福建省长泰一中高考数学一轮复习《直接证明与间接证明》⑴学案

用心 爱心 专心1 第第 2 2 课时课时 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 例例 1 1 若均为实数 且 cba 6 2 3 2 2 2 222 xzczybyxa 求证 中至少有一个大于 0 cba 答案 答案 用反证法 假设都不大于 0 即 则有 cba 0 0 0 cba0 cba 而 3 632 1 1 1 6 2 3 2 2 2 222222 zyxxzzyyxcba 3 1 1 1 222 zyx 均大于或等于 0 这与假设矛盾 222 1 1 1 zyx03 0 cba0 cba 故中至少有一个大于 0 cba 变式训练变式训练 1 1 用反证法证明命题 可以被 5 整除 那么中至少有一个能被 5 整abNba ba 除 那么假设的内容是 答案 答案 a b中没有一个能被 5 整除 解析 至少有 n 个 的否定是 最多有 n 1 个 例例 2 2 ABC的三个内角 A B C 成等差数列 求证 cbacbba 311 答案 答案 证明 要证 即需证 cbacbba 311 3 cb cba ba cba 即 证 1 cb a ba c 又需证 需证 cbbabaacbc 222 bacac ABC 三个内角 A B C 成等差数列 B 60 由余弦定理 有 即 60cos2 222 caacb acacb 222 成立 命题得证 222 bacac 变式训练变式训练 2 2 用分析法证明 若a 0 则 2 1 2 1 2 2 a a a a 答案 答案 证明 要证 2 1 2 1 2 2 a a a a 典型例题典型例题 基础过关基础过关 用心 爱心 专心2 例例 3 3 已知数列 n a 0 n a 0 1 a 1 2 1 2 1 Nnaaa nnn 记 nn aaaS 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21211n n aaaaaa T 求证 求证 当 Nn时 1 1 nn aa 2 2 nSn 3 3 n T 解 解 1 证明 用数学归纳法证明 当1n 时 因为 2 a是方程 2 10 xx 的正根 所以 12 aa 假设当 nk k N时 1kk aa 因为 22 1kk aa 22 2211 1 1 kkkk aaaa 2121 1 kkkk aaaa 所以 12kk aa 即当1nk 时 1nn aa 也成立 根据 和 可知 1nn aa 对任何 n N都成立 2 2 证明 证明 由 22 11 1 kkk aaa 121kn 2n 得 22 231 1 nn aaaana 用心 爱心 专心3 因为 1 0a 所以 2 1 nn Sna 由 1nn aa 及 22 11 121 nnn aaa 得1 n a 所以2 n Sn 3 3 证明 证明 由 22 11 12 kkkk aaaa 得 1 1 1 2 313 12 k kk a knn aa 所以 2 342 1 3 1 1 1 2 n n n a a aaaa 于是 2222 2322 11 3 1 1 1 2 2