免费下载 2011年高考数学热点：攻略不等式[1]

高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 1 2011 届高考数学热点 攻略不等式届高考数学热点 攻略不等式 不等式是中学数学的内容 是求解数学问题的工具 它贯穿于整个高中数学的始终 融 合于集合问题 方程 组 的解的讨论 函数性质的确定 三角 数列 立体几何中的最值 问题 解析几何中直线与圆锥曲线位置关系的讨论等内容 这些知识块无一不与不等式有着 紧密的联系 所涉及内容的深度与广度是其它章节无法相比的 因此 不等式将是永不衰退 的历届高考热点 所以必须加强对不等式的复习与研究 按 考试说明 的规定 不等式这 一章包括五个知识点 五条考试要求 概括起来有四个方面 不等式的性质 不等式的证明 不等式的解法以及不等式的应用 我们先来分析一下不等式高考的命题趋势 我们先来分析一下不等式高考的命题趋势 w w w k s 5 u c o m 1 题型稳定 近几年来高考平面向量试题一直稳定在 1 2 个小题和其他与高中各知 识块相联系的大题上 分值约为 30 分左右 占总分值的 20 左右 2 由于近年高考命题强调能力立意 考查基础知识不再是考查对知识的复制 而是 考查对基础知识的深刻理解 考查各个基础知识点的联系和交汇 从近三年高考数学试题看 不等式这一章内容的考查不再是单一型了 它往往与其它章节知识结合在一起构成了复合型 试题 不等式试题主要体现了等价转化 函数与方程 分类讨论 数形结合等基本数学思想 其主要题型大致分为 解不等式 证明不等式和不等式的应用 解不等式 不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛 又是学习高等数学的重 要工具 所以不等式是高考数学命题的重点 解不等式的应用非常广泛 如求函数的定义域 值域 求参数的取值范围等 高考试题中对于解不等式要求较高 往往与函数概念 特别是 二次函数 指数函数 对数函数等有关概念和性质密切联系 应重视 从历年高考题目看 关于解不等式的内容年年都有 有的是直接考查解不等式 有的则是间接考查解不等式 证明不等式 复习不等式的性质及常用的证明方法 比较法 分析法 综合法 数学归 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 2 纳法等 掌握较灵活的运用常规方法 即通性通法 证明不等式的有关问题 不等式的应用 应用题中有一类是以不等式为数学模型的 当不等式模型建立后即可 转化为解不等式来解决问题 这是高考中常见题型 希望同学们多加关注 4 由于不等式这部分知识自身的特点 如不等式研究对象的复杂性 手法的多样性 故这部分入手容易深入难 建议大家在这两部分的复习上把握 度 重点突出 使学生知 道哪些是学生必须掌握的 如重要不等式成立的条件 哪些是需要学生根据问题灵活掌握的 如不等式的多种证明方法的运用 注意复习节奏 在近年高考中 对不等式内容的考查的主要知识点和题型有 在近年高考中 对不等式内容的考查的主要知识点和题型有 1 关于不等式的性质w w w k s 5 u c o m 1 梳理时突出功能性 应用性 分成三类 理论依据 两条 对一个不等式进行变换的依据 四条 对两个不等式进行变换的 依据 四条 对某些性质的形式可以为使用做出调整 如当时 0 cbcacba 当时 0 ba Nnbaba nn 1 n 2 性质使用时注意方法的选择与综合 如比较法与综合法的选择 数与形的结合 特殊与一般的结合及函数性质的整合与应用等 2 关于不等式的解法 1 在进一步巩固各类基本不等式求解策略的同时 注重对策略本质的理解 对各种方法的 选择与比较 2 突出对分类讨论思想的认识与使用 提高求简意识 3 关于不等式的证明 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 3 不等式证明常用的方法有 比较法 综合法和分析法 它们是证明不等式的最基本的方法 1 比较法证不等式有作差 商 变形 判断三个步骤 变形的主要方向是因式分解 配方 判断过程必须详细叙述 如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式 则考虑用判别式法证 2 综合法是由因导果 而分析法是执果索因 两法相互转换 互相渗透 互为前提 充分运用这一辩证关系 可以增加解题思路 开扩视野 不等式证明还有一些常用的方法 换元法 放缩法 反证法 函数单调性法 判别式法 数形结合法等 换元法主要有三角代换 均值代换两种 在应用换元法时 要注意代换的等 价性 放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一 放缩要有的放矢 目标可以从要证的 结论中考查 有些不等式 从正面证如果不易说清楚 可以考虑反证法 凡是含有 至少 惟一 或含有其他否定词的命题 适宜用反证法 证明不等式时 要依据题设 题目的特点和内在联系 选择适当的证明方法 要熟悉各种证 法中的推理思维 并掌握相应的步骤 技巧和语言特点 4 关于不等式的应用w w w k s 5 u c o m 1 利用平均值定理求某些函数或对象的最大或最小值问题 强化变换的目的性 突出步骤的合理性的认识 2 突出函数 方程与不等式之间的关系 并利用三者的联系解决某些变量取值范围的问题 变量与常量的处理问题即恒成立问题 突出函数思想的理解与应用 以不等式为工具 充分展示对函数的理解 对函数相关知识 的综合应用 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 4 一 选择题 每小题 5 分 1 2009 安徽卷理 下列选项中 p 是 q 的必要不充分条件的是 A p b d q b 且 c d ac a B p a 1 b 1 q 的图像不过第二象限 01 x f xab aa 且 C p x 1 q 2 xx D p a 1 q 在上为增函数 log 01 a f xx aa 且 0 解析 解析 由 b 且 c d b d 而由 b d b 且 c d 可举反例 选 Aa ac ac a 2 设 x y 满足约束条件 若目标函数 z ax by a 0 b 0 的值是最 0 0 02 063 yx yx yx 无理不等 式 不 等 式 不等式的性质均值不等式 不等式的解法 比较法 综合法 分析法 放缩法 反证法 换元法 函数法 导数法 不等式的证明 有理不等 式 超越不等 式 绝对值不等 式 一元一次不等式 组 一元二次不等式 组 整式高次不等式 组 分式高次不等式 组 指数不等式 组 对数不等式 组 三角不等式 组 不等式的应用 函数的定义域 值域与单调性 取值范围问题 最值问题 方程根的分布 数列不等式 函 数不等式的证 明 实际应用问题 线性规划 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 5 大值为 12 则的最小值为 23 ab A B C D 4 w w w k s 5 u c o m 6 25 3 8 3 11 x 2 2 y O 2 z ax by 3x y 6 0 x y 2 0 解析 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分 当直线 ax by z a 0 b 0 过直线 x y 2 0 与直线 3x y 6 0 的交点 4 6 时 目标函数 z ax by a 0 b 0 取得最大 12 即 4a 6b 12 即 2a 3b 6 而 故选 A 23 ab 23 23131325 2 6666 abba abab 答案 A 命题立意 本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题 要求能准 确地画出不等式表示的平面区域 并且能够求得目标函数的最值 对于形如已知 2a 3b 6 求 的最小值常用乘积进而用基本不等式解答 23 ab 3 已知函数 则不等式的解集是 01 01 xx xx xf 111 xfxx A B 121 xx 1 xx C D 12 xx 1212 xx 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 6 解析 解析 依题意得 1 1010 1 1 1 xx xxxxxx 或 所以 选 C 1 11 1 2121 2121 x x x x xx Rx 或或 3 是 且 的 A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 解析 易得时必有 若时 则可能有 选 A abcd 且 且acbd acbd adcb 且 且 答案 A 4 已知 为实数 且 则 是 的abcdcdabacbd A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案答案 B B 解析 解析 显然 充分性不成立 又 若 和 都成立 则同向不等式相加得acbdcd 即由 abacbd ab 5 2008 山东文 不等式的解集是 D 2 5 2 1 x x A B C D 1 3 2 1 3 2 1 113 2 1 113 2 解析 解析 本小题主要考查分式不等式的解法 易知排除 B 由符合可排除 C 1x 0 x 由排除 A 故选 D 也可用分式不等式的解法 将 2 移到左边直接求解 3x 6 2009 四川卷文 某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨 B 原料 2 吨 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨 B 原料 3 吨 销售每吨甲产品可获得利润 5 万 元 每吨乙产品可获得利润 3 万元 该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨 B 原 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 7 料不超过 18 吨 那么该企业可获得最大利润是 A 12 万元 B 20 万元 C 25 万元 D 27 万元 答案答案 D D 解析 解析 设生产甲产品吨 生产乙产品吨 则有关系 xy A 原 料 B 原 料 甲产品吨x 3x 2x 乙产品 吨y y 3y 则有 w w w k s 5 u c o m 1832 133 0 0 yx yx y x 目标函数yxz35 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标 经验证知 当 3 5 时可获得最大利润为 27 万元 故选 Dxy 7 2009 湖南卷文 若0 x 则 2 x x 的最小值为 2 2 解析 解析 0 x 2 2 2x x 当且仅当 2 2xx x 时取等号 8 2008 陕西理 是 对任意的正数 的 1 8 a x21 a x x A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 解析 解析 另一方面对任意正数 1 8 a 11 222 21 88 a xxx xxx x21 a x x 只要 所以选 A222 21 aa xxa xx 2 1 8 a 3 4 0 6 O 0 3 13 y x9 13 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 8 9 2009 宁夏海南卷理 设 x y 满足 24 1 22 xy xyzxy xy 则 A 有最小值 2 最大值 3 B 有最小值 2 无最大值 C 有最大值 3 无最小值 D 既无最小值 也无最大值w w w k s 5 u c o m 解析 解析 画出可行域可知 当过点 2 0 时 但无最大值 选 B zxy min 2z 10 2009 天津卷理 设若的最小值为0 0 ab 11 333 ab ab 是与的等比中项 则 A 8 B 4 C 1 D 1 4 解析 解析 因为 所以 333 ba 1 ba 当且仅当即时4222 11 11 b a a b b a a b ba ba bab a a b 2 1 ba 成立 故选择 C 11 2008 浙江理 已知 b 都是实数 那么 是 b 的 D a 22 ba a A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 解析 本小题主要考查充要条件相关知识 依题 a b 既不能推出 a b 反之 由 a b 也不能推出 22 ba 故 22 ba 是 a b 的既不充分也不必要条件 12 2009 天津卷理 若关于 x 的不等式 的解集中的整数恰ab 10 2 xb 2 ax 有 3 个 则 A B C D 01 a10 a31 a63 a 解析 解析 由题得不等式 即 它的解应在两根之 2 xb 2 ax02 1 222 bbxxa 间 故有 不等式的解集为或04 1 44 22222 baabb 11 a b x a b 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 9 若不等式的解集为 又由得 11 0 a b x a b 11 a b x a b ab 10 故 即 1 1 0 a b 2 1 3 a b 3 1 2 a b 13 2008 海南 已知 则使得都成立的x取值范围 123 0aaa 2 1 1 12 3 i a xi 是 A B C D 1 1 0 a 1 2 0 a 3 1 0 a 3 2 0 a 解析 解析 所以解集为 2222 2 1 120 0 iiii i a xa xa xa x x a 2 0 i a 又 因此选 B 123 222 aaa 14 2009 四川卷理 已知为实数 且 则 是 的 a b c dcd ab acbd A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 解析 推不出 但 故选择 B ba acbd bdcbadbca 解析 2 令 则 由2 1 3 5abcd 13 5 8acbd 可得 因为 则 所以 故 是acbd abcd cd 0cd ab ab 的必要而不充分条件 acbd 15 2009 四川卷理 某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨 B 原料 2 吨 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨 B 原料 3 吨 销售每吨甲产品可获得利润 5 万元 每吨乙产品可获得利润 3 万元 该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨 B 原料不超过 18 吨 那么该企业可获得最大利润是 A 12 万元 B 20 万元 C 25 万元 D 27 万元 解析 解析 设甲 乙种两种产品各需生产 吨 可使利润最大 故本题即xyz 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 10 已知约束条件 求目标函数的最大 0 0 1832 133 y x yx yx yxz35 值 可求出最优解为 故 故选择 4 3 y x 271215 max z D 16 2009 重庆卷理 不等式对任意实数恒成立 则实数的取值 2 313xxaa xa 范围为 A B 1 4 2 5 C D 1 2 1 2 答案 A 解析 解析 因为对任意 x 恒成立 所以 2 4314313xxxxaa 对 22 343041aaaaaa 即 解得或 17 2009 重庆卷文 已知 则的最小值是 0 0ab 11 2 ab ab A 2B C 4D 52 2 答案 C 解析 解析 因为当且仅当 且 1111 2222 4ababab ababab 11 ab 即时 取 号 1 ab ab ab 二 填空题 每小题 5 分 18 2009 浙江理 若实数满足不等式组则的最小值是 x y 2 24 0 xy xy xy 23xy 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 11 答案 4 解析 解析 通过画出其线性规划 可知直线过点时 2 3 yxZ 2 0 min234xy 19 2009 浙江卷文 若实数满足不等式组则的最小值是 x y 2 24 0 xy xy xy 23xy 命题意图 此题主要是考查了线性规划中的最值问题 此题的考查既体现了正确画线性区 域的要求 也体现了线性目标函数最值求解的要求w w w k s 5 u c o m 解析 解析 通过画出其线性规划 可知直线过点时 2 3 yxZ 2 0 min234xy 20 2009 上海卷文 已知实数 x y 满足 则目标函数 z x 2y 的最小值是 2 2 3 yx yx x w w w k s 5 u c o m 答案 9 解析 解析 画出满足不等式组的可行域如右图 目标函数化为 z 画直线及xy 2 1 xy 2 1 其平行线 当此直线经过点 A 时 z 的值最大 z 的值最小 A 点坐标为 3 6 所以 z 的最小值为 3 2 6 9 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 12 21 2009 北京卷理 若实数满足则的最小值为 x y 20 4 5 xy x y syx 答案答案 6 w w w k s 5 u c o m 解析 解析 本题主要考查线性规划方面 的基础知 属于基础知识 基本运算 的考查 如图 当时 4 2xy 为最小值 246syx 故应填 6 22 2009 山东卷理 不等式的解集为 0212 xx 解析 原不等式等价于不等式组 或 2 21 2 0 x xx 1 2 2 21 2 0 x xx 或 不等式组 无解 由 得 由 得 综上得 1 2 21 2 0 x xx 1 1 2 x 1 1 2 x 所以原不等式的解集为 11x 11 xx 答案 w w w k s 5 u c o m 11 xx 命题立意 本题考查了含有多个绝对值号的不等式的解法 需要根据绝对值的定义分段去 掉绝对值号 最后把各种情况综合得出答案 本题涉及到分类讨论的数学思想 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 13 6 2009 山东卷文 某公司租赁甲 乙两种设备生产 A B 两类产品 甲种设备每天能生产 A 类 产品 5 件和 B 类产品 10 件 乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件 已知设备甲 每天的租赁费为 200 元 设备乙每天的租赁费为 300 元 现该公司至少要生产 A 类产品 50 件 B 类产品 140 件 所需租赁费最少为 元 解析 解析 设甲种设备需要生产天 乙种设备需要生产天 该公司所需租赁费为元 则xyz 甲 乙两种设备生产 A B 两类产品的情况为下表所示 200300zxy 产品 设备 A 类产品 件 50 B 类产品 件 140 租赁费 元 甲设备 5 10 200 乙设备 6 20 300 则满足的关系为即 w w w k s 5 u c o m 5650 1020140 0 0 xy xy xy 6 10 5 214 0 0 xy xy xy 作出不等式表示的平面区域 当对应的直线过两直线的交点200300zxy 6 10 5 214 xy xy 4 5 时 目标函数取得最低为 2300 元 200300zxy 答案 2300 命题立意 本题是线性规划的实际应用问题 需要通过审题理解题意 找出各量之间的关 系 最好是列成表格 找出线性约束条件 写出所研究的目标函数 通过数形结合解答问题 23 2009 年上海卷理 若行列式中 元素 4 的代数余子式大于 0 4 1 7 5 x x 3 8 9 则 x 满足的条件是 w w w k s 5 u c o m 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 14 答案 8 3 x 解析 解析 依题意 得 1 2 9x 24 0 解得 8 3 x 三 解答题 24 2009 江苏卷 本小题满分 16 分 按照某学者的理论 假设一个人生产某产品单件成本为a元 如果他卖出该产品的单价 为m元 则他的满意度为 m ma 如果他买进该产品的单价为n元 则他的满意度为 n na 如果一个人对两种交易 卖出或买进 的满意度分别为 1 h和 2 h 则他对这两种交易的综合满 意度为 1 2 hh w w w k s 5 u c o m 现假设甲生产 A B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元 乙生产 A B 两种产品的 单件成本分别为 3 元和 20 元 设产品 A B 的单价分别为 A m元和 B m元 甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为h且 乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为h且 w w w k s 5 u c o m 1 求h且和h且关于 A m B m的表达式 当 3 5 AB mm 时 求证 h且 h且 2 设 3 5 AB mm 当 A m B m分别为多少时 甲 乙两人的综合满意度均最大 最大的 综合满意度为多少 3 记 2 中最大的综合满意度为 0 h 试问能否适当选取 A m B m的值 使得 0 hh 且 和 0 hh 且 同时成立 但等号不同时成立 试说明理由 解析 解析 本小题主要考查函数的概念 基本不等式等基础知识 考查数学建模能力 抽象概 括能力以及数学阅读能力 满分 16 分 1 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 15 当时 3 5 AB mm 2 3 5 3 5 20 5 12 5 B BB BBB B m mm h mmm m 甲 h且 h且 2 3 5 3 20 5 20 3 5 B BB BBB B m mm h mmm m 乙 2 当时 3 5 AB mm 2 2 11 20511 20 5 1 1 100 251 B BB BBBB m h mm mmmm 甲 由 111 5 20 20 5 B B m m 得 故当即时 11 20 B m 20 12 BA mm 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 10 5 3 方法一 由 2 知 0 h 10 5 由得 0 10 1255 AB AB mm hh mm 甲 1255 2 AB AB mm mm 令则 即 35 AB xy mm 1 1 4 xy 5 14 1 2 xy 同理 由得 w w w k s 5 u c o m 0 10 5 hh 乙 5 1 14 2 xy 另一方面 1 1 4 xy 141xx 5 1 4y 2 5 1 y 2 2 当且仅当 即 A m B m时 取等号 55 1 4 1 1 1 4 22 xyxy 1 4 xy 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 16 所以不能否适当选取 A m B m的值 使得 0 hh 且 和 0 hh 且 同时成立 但等号不同时成立 25 2009 湖北卷文 本小题满分 12 分 围建一个面积为 360m2的矩形场地 要求矩形场地的一面利用旧墙 利用旧墙需维 修 其它三面围墙要新建 在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口 如图 所示 已知旧墙的维修费用为 45 元 m 新墙的造价为 180 元 m 设利用的旧墙的长度为 x 单位 元 将 y 表示为 x 的函数 试确定 x 使修建此矩形场地围墙的总费用最小 并求出最小总费用 解析 解析 1 如图 设矩形的另一边长为 a m 则 45x 180 x 2 180 2a 225x 360a 360 2 y 由已知 xa 360 得 a w w w k s 5 u c o m x 360 所以 y 225x 0 360 3602 x x II 108003602252 360 225 0 2 2 x xx 当且仅当 225x 时 等号成立 10440360 360 225 2 x xy x 2 360 即当 x 24m 时 修建围墙的总费用最小 最小总费用是 10440 元 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 17 26 设数列满足为实数 n a 3 01 0 1 nn aacac cNc 且且 证明 对任意成立的充分必要条件是 0 1 n a nN 0 1 c 设 证明 1 0 3 c 1 1 3 n n acnN 设 证明 1 0 3 c 222 12 2 1 1 3 n aaannN c 解析 解析 1 1 必要性必要性 w w w k s 5 u c o m 12 0 1aac 又 即 2 0 1 011ac 0 1 c 充分性充分性 设 对用数学归纳法证明 0 1 c nN 0 1 n a 当时 假设1n 1 0 0 1 a 0 1 1 k ak 则 且 3 1 111 kk acaccc 3 1 110 kk acacc 由数学归纳法知对所有成立 1 0 1 k a 0 1 n a nN 2 2 设 当时 结论成立 1 0 3 c 1n 1 0a 当 时 2n 32 1111 1 1 1 1 nnnnnn acacacaaa 由 1 知 所以 且 1 0 3 c 1 0 1 n a 2 11 13 nn aa 1 10 n a 1 13 1 nn aca 211 121 13 1 3 1 3 1 3 nn nnn acacacac 1 1 3 n n acnN 3 3 设 当时 结论成立 1 0 3 c 1n 2 1 2 02 1 3 a c 当时 由 2 知2n 1 1 3 0 n n ac 21 212 1 1 1 3 1 2 3 3 1 2 3 nnnn n acccc 2222221 122 1 2 3 3 3 n nn aaaaanccc w w w k s 5 u c o m 2 1 3 2 11 1 31 3 n c nn cc 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 18 27 2008 江西 数列为等差数列 为正整数 其前项和为 数列为等比数列 且 n a n an