高中数学 一元二次不等式及其解法（知识讲解与典型例题） 苏教版必修5

用心 爱心 专心 1 一元二次不等式及其解法 知识讲解与典型例题 一元二次不等式及其解法 知识讲解与典型例题 课标要求分析 课标要求分析 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程 通过函数图象了解一元二次不 等式与相应方程 函数的联系 掌握求解一元二次不等式的基本方法 并能解决一些实际 问题 课标建议在一元二次不等式的学习中 应注重了解一元二次不等式的实际背景 求 解一元二次不等式 首先可求出相应方程的根 然后根据相应函数的图象求出不等式的解 也可以运用代数的方法求解 鼓励学生设计求解一元二次不等式的程序框图 本周学习目标 本周学习目标 1 掌握一元二次不等式的基本解法 2 了解一元二次不等式与相应函数 方程的联系 体会数形结合的数学思想 3 初步掌握高次 分式 不等式 无理不等式与绝对值不等式的解法 4 能将实际问题转化为数学问题 建立不等式模型 求解不等式 本周学习重难点 本周学习重难点 一元二次不等式的基本解法及与相应函数 方程的联系 本周学习内容 本周学习内容 1 1 一元一次不等式的解法回顾 一元一次不等式的解法回顾 为引入一元二次不等式和梳理不等式解法作准备 2 2 一元二次不等式的解法 一元二次不等式的解法 一元二次不等式的一般形式 由一元二次不等式的一般形式 即可发现其与二次函数和二次方程的联系 进而可以利用函数图象得到不等式的解集 设 两根为 结合图象按判别式分类归纳下表 解集判别式 用心 爱心 专心 2 R R 注意 1 的情形要转化为的情形 2 解集的变化 关于含参讨论注意 1 对二次项系数讨论 定不等式类型 定图象 开口方向 类型 2 对根的讨论 判别式 根的个数 交点个数 根的分布 根的大小 3 对解集的讨论 画函数图象草图 根据图象定解集 4 书写表达的规范 3 3 高次 分式 不等式的解法 高次 分式 不等式的解法 简单高次不等式的解法 穿线法 注意 系数化正 右上往左下 奇穿偶不穿 单独考虑孤立点 回顾变号零点存在定理 穿线法的原理还是一个数形结合的思想 分式不等式 分式化整式 一边化 0 改写成乘积式 注意分母不等于 0 的限制 特别小心 型的不等 式 4 4 无理及指对不等式的解法 无理及指对不等式的解法 无理不等式 转化思想 等价不等式 组 或数形结合 或 5 5 绝对值不等式的解法 绝对值不等式的解法 含一个绝对值 或 含两个或以上绝对值 零点分段法 也可利用绝对值的几何意义或结合函数图象求解 用心 爱心 专心 3 本周典型例题 本周典型例题 1 解关于 x 的不等式 1 2 分析 注意对字母系数的讨论 分清谁是参数 提醒数形结合与数轴的运用 解析 1 不等式可整理为 当 即或时 不等式解集为 当 即或时 若 解集为 R R 若 解集 为 当 即时 不等式解集为 2 不等式可整理为 当 即或时 不等式解集为 当 即或时 若 解集为 R R 若 解集为 若 即时 解集为 2 解下列一元二次不等式 1 2 3 4 分析 熟悉一元二次不等式的基本解法 注意二次项系数的正负 化简变形 乘法公 用心 爱心 专心 4 式 解析 1 整理得 解集为 2 整理得 解集为 R 3 整理得 解集为 1 3 4 整理得 解集为 3 已知二次函数 当时 有 解关于 x 的不 等式 分析 考查二次函数与二次不等式的联系 深化对用函数图象解二次不等式的理解 解析 由时 有 说明不等式的解是 进而方程的两根为 于是由根与系数的关系 求得 故不等式即为 解得 4 若不等式的解集为 求 a 和 b 的值 分析 考查二次方程与二次不等式的联系 注意二次项系数的正负 解析 不等式的解集为 故 利用二次不等式与方程的关系 有 解得 这个解符合 从而 a 和 b 的值均为 2 用心 爱心 专心 5 5 若不等式对一切都成立 求实数 m 的取 值范围 分析 本题是较为经典的综合运用二次不等式知识的题目 不等式含有参数 m 分类 讨论的思想是立刻要想到的 首先就是要 定二次项 而后再运用判别式的知识解题 解析 由于二次项系数含有参数 m 故先对二次项系数进行分类讨论 若 即 m 2 则不等式化为 对一切都成立 故 m 2 符 合题意 当时 依题意需满足 解得 综上 m 的取值范围为 6 解关于 x 的不等式 1 2 3 分析 本题侧重考查含参二次不等式的解法 在前面的题目中对含参讨论有一定了解 后 本题要求掌握系统的含参讨论方法 数形结合 定开口 定 定根 比大小 画 图 写解集 解析 1 若 则为一元一次不等式 解集为 当时 方程两根为 若时 则解集为 若 则 解集为 若 则解集为 若 则解集为 2 若 m 0 则为一元一次不等式 解集为 R 当 m 0 时 二次项系数 不等式化为 用心 爱心 专心 6 若 则解集为 若 则解集为 3 若 k 0 不等式变形为 解集为 若 k 0 不等式为一元二次不等式 若 则 方程的根为 且 解集为 若 则 方程的根为 且 解集为 若时 方程的根为 解集为 若时 解集为 R R 用心 爱心 专心 7 综上 若 解集为 若 解集为 若 解集为 若 解集为 R R 7 解关于 x 的不等式 1 2 3 4 分析 分式不等式转化为高次不等式 用穿线法来求解 其中要特别注意分母不为 0 1 原不等式等价于 解集为 2 原不等式等价于 解集为 3 原不等式等价于 若 则解集为 若 则解集为 4 不等式可等价为 若 则解集为 若 解集为 若 解集为 若 解集为 用心 爱心 专心 8 若 解集为 8 解关于 x 的不等式 1 2 3 分析 利用不等式变形 但一定要注意进行的是等价变形 不能丢解 解析 1 不等式等价为或 解得 2 不等式等价为 解得 3 数形结合 设 要使 即左边函数图象在右边函数图象下方 解方程 由 1 由图得到 当时 不等式解集为 当时 不等式解集 当时 不等式解集为 9 解关于 x 的不等式 1 2 分析 利用指对函数的单调性 变形不等式求解 尤其要注意定义域 用心 爱心 专心 9 解析 1 由为增函数 不等式变形为 再变形为 即 解得 2 原不等式等价为 所以解集为 10 解关于 x 的不等