2014届高考数学（理）总复习配套课时检测：4-1《导数的概念及运算》（新人教A版）

4 14 1 导数的概念及运算导数的概念及运算 一 选择题 1 2012 年河南郑州 5 月模拟 直线y kx 1 与曲线y x3 ax b相切于点A 1 2 则ab A 8B 6 C 1D 5 解析 由题意得y kx 1 过点A 1 2 2 k 1 即k 1 曲线y 3x2 a 又 直线y kx 1 与曲线相切于点 1 2 y k 且y x 1 3 a 即 1 3 a a 2 代入曲线方程y x3 ax b 可解得b 3 ab 2 3 8 故选 A 答案 A 2 已知函数f x 的导函数为f x 且满足f x 2xf 1 lnx 则f 1 A eB 1 C 1D e 解析 f x 2f 1 令x 1 得f 1 1 选 B 1 x 答案 B 3 曲线y 在点 1 1 处的切线方程为 x x 2 A y 2x 1B y 2x 1 C y 2x 3D y 2x 2 解析 y x 2 x x 2 2 2 x 2 2 在点 1 1 处的切线方程的斜率为 2 2 1 2 2 切线方程为y 1 2 x 1 即y 2x 1 答案 A 4 2011 年全国课标 曲线y e 2x 1 在点 0 2 处的切线与直线y 0 和y x围成 的三角形的面积为 A B 1 3 1 2 C D 1 2 3 解析 y 2e 2x y x 0 2 在点 0 2 处的切线为 y 2 2x 即 2x y 2 0 由Error 得Error A S ABO 2 3 2 3 1 2 2 3 1 3 答案 A 5 2012 年四川成都石室中学高三诊断 设函数f x g x x2 曲线y g x 在点 1 g 1 处的切线方程为y 2x 1 则曲线y f x 在点 1 f 1 处切线的斜率为 A B 2 1 4 C 4D 1 2 解析 曲线y g x 在点 1 g 1 处的切线方程为y 2x 1 g 1 k 2 又f x g x 2x f 1 g 1 2 4 故切线的斜率为 4 故选 C 答案 C 6 如图 一个正五角星薄片 其对称轴与水面垂直 匀速地升出水面 记t时刻五角星 露出水面部分的图形面积为S t S 0 0 则导函数y S t 的图象大致为 解析 五角星露出水面的面积的增长速度与其导函数的单调性相关 增长速度越快 导函数单调递增 否则导函数单调递减 五角星露出水面面积的增长速度先快又慢 接着又快最后又慢 答案 A 二 填空题 7 曲线y lnx在与x轴交点的切线方程为 解析 由y lnx得 y y x 1 1 曲线y lnx在与x轴交点 1 0 处的 1 x 切线方程为y x 1 即x y 1 0 答案 x y 1 0 8 2012 年安徽皖南八校三联 已知函数f x x3 x2的图象上点A处的切线与直线 1 3 x y 2 0 的夹角为 45 则点A处的切线方程为 解析 本题主要考查导数的应用 首先由夹角公式求出切线斜率 然后利用导数的几 何意义求出点A坐标 即可求出切线方程 设点A处切线斜率为k 由夹角公式得 tan 45 1 解得k 0 k 1 1 k 设A x0 y0 则k f x0 x 2x0 0 2 0 x0 0 或 2 点A的坐标为 0 0 或 2 4 3 点A处切线方程为y 0 或y 4 3 答案 y 0 或y 4 3 9 已知函数f x x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 则f 0 解析 f x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 f 0 1 2 3 4 5 120 答案 120 三 解答题 10 求下列函数的导数 1 y x5 x3 3x2 1 5 4 32 2 y 3x3 4x 2x 1 3 y sin22x 4 y ln 1 x2 解 1 y x5 x3 3x2 1 5 4 32 x4 4x2 6x 2 y 3x3 4x 2x 1 6x4 3x3 8x2 4x y 24x3 9x2 16x 4 3 y 2sin 2x cos 2x 2 2sin 4x 4 y 2x 1 1 x2 1 2 1 x2 x 1 x2 11 1 2012 年浙江杭州一模 已知函数f x x3 f x2 x 求函数f x 的图象 2 3 在点 f 处的切线方程 2 3 2 3 2 若存在过点 1 0 的直线与曲线y x3和y ax2 x 9 都相切 求a的值 15 4 解 1 由f x x3 f x2 x 2 3 可得f x 3x2 2f x 1 2 3 f 3 2 2f 1 2 3 2 3 2 3 2 3 解得f 1 即f x x3 x2 x 2 3 则f 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 22 27 故函数f x 的图象在 f 处的切线方程是y x 2 3 2 3 22 27 2 3 即 27x 27y 4 0 2 设过 1 0 的直线与y x3相切于点 x0 x 3 0 所以切线方程为y x 3x x x0 即y 3x x 2x 3 02 02 03 0 又 1 0 在切线上 则x0 0 或x0 3 2 当x0 0 时 由y 0 与y ax2 x 9 相切可得a 15 4 25 64 当x0 时 由y x 与y ax2 x 9 相切可得a 1 3 2 27 4 27 4 15 4 所以a 1 或a 25 64 12 已知曲线y x3 1 3 4 3 1 求曲线在点P 2 4 处的切线方程 2 求曲线过点P 2 4 的切线方程 解 1 y x2 在点P 2 4 处的切线的斜率k y x 2 4 曲线在点P 2 4 处的切线方程为y 4 4 x 2 即 4x y 4 0 2 设曲线y x3 与过点P 2 4 的切线相切于点A x0 x 1 3 4 3 1 3 3 0 4 3 则切线的斜率k y x x0 x 2 0 切线方程为y x x x x0 1 3 3 0 4 32 0 即y x x x 2 0 2 3 3 0 4 3 点P 2 4 在切线上 4 2x x 2 0 2 3 3 0 4 3 即x 3x 4 0 x x 4x 4 0 3 02 03 02 02 0 x x0 1 4 x0 1 x0 1 0 2 0 x0 1 x0 2 2 0 解得x0 1 或x0 2 故所求的切线方程为 4x y 4 0 或x y 2 0 热点预测 13 2012 年浙江杭州高三质检 已知函数f x ax3 x2在x 1 处取得极大值 1 2 记g x 程序框图如图所示 若输出的结果S 则判断框中可以填入的 1 f x 2 012 2 013 关于n的判断条件是 A n 2 012 B n 2 013 C n 2 012 D n 2 013 解析 由已知得f x 3ax2