 点P在双曲线的右 x2 a2 y2 b2 支上 且 PF1 4 PF2 则双曲线的离心率e的最大值为 答案 1 B 2 5 3 解析 1 在 ABF中 由余弦定理得 AF 2 AB 2 BF 2 2 AB BF cos ABF AF 2 100 64 128 36 AF 6 从而 AB 2 AF 2 BF 2 则AF BF c OF AB 5 1 2 利用椭圆的对称性 设F 为右焦点 则 BF AF 6 2a BF BF 14 a 7 因此椭圆的离心率e c a 5 7 2 设 F1PF2 由Error 得Error 由余弦定理得 cos e2 17a2 9c2 8a2 17 8 9 8 0 180 cos 1 1 1 e21 10 b 0 的左焦点F作圆x2 y2 的切线 切点为E 延 x2 a2 y2 b2 a2 4 长FE交双曲线右支于点P 若E为PF的中点 则双曲线的离心率为 答案 1 2 3 3 10 2 解析 1 设椭圆C的焦点在x轴上 如图 B 0 b F c 0 D xD yD 则B c b F F xD c yD D B 2F F D Error Error 又 点D在椭圆C上 1 即e2 e 3c 2 2 a2 b 2 2 b2 1 3 3 3 2 设c 双曲线的右焦点为F a2 b2 则 PF PF 2a FF 2c E为PF的中点 O为FF 的中点 OE PF 且 PF 2 OE OE PF OE a 2 PF PF PF a PF PF 2a 3a PF 2 PF 2 FF 2 9a2 a2 4c2 c a 10 2 双曲线的离心率为 10 2 考点三 直线与圆锥曲线的位置关系 例 3 已知椭圆C 1 a b 0 的离心率e 点F为 x2 a2 y2 b2 2 2 椭 圆的右焦点 点A B分别为椭圆的左 右顶点 点M为椭 圆的上顶点 且满足 1 MF FB 2 1 求椭圆C的方程 2 是否存在直线l 当直线l交椭圆于P Q两点时 使点F恰为 PQM的垂心 若存 在 求出直线l的方程 若不存在 请说明理由 解 1 根据题意得 F c 0 c 0 A a 0 B a 0 M 0 b c b a c 0 MF FB ac c2 1 MF FB 2 又e a c c2 c2 1 c a 2 2222 c2 1 a2 2 b2 1 椭圆C的方程为 y2 1 x2 2 2 假设存在满足条件的直线l kMF 1 且MF l kl 1 设直线l的方程为y x m P x1 y1 Q x2 y2 由Error 消去y得 3x2 4mx 2m2 2 0 则有 16m2 12 2m2 2 0 即m2B 0 时 表示焦点在y轴上的椭圆 B A 0 时 表示焦点在x轴上的椭圆 AB0 的焦点弦 F为抛物线的焦点 A x1 y1 B x2 y2 1 y1y2 p2 x1x2 p2 4 2 AB x1 x2 p 为弦AB的倾斜角 2p sin2 3 S AOB p2 2sin 4 为定值 1 FA 1 FB 2 p 5 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切 1 已知点F是双曲线 1 a 0 b 0 的左焦点 点E是该双曲线的右顶点 过点F x2 a2 y2 b2 且垂直于x轴的直线与双曲线交于A B两点 ABE是锐角三角形 则该双曲线的离 心率e的取值范围是 A 1 B 1 2 C 1 1 D 2 1 22 答案 B 解析 由AB x轴 可知 ABE为等腰三角形 又 ABE是锐角三角形 所以 AEB为 锐角 即 AEF 45 于是 AF EF a c 于是c2 a2 a2 ac 即 b2 a e2 e 2 0 解得 1 e1 从而 1 eb 0 的离心率为e 右焦点为F c 0 方程ax2 bx c 0 的 x2 a2 y2 b2 1 2 两个实根分别为x1和x2 则点P x1 x2 A 必在圆x2 y2 2 内 B 必在圆x2 y2 2 上 C 必在圆x2 y2 2 外 D 以上三种情形都有可能 答案 A 解析 x1 x2 x1x2 b a c a x x x1 x2 2 2x1x2 2 12 2 b2 a2 2c a b2 2ac a2 e c a c a 1 2 1 2 b2 a2 c2 a2 2 a2 1 2a 3 4 x x 0 的焦点为F 点M在C上 MF 5 若以MF为直径的圆过点 0 2 则C的方程为 A y2 4x或y2 8x B y2 2x或y2 8x C y2 4x或y2 16x D y2 2x或y2 16x 答案 C 解析 由题意知 F 抛物线的准线方程为x 则由抛物线的定义知 p 2 0 p 2 xM 5 设以MF为直径的圆的圆心为 所以圆的方程为 2 2 p 2 5 2 yM 2 x 5 2 y yM 2 又因为圆过点 0 2 所以yM 4 又因为点M在C上 所以 16 2p 解得 25 4 5 p 2 p 2 或p 8 所以抛物线C的方程为y2 4x或y2 16x 故选 C 2 与椭圆 1 共焦点 离心率互为倒数的双曲线方程是 x2 12 y2 16 A y2 1 B x2 1 x2 3 y2 3 C 1 D 1 3x2 4 3y2 8 3y2 4 3x2 8 答案 A 解析 椭圆 1 的离心率为 且焦点为 0 2 所以所求双曲线 x2 12 y2 16 16 12 16 1 2 的焦点为 0 2 且离心率为 2 所以c 2 2 得a 1 b2 c2 a2 3 故所求双 2 a 曲线方程是y2 1 x2 3 3 2013 江西 已知点A 2 0 抛物线C x2 4y的焦点为F 射线FA与抛物线C相交 于点M 与其准线相交于点N 则 FM MN 等于 A 2 B 1 2 C 1 D 1 3 55 答案 C 解析 由抛物线定义知M到F的距离等于M到准线l的距离MH 即 FM MN MH MN FO AF 1 5 4 过双曲线 1 a 0 b 0 的右焦点F 作圆x2 y2 a2的切线FM交y轴于点P x2 a2 y2 b2 切圆于点M 2 则双曲线的离心率是 OM OF OP A B C 2 D 235 答案 A 解析 由已知条件知 点M为直三角形OFP斜边PF的中点 故OF OM 即 2 c a 所以双曲线的离心率为 22 5 2013 山东 抛物线C1 y x2 p 0 的焦点与双曲线C2 y2 1 的右焦点的连 1 2p x2 3 线交C1于第一象限的点M 若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线 则p等于 A B C D 3 16 3 8 2 3 3 4 3 3 答案 D 解析 抛物线C1的标准方程为x2 2py 其焦点F为 双曲线C2的右焦点F 为 0 p 2 2 0 渐近线方程为y x 3 3 由y x 得x p 故M 1 p 3 3 3 3 3 3 p p 6 由F F M三点共线得p 4 3 3 6 椭圆M 1 a b 0 的左 右焦点分别为F1 F2 P为椭圆M上任一点 且 x2 a2 y2 b2 1 2的最大值的取值范围是 c2 3c2 其中c 则椭圆M的离心率e的 PF PF a2 b2 取值范围是 A B 1 4 1 2 1 2 2 2 C 1 D 1 2 2 1 2 答案 B 解析 设P x y F1 c 0 F2 c 0 则 1 c x y 2 c x y PF PF 1 2 x2 y2 c2 PF PF 又x2 y2可看作P x y 到原点的距离的平方 所以 x2 y2 max a2 所以 max b2 PF2 PF2 所以c2 b2 a2 c2 3c2 即 e2 1 4 1 2 所以 e 故选 B 1 2 2 2 二 填空题 7 2012 江苏 在平面直角坐标系xOy中 若双曲线 1 的离心率为 则m x2 m y2 m2 45 的值为 答案 2 解析 建立关于m的方程求解 c2 m m2 4 e2 5 c2 a2 m m2 4 m m2 4m 4 0 m 2 8 2013 福建 椭圆 1 a b 0 的左 右焦点分别为F1 F2 焦距为 2c 若 x2 a2 y2 b2 直线y x c 与椭圆 的一个交点M满足 MF1F2 2 MF2F1 则该椭圆的离心率 3 等于 答案 1 3 解析 由直线方程为y x c 3 知 MF1F2 60 又 MF1F2 2 MF2F1 所以 MF2F1 30 MF1 MF2 所以 MF1 c MF2 c 3 所以 MF1 MF2 c c 2a 3 即e 1 c a3 9 2013 辽宁 已知F为双曲线C 1 的左焦点 P Q为C上的点 若PQ的长 x2 9 y2 16 等于虚轴长的 2 倍 点A 5 0 在线段PQ上 则 PQF的周长为 答案 44 解析 由双曲线C的方程 知a 3 b 4 c 5 点A 5 0 是双曲线C的右焦点 且 PQ QA PA 4b 16 由双曲线定义 PF PA 6 QF QA 6 PF QF 12 PA QA 28 因此 PQF的周长为 PF QF PQ 28 16 44 10 已知P为椭圆 1 上的一点 M N分别为圆 x 3 2 y2 1 和圆 x 3 x2 25 y2 16 2 y2 4 上的点 则 PM PN 的最小值为 答案 7 解析 由题意知椭圆的两个焦点F1 F2分别是两圆的圆心 且 PF1 PF2 10 从 而 PM PN 的最小值为 PF1 PF2 1 2 7 三 解答题 11 2013 课标全国 平面直角坐标系xOy中 过椭圆M 1 a b 0 右焦点的 x2 a2 y2 b2 直线x y 0 交M于A B两点 P为AB的中点 且OP的斜率为 3 1 2 1 求M的方程 2 C D为M上的两点 若四边形ACBD的对角线CD AB 求四边形ACBD面积的最大 值 解 1 设A x1 y1 B x2 y2 则 1 x2 1 a2 y2 1 b2 1 x2 2 a2 y2 2 b2 得 0 x1 x2 x1 x2 a2 y1 y2 y1 y2 b2 因为 1 设P x0 y0 y1 y2 x1 x2 因为P为AB的中点 且OP的斜率为 1 2 所以y0 x0 即y1 y2 x1 x2 1 2 1 2 所以可以解得a2 2b2 即a2 2 a2 c2 即a2 2c2 又因为c 所以a2 6 3 所以M的方程为 1 x2 6 y2 3 2 因为CD AB 直线AB方程为x y 0 3 所以设直线CD方程为y x m 将x y 0 代入 1 得 3 x2 6 y2 3 3x2 4x 0 即A 0 B 33 4 3 3 3 3 所以可得 AB 4 6 3 将y x m代入 1 得 x2 6 y2 3 3x2 4mx 2m2 6 0 设C x3 y3 D x4 y4 则 CD 2 x3 x4 2 4x3x4 2 2 318 2m2 又因为 16m2 12 2m2 6 0 即 3 mb 0 经过点P 离心率e 直线l x2 a2 y2 b2 1 3 2 1 2 的方程为x 4 1 求椭圆C的方程 2 AB是经过右焦点F的任一弦 不经过点P 设直线AB与直线l相交于点M 记 PA PB PM的斜率分别为k1 k2 k3 问 是否存在常数 使得k1 k2 k3 若存 在 求 的值 若不存在 说明理由 解 1 由P在椭圆 1 上 得 1 3 2 x2 a2 y2 b2 1 1 a2 9 4b2 又e 得a2 4c2 b2 3c2 c a 1 2 代入 得 c2 1 a2 4 b2 3 故椭圆方程为 1 x2 4 y2 3 2 设直线AB的方程为y k x 1 A x1 y1 B x2 y2 由Error 得 4k2 3 x2 8k2x 4k2 12 0 x1 x2 x1x2 8k2 4k2 3 4k2 12 4k2 3 k1 k2 y1 3 2 x1 1 y2 3 2 x2 1 k x1 1 3 2 x1 1 k x2 1 3 2 x2 1 2k 3 2 1 x1 1 1 x2 1 2k 3 2 x1 x2 2 x1x2 x1 x2 1 2k 3 2 8k2 4k2 3 2 4k2 12 4k2 3 8k2 4k2 3 1 2k 1 又将x 4 代入y k x 1 得M 4 3k k3 k 3k 3 2 3 1 2 k1 k2 2k3 故存在常数 2 符合题意 13 已知中心在原点 焦点在x轴上的椭圆C的离心率为 其一个顶点的抛物线x2 4 1 2 y的焦点 3 1 求椭圆C的标准方程 2 若过点P 2 1 的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M 求直线l的方程和点M的 坐标 3 是否存在过点P 2 1 的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A B 且满足 PA PB 2 若