高中数学 2.3幂函数教案 新人教A版必修1

用心 爱心 专心 2 32 3 幂函数幂函数 一 教学目标 1 知识与技能 1 理解幂函数的概念 会画幂函数y x y x2 y x3 y x 1 y x 2 1 的图象 2 结合这几个幂函数的图象 理解幂函数图象的变化情况和性质 2 过程与方法 1 通过观察 总结幂函数的性质 培养学生概括抽象和识图能力 2 使学生进一步体会数形结合的思想 3 情感 态度 价值观 1 通过生活实例引出幂函数的概念 使学生体会到数学在实际生活中的应用 激发 学生的学习兴趣 2 利用计算机 了解幂函数图象的变化规律 使学生认识到现代技术在数学认知过 程中的作用 从而激发学生的学习欲望 二 教学重点 难点 重点 常见幂函数的概念 图象和性质 难点 幂函数的单调性及比较两个幂值的大小 三 教学方法 采用师生互动的方式 由学生自我探索 自我分析 合作学习 充分发挥学生的积极 性与主动性 利用实物投影仪及计算机辅助教学 四 教学过程 教学 环节 教学内容师生互动设计 意图 复习 引入 多媒体显示以下 5 个问题 同时附 注相关图象 每个问题的结论由学生说出 然后再在多面体屏幕上弹出 问题 1 如果张红购买了每千克 1 元 的蔬菜w千克 那么她需要付的钱数p w 学生阅读 思考 交流 口答 教师板演 师 观察上述例子中函数模型 这几个函数表达式有什么共同特征 生 解析式的右边都是指数式 培养 学生 的观 察 归纳 用心 爱心 专心 元 这里p是w的函数 问题 2 如果正方形的边长为a 那么 正方形的面积S a2 这里S是a的函数 问题 3 如果正方体的边长为a 那么 正方体的体积V a3 这里V是a的函数 问题 4 如果正方形场地的面积为S 那么正方形的边长a S 2 1 这里a是S的函 数 问题 5 如果某人t s 内骑车行进了 1 km 那么他骑车的平均速度v t 1 km s 这里v是t的函数 且底数都是变量 变量在底数位置 解析式右边又都是幂的形式 我们把 这种函数叫做幂函数 引入新课 书写课题 概括 能力 形成 概念 幂函数的定义 一般地 形如yx x R 的函数 称为幂函数 其中x是自变量 是常数 师 请同学们举出几个具体的 幂函数 生 如 11 2 34 yxyxyx 等都 是幂函数 幂函数与指数函数 对数 函数一样 都是基本初等函数 理 解幂 函数 的定 义 深化 概念 1 研究幂函数的图像 1 yx 2 1 2 yx 3 2 yx 4 1 yx 5 3 yx 2 通过观察图像 填 P86探究中的表格 yx 2 yx 定义域 RR 引导学生用列表描点法 应用函 数的性质 如奇偶性 定义域等 画出函数图像 最后 教师利用 电脑软件画出以上五个数数的图 像 探究 幂函 数的 用心 爱心 专心 奇偶性奇奇 在第 象 限单调增 减性 在第 象 限单调递 增 在第 象 限单调递 增 定点 1 1 1 1 3 yx 1 2 yx 1 yx R 0 x x 0 x x 奇非奇非偶奇 在第 象 限单调递 增 在第 象 限单调递 增 在第 象 限单调递 减 1 1 1 1 1 1 3 幂函数性质 1 所有的幂函数在 0 都有 定义 并且图象都过点 1 1 原因 11 x 2 x 0 时 幂函数的图象都通过 原点 并且在 0 上 是增函数 从 左往右看 函数图象逐渐上升 特别地 当x 1 x 1 时 x 0 1 2 yx 的图象都在 yx 图象的下方 形状向下凸越大 下 凸的程度越大 你能找出原因吗 当 0 1 时 x 0 1 yx 的图象都在yx 的图象上方 形 状向上凸 越小 上凸的程度越大 4 2 2 4 6 8 10 551015 让学生通过观察图像 分组讨论 探究幂函数的性质和图像的变化 规律 教师注意引导学生用类比 研究指数函数 对函数的方法研 究幂函数的性质 性质 和图 像的 变化 规律 yx 1 2 yx y x3 y x 1 0 用心 爱心 专心 你能说出原因吗 3 0 时 幂函数的图象在区间 0 上是减函数 在第一家限内 当x向原点靠近时 图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴 当x慢慢地变大时 图象在x轴上方并无 限逼近x轴的正半轴 应用 举例 例 1 求下列幂函数的定义域 并 指出其奇偶性 单调性 1 y x 5 2 2 y x 4 3 3 y x 2 例 1 分析 解决有关函数求定义 域的问题时 可以从以下几个方面来 考虑 列出相应不等式 组 解不等 式 组 即可得到所求函数的定义域 若函数解析式中含有分母 分 母不能为 0 若函数解析式中含有根号 要 注意偶次根号下非负 0 的 0 次幂没有意义 若函数解析式中含有对数式 要注意对数的真数大于 0 解 1 函数y x 5 2 即 y 52 x 其定义域为 R R 是偶函数 它 在 0 上单调递增 在 0 上单调递减 2 函数y x 4 3 即y 43 1 x 其定义域为 0 它既不是奇函 数 也不是偶函数 它在 0 上单调递减 3 函数y x 2 即y 2 1 x 其 掌握 幂函 数知 识的 应用 用心 爱心 专心 例 2 证明幂函数f x x 在 0 上是增函数 请同学们回顾一下如何证明一个函数 是增函数 然后请一个学生作答 师板书 合作探究 例 3 比较下列各组数的大小 1 1 5 3 1 1 7 3 1 1 2 2 2 3 2 7 10 3 2 1 1 3 4 3 3 8 3 2 3 9 5 2 1 8 5 3 4 31 4 51 5 定义域为 0 0 是偶函数 它在区间 0 和 0 上都单调递减 例 2 证明 设 0 x1 x2 则f x1 f x2 1 x 2 x 21 2121 xx xxxx 21 21 xx xx 因为x1 x2 0 1 x 2 x 0 所以f x1 f x2 即幂函数f x x 在 0 上是增函数 小结 以上是用作差法证明函数 的单调性 还可以用作商法证明函数 的单调性 作简要分析 提出注意点 在证得 2 1 xf xf 1 后 要比较f x1 与f x2 的大小 要注意分母的符号 例 3 分析 比较两个或多个数值 的大小 一般情况下是将所要比较的 两个或多个数值转化为比较某一函数 的不同函数值的大小问题 进而根据 所确定的函数的单调性 比较自变量 的大小即可 若所给的数值不能转化为 用心 爱心 专心 比较同一函数的不同函数值的大小问 题 可以找出中间量来作为桥梁间接 地进行比较 确定出它们的大小关系 一般情况下是根据具体情况选择常数 1 1 或 0 这些数作为中间 量来进行比较 解 1 所给的三个数之中 1 5 3 1 和 1 7 3 1 的指数相同 且 1 的任何 次幂都是 1 因此 比较幂 1 5 3 1 1 7 3 1 1 的大小就是比较 1 5 3 1 1 7 3 1 1 3 1 的大小 也就是比较函数y x 3 1 中 当自变量分别取 1 5 1 7 和 1 时对应 函数值的大小关系 因为自变量的值 的大小关系容易确定 只需确定函数 y x 3 1 的单调性即可 又函数y x 3 1 在 0 上单调递增 且 1 7 1 5 1 所以 1 7 3 1 1 5 3 1 1 2 2 2 3 2 2 2 3 2 7 10 3 2 10 7 3 2 1 1 3 4 1 1 2 3 2 1 21 3 2 幂函数y x 3 2 在 0 上 单调递减 且 10 7 2 2 1 21 10 7 3 2 2 2 3 2 用心 爱心 专心 课堂练习 1 下列函数中 是幂函数的是 A y x 2 1 B y 3x2 C y x 1 D y 2x 2 下列结论正确的是 A 幂函数的图象一定过 0 0 和 1 1 B 当 0 时 幂函数y x 是减函数 C 当 0 时 幂函数y x 是增函数 D 函数y x2既是二次函数 也是幂函 数 3 函数y x 5 3 的图象大致是 1 21 3 2 即 7 10 3 2 2 2 3 2 1 1 3 4 3 利用幂函数和指数函数的单 调性可以发现 0 3 8 3 2 1 3 9 5 2 1 1 8 5 3 0 从而可以比较出它们的大小 4 它们的底和指数也都不同 而且都大于 1 我们插入一个中间数 31 5 利用幂函数和指数函数的单调性 可以发现 31 4 31 5 51 5 小结 1 当底数相异 指数相 同的数比较大小 可以转化为比较同 一幂函数的不同函数值的大小问题 根据函数的单调性 只要比较自变量 的大小就可以了 2 当底和指数都不同 插入一 个中间数 综合利用幂函数和指数函 数的单调性来比较 课堂练习答案 1 C 2 D 3 D 4 a 1 m 1 3 5 7 用心 爱心 专心 4 幂函数f x ax mm8 2 m Z Z 的 图象与x轴和y轴均无交点 并且图象关 于原点对称 求a和m 归纳 总结 1 幂函数的概念以及它和指数函数表 达式的区别 2 常见幂函数的图象和性质 3 幂值的大小比较方法 学生先自回顾反思 教师点评完善 形成 知识 体系 课后 作业 作业 2 3 第一课时 习案学生独立完成巩固 新知 提升 能力 备选例题 例 1 已知 2 21 22 23 m ymmxn 是幂函数 求m n的值 解析 由题意得 032 01 122 2 2 n m mm 解得 2 3 3 n m 所以 2 3 3 nm 小结 做本题时 常常忽视m2 2m 2 1 且 2n 3 0 这些条件 表达式y x x R R 的要求比较严格 系数为 1 底数是x R R 为常数 如 用心 爱心 专心 2 2 1 x x y y 1 x0为幂函数 而如y 2x2 y x 1 3等都不是幂函数 例 2 比例下列各组数的大小 1 8 7 8 7 9 1 8 和 2 2 3和 2 5 3 3 1 1 0 1和 1 2 0 1 4 5 3 3 2 5 2 9 1 8 3 1 4 和 解析 1 8 7 8 7 8 1 8 函数 8 7 xy 在 0 上为增函数 又 9 1 8 1 则 8 7 8 7 9 1 8 1 从而 8 7 8 7 9 1 8 2