运用特征数求一阶递推数列的通项

运用特征数求一阶递推数列的通项 第 1 页 共 3 页 运用特征数求一阶递推数列的通项运用特征数求一阶递推数列的通项 李晓燕 二中 一个数列可以由通项公式来确定 也可以由相邻项的关系及初始项来确定 我们把数列的这种若干连续项 之间的关系叫做递推关系 由递推关系和初始条件给出的数列叫做递推数列 等差数列也可以用递推关系来定 义 满足下列条件 01 1 aa daa nn 0 为常数daNn 的数列称为等差数列 类似地 等比数列的定义 满足下列条件 01 1 aa qaa nn 0 为常数qaNn 的数列称为等比数列 因此 等差数列和等比数列是两个特殊的递推数列 是研究其他数列的基础 其定义 通项公式和求和公 式是解决复杂数列问题的重要工具 一般地 由两个连续项之间的关系 及一个初始项所确定的数列 叫做一阶递推 1nn afa Nn 1 a 数列 由三个连续项之间的关系 及两个初始项 所确定的数列 叫做二阶递 12nnn aafa Nn 1 a 2 a 推数列 如数列满足 其中为常数 这个数列就是二 n aqapaaaa nnn 2112 02qpNn 阶递推数列 在高考试题中 主要以一阶递推数列为主 应引起足够的重视 递推数列的通项公式求法很 多 技巧性较强 这里重点介绍形如的一阶递推数列的通项公式的求法 qpaa nn 1 问题问题 已知数列的首项为 当时 其中为常数 求数列的 n aaa 1 2 nqpaa nn 1 qp n a 通项公式 分析 1 当时 则有 即 1 pqaa nn 1 qaa nn 1 2 n 根据等差数列定义 数列是首项为 公差为的等差数列 n aaq 所以数列的通项公式为 n a qnaan 1 2 当时 由已知得 这表明数列是一个各项均为常数列 所以数列的通项0 pqan n aq n a 公式为 qan 3 当 且 时 由已知得 0 p1 p0 q 1 nn paa 即 p a a n n 1 2 n 根据等比数列的定义可知 数列是首项为 公比为的等比数列 所以数列的通项公式为 n aap n a 1 n n paa 4 当时 设 则0 0 1 qpp且且 1 xapxa nn xpxpaa nn 1 又由已知 比较两式的右边 可得qpaa nn 1 qxpx 所以 1 p q x 于是有 1 1 1 p q ap p q a nn 运用特征数求一阶递推数列的通项 第 2 页 共 3 页 若 则当时 由上式 可得 1 p q a2 n 2 a 1 1 1 p q p q ap 1 1 a p q 类推 n a 1 p q 若 则有 可知数列是以为首项 公比为的等比数列 1 p q a 1 p q an 1 p q ap 所以 1p q an 1 1 n p p q a 即 n a 1 1 n p p q a 1 p q 由以上讨论可以得出 一般地 数列的首项为 当时 其中为 n aaa 1 2 nqpaa nn 1 qp 非零常数 且 取 称为递推关系中特征数 它对求通项公式很有用 应记住 在解题时1 p 1 p q 要先将递推关系变成形如的形式 然后再考查特征数 以便对递推关系进一步变形 qpaa nn 1 例例 1 已知数列 且对于时恒有 求数列的通项公式 n a2 1 a1 n1 2 1 1 nn aa n a 分析 显然 而 可知 数列是常数列 2 1 2 1 1 2 1 a n a 解 由已知的 又因为 2 2 1 2 1 nn aa2 1 a 所以 2 n a 例例 2 数列的前和满足 n an n SnaS nn 2 Nn 1 求的值及与的关系 1 a n a 1 n a 2 求证 是等比数列 并求出的通项公式 1 1 n a n a 分析 利用 将已知条件中转化即可求得与的关系 问题很容易解决 2 1 1 1 nSS nS a nn nn a 1 n a 解 1 由 得 12 11 aS12 11 aa 1 1 a 当时 得2 n 1 2 2 11 nanaSSa nnnnn 12 1 nn aa 2 由 1 知 则有12 1 nn aa 由于 1 21 1 nn aa1 1 a 所以数列是以 2 为首项 2 为公比的等比数列 2 1 1 1 n n a a 1 n a 即 1 221 n n a12 n n a 例例 3 在数列中 求 n a 3 1 11 n n n a a aa n a 分析 将已知关系式变形为 两边同除以可得 记 则 nnna aaaa 11 3 1 nna a1 31 1 nn aa n n a b 1 这就可以用前面的公式求出 从而得到的表达式 13 1 nn bb n b n a 运用特征数求一阶递推数列的通项 第 3 页 共 3 页 略解 由已知关系式得所以数列是以为首项 公比为 3 得等比数列 2 11 3 2 11 1 nn aa 2 11 n a2 3 故 所以 1 3 2 3 2 11 n n a 13 2 n n a 例例 4 设数列中 其中为常数 求 n x 2 1 1a a x 2 1 1 1 n n n x x xa 2 Nnn n x 分析 将已知两边平方并去分母可得 2 1 1 1 n n n x x x 两边同除以得 2 1 2 1 22 nnnn xxxx 2 1 2 nnx x 所以可看作是公差为 1 的等差数列 再利用等差数列的通项公式进行求解 1 11 2 1 2 nn xx 1 2 n x 解 由已知得所以 0 n x 2 1 2 12 1 n n n x x x 即1 11 2 1 2 nn xx 因此 数列是公差为 1 的等差数列 1 2 n x 所以 1 1 1 1 1 11 22 2 2 1 2 a nn a a n xxn 即 1 1 2 2 2 na a na a xn 由已知 与的符号相同 而与的符号相同 因而与的符号相同 所以 n x 1 n x 1 xa n xa 2 1na a xn 通过以上例子可看出 求一阶递推数列的通项公式应注意对递推关系的灵活