马江红利用一题多解（证）培养学生发散思维

1 a b c 0 16a 4b c 0 c 2 利用一题多解 证 培养学生发散思维 湖北省秭归县郭家坝镇初级中学 马江红 美国心理学家吉尔福特说 人的创造力主要依靠发散思维 它是创造思维的主要成分 在中考数学复习中 实践充分告诉我们 学生所做的复习题不在于多 而在于精 我们要 大力摆脱题海战术 寻求知识的共同点 延伸点 将其综合运用 其中寻求多种途径的解法 或证法 能促使学生思维向多层次 多方位发散 达到 举一反三 的效果 不仅能使 我们掌握相应的几种解题技巧 还可以帮助我们全方位地观察问题 多角度多层次地深入理解 数学知识 提高数学解题的能力 使我们的思维更灵活 解题思路更开阔 应变能力更强 本人 就一道代数综合中考题 结合我班学生实际 把充分利用所学知识 积极探索发现 综合运 用数学思想方法 利用一题多解 证 培养学生的发散思维整理如下 仅供参考 题目 2013 广西贺州 如图 直线与 x y 轴分别交于点 A C 抛物线的图2 2 1 xy 像经过 A C 和 B 1 0 1 求抛物线的解析式 2 在直线 AC 上方的抛物线上有一动点 D 当 D 点与直线 AC 的距离 DE 最大时 求出 D 点的坐标 并求出最大距离是多少 1 分析 主要考查了一次函数 二次函数的图像和性质 利用直线与 x y 轴的交点 特征 求出 A C 点的坐标 再根据抛物线经过 A C B 三点 利用待定系数法求出抛物线 的解析式 学生独立完成 且效果较好 CAyxxy 轴分别交于点 与直线 解 2 2 1 1 20 04 CA 设抛物线的解析式为 由其图像经过 A 4 0 B 1 0 C 0 2 得 0 2 acbxaxy 2 2 5 2 1 cba解得 2 2 5 2 1 2 xxy 所以抛物线的解析式为 2 2 解法 解法 1 1 分析 引导学生把求 DE 的最大值与二次函数的最值联系起来 利用辅助线 DF y 轴 找相似三角形 AOC DEF 根 据对应边成比例表示出 DE 的长度 从而构建二次函数 利用求二次函数最值的方法 AC DF AO DE xxDE 5 54 5 5 2 求出 5 54 4 4 2 a bac DE最大距离 解 过 D 点作 DF y 轴 交直线 AC 于点 F DF y 轴 DFE ACO 又 AOC DEF AOC DEF AC DF AO DE 由 1 得 A 4 0 C 0 2 即 AO 4 AC 52 F 2 为最大距离 上 且上方抛物线点在又DExxyACD2 2 5 2 1 2 则轴的上方 设点应在 2 2 5 2 1 2 F yxFxxxDxD 上点在又2 2 1 xyF 2 2 1 xxF xxxxxDF2 2 1 2 2 1 2 2 5 2 1 22 52 2 2 1 4 2 xx DE xxDE 5 54 5 5 2 即 2 2 a b xD122 2 5 2 2 1 2 D y 5 54 4 4 2 a bac DE最大距离 所以 当点 D 的坐标为 D 2 1 时 D 点到直线 AC 的距离最大 且 DE 的最大值为 5 54 解法解法 2 2 分析 通过作 y 轴的平行线 DF 得到 DFE ACO 在不同的直角三角形中 根据相等的锐角三角函数相等 得到 DE 与 DF 的比值是一个定值 即 从而将求 DE 的最大距离转化为求 DF 的最大值 又因为 52 4 DF DE 构建关于 x 的二次函数即 求出 2 2 1 2 2 5 2 1 2 xxxyyy ACDF DF yxxy2 2 1 2 进而得到 2 4 4 2 a bac yDF最大值 5 54 2 52 4 52 4 DFDE 解 过 D 点作 DF y 轴 交直线 AC 于点 F DF y 轴 OCA EFD 在直角 AOC 和直角 DEF 中 AC OA OCA sin DF DE EFD sin DF DE AC OA 由 1 得 A 4 0 C 0 2 即 AO 4 AC 52 52 4 DF DE 即 当 DF 取最大值时 D 点到 AC 的距离 DE 有最大值 2 2 1 2 2 5 2 1 2 xxxyyy ACDF 又 F 3 xxyDF2 2 1 2 2 4 4 2 2 2 a bac y a b x DF最大值 时 当 52 4 2 DE 即 5 54 52 8 DE 12 D yx时 当 所以 当点 D 的坐标为 D 2 1 时 D 点到直线 AC 的距离最大 且 DE 的最大值为 5 54 解法解法 3 3 分析 连接 AD CD 构建直角三角形 因为由 1 的结论是一定值 又因为 DE AC 利用三角形的面积52 AC 法 即把求 DE 的最大值问题转化为求面积的最大值 再在平面直角坐标系中表示出 ADC 的面积 从而得到ADC 二次函数 利用二次函数最值求出 ADC 面积的最大值为 4 进而由 424 2 2 xxxS ADC 得到 DEACS ADC 2 1 5 54 5224 DE 解 连接 AD CD 设 D m n A 4 0 C 0 2 52 AC DEACS ADC 2 1 又 当 ADC 的面积最大时 D 点到 AC 的距离 DE 有最大 值 24 2 1 4 2 1 2 2 1 24 nmmnnS ADC 又 mnS ADC 24即 上在 又2 2 5 2 1 2 xxynmD xxxS ADC 2 2 5 2 1 24 2 424 2 2 xxxS ADC 即 42 最大值 时 当 ADC Sx 452 2 1 2 1 DEDEACS ADC 5 54 DE 12 D yx时 当又 4 所以 当点 D 的坐标为 D 2 1 时 D 点到直线 AC 的距离最大 且 DE 的最大值为 5 54 解法解法 4 4 分析 利用 D 点在 AC 上方的抛物线上 当 DE 取最大值时 过 D 点平行于 AC 的直线与抛物线只有一个交点 故而平移 直线 AC 联立方程组 整理得到关于 x 的一元二次方程有两个相等的实数解 即 0 进而得到直线 AC 向上平移了 2 个 单位 DF 2 时 D 点到 AC 的距离 DE 最大 又由 DEF AOC 得 即 所以 AC DF AO DE 52 2 4 DE 5 54 DE 解 有最大距离 时 只有一个交点平移后与抛物线由题意得 将直线 DE DxxyxyAC2 2 5 2 1 2 2 1 2 bxy 2 1 为 设平移后直线的解析式 由直线 抛物线只有一个交点得 bxy 2 1 2 2 5 2 1 2 xxy 2 2 5 2 1 2 1 2 xxbx即 022 2 1 2 bxx整理得 024 2 2 1 44 bb 0 b xy 2 1 平移后的直线解析式为 xy 2 1 2 2 5 2 1 2 xxy 即 D 2 1 过 D 点作 DF y 轴交 AC 与点 F 此时 直线在的基础上向上平移了 2xy 2 1 2 2 1 xy 个单位 即 DF 2 DF y 轴 DFE ACO 又 AOC DEF 90 AOC DEF AO DE AC DF 524 ACAO 又 F 5 452 2DE 5 54 DE即 所以 当点 D 的坐标为 D 2 1 时 D 点到直线 AC 的距离最大 且 DE 的最大值为 5 54 总之 在我们的教学过程中 对于一道试