【备战2014】高考数学 2013届全国统考区（甘肃、贵州、云南）精选试题分类汇编7 立体几何 理

1 备战备战 20142014 年高考之年高考之 20132013 届全国统考区 甘肃 贵州 云南 精选届全国统考区 甘肃 贵州 云南 精选 理科试题 大部分详解 分类汇编理科试题 大部分详解 分类汇编 7 7 立体几何 立体几何 一 选择题 1 云南师大附中 2013 届高考适应性月考卷 八 理科数学试题 详解 某四面体的 三视图如图 2 所示 该四面体的六条棱长中 长度最大的是 A B C D 5672 2 正视图侧视图 俯视图 答案 由题图可知 几何体为如图 1 所示的三棱锥 其中PABC 由俯视图可知 1 PAACPAACPAAB 故选 D 5 2 2ABBC 6PB 图 1 2 解析 云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理科数学 设 l m n表示不同 的直线 表示不同的平面 给出下列四个命题 若m l 且 m 则l 若m l 且m 则l 若 lmn 则l m n 若 mln 且n 则l m 其中正确命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 B 解析 正确 中当直线l 时 不成立 中 还有可能相交一点 不 成立 正确 所以正确的有 2 个 选 B 2 3 贵州省遵义四中 2013 届高三第四月考理科数学 某几何体的三视图如右图所示 则 它的体积是 A 2 8 3 B 8 3 C 82 D 2 3 答案 A 解析 由三视图可知 该几何体是一个正四棱柱挖去一个圆锥 正四棱柱的体 积为2 2 28 圆锥的体积为 12 2 33 所以该几何体的体积为 2 8 3 选 A 4 甘肃省兰州一中 2013 高考冲刺模拟 一 数学 理 已知四棱锥PABCD 的三 视图如右图所示 则四棱锥PABCD 的四个侧面中的最大面积是 A 6 B 8 C 2 5 D 3 22 2 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 4 3 3 侧 1 2 答案 A 5 甘肃省兰州一中 2013 届高三上学期 12 月月考数学 理 试题 下列说法正确的是 A有两个平面互相平行 其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 3 C有两个面互相平行 其余各面都是梯形的多面体是棱台 D以三角形的一条边所在直线为旋转轴 其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 答案 B 解析 选项 A 不正确 如图 棱台是由棱锥截来的 故要求梯形的腰延长后要交与一点 故 C 不正确 以直角三角形的 一条直角边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥 故 D 不正确 6 贵州省贵阳市 2013 届高三适应性监测考试 二 理科数学 word 版含答案 已知半 径为 l 的球 若以其一条半径为正方体的一条棱作正方体 则此正方体内部的球面面积为 A 7 4 B 2 C 7 8 D 5 4 答案 B 7 云南省昆明三中 2013 届高三高考适应性月考 三 理科数学 若三棱锥 SABC 的所有顶点都在球O的球面上 SA 平面ABC 2 3 SA 1AB 2AC 60BAC 则球O的表面积为 A 64 B 16 C 12 D 4 答案 B 解析 因为1AB 2AC 60BAC 所以 22 122 1 2cos603BC 所以3BC 所以90ABC 即ABC 为直 角三角形 因为三棱锥SABC 的所有顶点都在球O的球面上 所以斜边 AC 的中点是截 面小圆的圆心 O 即小圆的半径为 13 22 rAC 因为 OA OS是半径 所以三角形 AOS为等腰三角形 过O作OMSA 则M为中点 所以 12 3 3 22 OOAMSA 所以半径 222 3 142OAOOr 所 4 以球的表面积为 2 416R 选 B 8 云南省昆明市 2013 届高三复习适应性检测数学 理 试题 三棱柱 中 与 所成角均为 且 111 ABCABC 1 AAACAB60 90BAC 则与所成角的余弦值为 1 1ABACAA 1 AB 1 AC A 1 B C D 1 3 3 3 3 答案 C 9 甘肃省 2013 届高三第一次诊断考试数学 理 试题 某几何体的三视图如图所示 则它的体积是 A 2 3 B 8 3 C 8 2 3 D 82 答案 C 解析 由三视图知 原几何体为一个正方体里面挖去一个圆锥 正方体的棱长 为 2 圆锥的底面半径为 1 高为 2 所以该几何体的体积为 32 12 2 12 8 33 V 10 解析 云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理科数学 一个几何体的三视 图如图所示 其中主视图和左视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形 则该几何体 的外接球的表面积为 5 A 12 B 4 3 C 3 D 12 3 答案 C 解析 由主视图和左视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形 得到这是 一个四棱锥 底面是一个边长是 1 的正方形 一条侧棱 AE 与底面垂直 根据求与四棱锥 的对称性知 外接球的直径是 AC 根据直角三角形的勾股定理知 1 1 13AC 半 径为 3 2 所以外接球的面积为 2 3 4 3 2 选 C 11 云南省昆明一中 2013 届高三新课程第一次摸底测试数学理 某几何体的三视图如图 所示 则该几何体的表面积为 A 2012 2 B 2012 3 C 2012 5 D 32 答案 B 解析 根据三视图可知 这是一个四棱台 4 16SS下 上 2 43 4 12 3 2 S 侧 所以表面积为4 16 12 3 20 12 3 6 选 B 12 甘肃省兰州一中 2013 高考冲刺模拟 一 数学 理 如果执行如右图所示的程序框 图 则输出的S值为 A 3 B 1 2 C 2 D 1 3 答案 C 13 云南省昆明一中 2013 届高三新课程第一次摸底测试数学理 如图 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 对角线 B1D 与平面 A1BC1相交于点 E 则点 E 为 A1BC1的 A 垂心 B 内心 C 外心 D 重心 答案 D 解析 如图 1 EB FDBE 所以 2 1BE EF 且F为 11 AC 的中点 选 D 14 解析 甘肃省天水市一中 2013 届高三上学期第三次考试数学理试题 已知 m n 是两条不同的直线 是三个不同的平面 则下列命题正确的是 A 若 则 B 若 m n m n 则 7 C 若 m n m 则 n D 若 n n 则 答案 D 解析 A 若 则 错误 与可能平行 也可能相 交 B 若 m n m n 则 错误 与可能平行 也可能相交 要判断 两个平面平行 需要两个平面内的两条相交直线相互平行 C 若 m n m 则 n 错误 可能是 n 也可能是 n D 若 n n 则 正确 垂直于同一条直线的两个平面平行 选 D 15 解析 贵州省四校 2013 届高三上学期期末联考数学 理 试题 如图是某几何体 的三视图 其中正视图为正方形 俯视图是腰长为 2 的等腰直角三角形 则该几何体的体 积是 A 8 3 B 8 2 3 C 4 3 D 4 2 3 答案 A 解析 由三视图可知该几何体为正方体内部四棱锥PABCD 红线图形 则正方体的边长为 2 所以2 2 BC 2OP 所以四棱锥PABCD 的体积为 18 2 2 22 33 选 A 16 甘肃省天水一中 2013 届高三下学期五月第二次检测 二模 数学 理 试题 如图 等 腰梯形ABCD中 AB 2DC 2 DAB 60 E为AB的中点 将 ADE与 BEC分别沿ED EC向 上折起 使A B重合于点P 则三棱锥P DCE的外接球的体积为 8 A 4 3 27 B 6 2 C 6 8 D 6 24 答案 C 17 云南省玉溪一中 2013 届高三第五次月考理科数学 一个四棱锥的三视图如图所示 其侧视图是等边三角形 该四棱锥的体积等于 A B 2C 3 D 6 3333 答案 A 解析 由三视图可知 四棱锥的底面是俯视图对应的梯形 四棱锥的侧面是 等边三角形且侧面和底面垂直 所以四棱锥的高为3 底面梯形的面积为 12 2 3 2 所以四棱锥的体积为 1 333 3 选 A 如图 18 解析 甘肃省天水市一中 2013 届高三上学期第三次考试数学理试题 一个几何体 的三视图如图所示 且其侧视图是一个等边三角形 则这个几何的体积为 A 4 3 3 B 4 3 C 8 3 3 9 D 8 3 6 答案 D 解析 由三视图知 该几何体为一个半圆锥和一个四棱锥的组合体 其中圆锥 的底面半径为 1 高为3 四棱锥的底面为边长是 2 的正方形 高为3 所以这个几何 体的体积为 2 111 132 23 323 V 8 3 6 选 D 19 云南省昆明一中 2013 届高三第二次高中新课程双基检测数学理 一条长为 2 的线段 它的三个视图分别是长为3 a b的三条线段 则ab的最大值为 A 5B 6C 5 2 D 3 答案 C 解析 构造一个长方体 让长为 2 的线段为体对角线 由题意知 222222 1 1 3aybxxy 即 2222 2325abxy 又 22 52abab 所以 5 2 ab 当且仅当ab 时取等号 所以选 C 20 甘肃省兰州一中 2013 高考冲刺模拟 一 数学 理 如图 PAB 所在的平面 和四边形ABCD所在的平面 互相垂直 且 ADB C 4AD 8BC 6AB 若tan2tan10ADPBCP 则点P在平面 内的轨迹是 P A B C D A 圆的一部分 B 椭圆的一部分 C 双曲线的一部分 D 抛物 线的一部分 答案 B 10 21 21 云南师大附中 云南师大附中 20132013 届高三高考适应性月考卷 三 理科数学试题 届高三高考适应性月考卷 三 理科数学试题 一个几何体的 三视图如图 l 所示 其中正视图是一个正三角形 则该几何体的体积为 A A 1 1B B 3 3 C C 3D D 2 3 3 答案 B B 解析解析 由三视图可知 此几何体为三棱锥 如图 1 其中正视图为 PAC 是 边长为 2 的正三角形 PD ABC 平面 且 3PD 底面 ABC 为等腰直角三角形 2ABBC 所以体积为 113 322 323 V 故选 B 22 云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考理科数学 已知三棱锥的三视图如图所示 则它的外接球表面积为 A 16 B 4 C 8 D 2 答案 B 解析 由三视图可知该几何体是三棱锥 且三棱锥的高为 1 底面为一个直角 图 1 11 三角形 由于底面斜边上的中线长为 1 则底面的外接圆半径为 1 顶点在底面上的投影落 在底面外接圆的圆心上 由于顶点到底面的距离 与底面外接圆的半径相等则三棱锥的外 接球半径 R 为 1 则三棱锥的外接球表面积 2 44SR 选 B 23 解析 贵州省四校 2013 届高三上学期期末联考数学 理 试题 若棱长均为 的 正三棱柱内接于一个球 则该球的半径为 A 3 3 B 7 C 2 3 3 D 21 3 答案 D 解析 根据对称性可知球心P在正三棱柱上下底面中心连线的中点处 则 3BM 1 22 3 33 BOBM 所以球半径 222 11 2 32121 1 393 BPBOPO 选 D 24 云南省部分名校 玉溪一中 昆明三中 楚雄一中 2013 届高三下学期第二次统考 数学 理 试题 已知直线 平面 直线平面 下面有三个命题 l m 则真命题的个数为 lm lmlm A 0 B 1 C 2 D 3 答案 C 25 甘肃省河西五市部分普通高中 2013 届高三第二次联合考试 数学 理 试题 已知 一个几何体的三视图如右图 则该几何体的体积为 A 3 2 8 12 B 3 4 8 C 3 4 4 D 3 2 4 答案 D 26 贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考理科数学试题 某几何体的三视图如图2所 示 图中的四边形都是边长为2的正方形 两条虚线互相垂直 则该几何体的体积是 A 20 3 B 16 3 C 8 6 D 8 3 答案 A 解析 由三视图知 原几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥其中正方体的棱 为 2 正四棱锥的底面边长为正方体的上底面 高为 1 原几何体的体积为 3 1420 22 2 18 333 V 选 A 27 云南省昆明三中 2013 届高三高考适应性月考 三 理科数学 若 是两个不同 的平面 下列四个条件 存在一条直线a aa 存在一个平面 存在两条平行直线ababa b 存在两条异面 直线 abaab b 那么可以是 的充分条件有 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 答案 C 解析 可以 也有可能相交 所以不正确 也有可能相交 所以不正确 根据异面直线的性质可知 可以 所以可以是 的充分条件有 2 个 选 C 侧 侧 侧 侧 侧 侧侧 侧 侧 图 2 13 28 云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷 四 理科数学试题 已知一几何体的 三视图如图 4 主视图和左视图都是矩形 俯视图为正方形 在该几何体上任意选择 4 个 顶点 以这 4 个点为顶点的几何形体可能是 矩形 有三个面为直角三角形 有一个面为等腰三角形的四面体 每个面都是直角 三角形的四面体 A B C D 答案 A 解析 以长方体 1111 ABCDABC D 为几何体的直观图 当选择的四个点为 B1 B C C1时 可知 正确 当选择B A B1 C时 可知 正确 当选择 A B D D1时 可知 正确 选 A 29 云南省昆明三中 2013 届高三高考适应性月考 三 理科数学 如图 2 正三棱柱 111 ABCABC 的主视图 又称正视图 是边长为 的正方形 则此正三棱柱的侧视图 又称左视图 的面积为 主 主 主 主 主 22 4 C1 B1A1 C B A A 8 3 B 4 3 C 2 3 D 16 答案 A 解析 由主视图可知 三棱柱的高为 4 底面边长为 4 所以底面正三角形的 高为2 3 所以侧视图的面积为4 2 38 3 选 A 30 贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考理科数学试题 正方体 1111 DCBAABCD 的棱长为2 MN是它的内切球的一条弦 我们把球面上任意两点之 间的线段称为球的弦 P为正方体表面上的动点 当弦MN的长度最大时 14 PM PN的取值范围是 答案 0 2 解析 因为MN是它的内切球的一条弦 所以当弦MN经过球心时 弦 MN的长度最大 此时2MN 以 A为原点建立空间直角坐标系如图 根据直径的任意性 不妨设 M N分别是上下底面的中心 则两点的空间坐标为 1 12 1 10 MN 设坐标为 P x y z 则 1 1 2 PMxyz 1 1 PNxyz 所以 22 1 1 2 PM PNxyzz 即 222 1 1 1 1PM PNxyz 因 为点P为正方体表面上的动点 所以根据 x y z的对称性可知 PM PN 的取值范围与 点P在哪个面上无关 不妨设 点P在底面 A B C D内 此时有 02 02 0 xyz 所以此时 22222 1 1 1 1 1 1 PM PNxyzxy 所以当1xy 时 0PM PN 此时PM PN 最小 当但P位于正方形的四个顶点时 PM PN 最大 此 时有 22 1 1 2PM PNxy 所以PM PN 的最大值为 2 所以 02PM PN 即PM PN 的取值范围是 0 2 31 云南省玉溪一中 2013 届高三第五次月考理科数学 正三棱柱 111 CBAABC 内接于 15 半径为 1 的球 则当该棱柱体积最大时 高 h 答案 3 32 解析 根据对称性可知 球心O位于正三棱柱上下底面中心连线的中点 上 设正三棱柱的底面边长为x 则 3233 2323 ABx ABxx 所以 2 2 3 1 1 33 x OBx 所以高 2 2 2 1 3 x hOB 由 2 10 3 x 得 2 3x 即正三棱柱底面边长x的取值范围是03x 三棱 柱的体积为 222 2 133 2 11 22323 xxx Vx 2 22 3 1 23 x xx 222 2222 223 1 4 663 1 36 1 36 366333 xxx xxxx xx 即体积 2 22 3342 3 1 23233 x Vxx 当且仅当 22 1 63 xx 即 2 2x 时取等 号 此时高 2 212 3 2 12 12 3333 x h 32 云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考理科数学 已知正三棱锥ABCP 点 CBAP 都在半径为3的球面上 若PCPBPA 两两互相垂直 则球心到截面ABC的距 离为 答案 3 3 解析 因为在正三棱锥P ABC中 PA PB PC两两互相垂直 所以可以 把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分 如图所示 此正方体内接于球 正方体的体 对角线为球的直径 球心为正方体对角线的中点 球心到截面ABC的距离为球的半径减去正 16 三棱锥P ABC在面ABC上的高 已知球的半径为3 所以正方体的棱长为 2 可求得正 三棱锥P ABC在面ABC上的高为 2 3 3 所以球心到截面ABC的距离为 2 33 3 33 33 贵州省贵阳市 2013 届高三适应性监测考试 二 理科数学 word 版含答案 一个几 何体的三视图如图所示 这个几何体的体积是 答案 2 1 34 云南省部分名校 玉溪一中 昆明三中 楚雄一中 2013 届高三下学期第二次统考 数学 理 试题 一个几何体的 三视图如图所示 则这个几何体的表面积与其外接球面积 之比为 17 答案 3 35 贵州省遵义四中 2013 届高三第四月考理科数学 如右图 设A B C D为球O上 四点 若AB AC AD两两互相垂直 且6ABAC 2AD 则A D两点间的球面距离 答案 2 3 解析 因为 AB AC AD 两两互相垂直 所以分别以 AB AC AD 为棱构造 一个长方体 在长方体的体对角线为球的直径 所以球的直径 222 2 6 6 2164R 所以球半径为2R 在正三角形AOD中 3 AOD 所以 A D 两点间的球面距离为 2 33 R 36 云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考理科数学 设动点P在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D 的对角线 1 BD上 记 1 1 D P D B 当APC 为钝角时 则 的取值范围是 答案 1 1 3 解析 由题设可知 以 为单位正交基底 建立如图所示的 空间直角坐标系 D xyz 则有 1 0 0 A 1 1 0 B 0 1 0 C 0 0 1 D 则 1 1 1 1 D B 得 11 D PD B 所以 18 11 1 0 1 1 1 PAPDD A 11 0 1 1 1 1 PCPDDC 显然APC 不是平角 所以APC 为钝角等价于0PA PC 即 2 1 1 1 0 即 1 31 0 解得 1 1 3 因此 的取 值范围是 1 1 3 37 37 云南师大附中 云南师大附中 20132013 届高三高考适应性月考卷 三 理科数学试题 届高三高考适应性月考卷 三 理科数学试题 正三棱锥 A BCD 内接于球 O 且底面边长为3 侧棱长为 2 则球 O 的表面积为 答案 16 3 解析解析 如图 3 设三棱锥ABCD 的外 接球球心为O 半径为r BC CD BD 3 AB AC AD 2 AMBCD 平面 M为正BCD 的中心 则DM 1 AM 3 OA OD r 所以 22 3 1rr 解得 2 3 r 所以 2 16 4 3 Sr 38 甘肃省 2013 届高三第一次诊断考试数学 理 试题 直三棱柱 ABC A1B1Cl的各顶 点都在同一球面上 若 AB AC AA1 2 BAC 120o 则此球的表面积等于 答案 20 解析 由余弦定理得 2220 2cos1202 3CBABCAAB AC 图 3 19 所以在 ABC 中 设 ABC 外接圆的圆心为 O1 半径为 r 则由正弦定理得 2 2 sin BC rr A 所以 设球的半径为 R 圆心为 O 则 222 1 145ROOr 所以 球的表面积为 2 420R 39 云南省昆明一中 2013 届高三第二次高中新课程双基检测数学理 已知球与棱长均为 2 的三棱锥各条棱都相切 则该球的表面积为 答案 2 解析 将该三棱锥放入正方体内 若球与三棱锥各棱均相切等价于球与正 方体各面均相切 所以 2 22 2 RR 则球的表面积为 2 1 442 2 SR 三 解答题 40 云南师大附中 2013 届高考适应性月考卷 八 理科数学试题 详解 本小题满分本小题满分 1212 分分 如图 3 在直三棱柱中 为等腰直角三角形 111 ABCABC ABC 且 分别为 的中点 90BAC 1 ABAA EFBC 1 CC 1 求证 平面 1 B EAEF 2 当时 求点到平面的距离 2AB E 1 B AF E F B1 C1 A1 答案 证明 在直三棱柱中 不妨设 111 ABCABC 1 ABAAa 20 为等腰直角三角形 ABC 90BAC 11 2BCBCa E F分别为BC 的中点 1 CC 2 22222 11 23 22 B EBEBBaaa 2 22222 213 244 EFECCFaaa 222222 1111 19 2 44 B FBCC Faaa 有 222222 11 339 244 B EEFaaaB F 1 B EEF 又平面ABC 1 AEBCB B 1 B EAE AEEFE 平面AEF 1 B E 解 由条件知 1 2 6 3 5AEB EEFAF 11 2 2 3ABB F AEEF 116 23 222 AEF SAEEF 在中 1 AFB 11 85913 cos sin 22 251010 B AFB AF 1 11 113 sin2 253 2210 AB F SABAFB AF 设点到平面的距离为 E 1 B AFd 则 1 1 AB FAEF d SB ES 所以 6 6 2 1 3 d 即点到平面的距离为 1 E 1 B AF 41 云南省昆明市 2013 届高三复习适应性检测数学 理 试题 如图 四边形是ABCD 21 正方形 PDMA MAAD PMCDM 平面 1 2 MAPD 求证 平面平面 ABCD AMPD 若与所成的角为 求二面角的余弦值 BCPM45 MBPC A B C D P M 答案 解 I 平面 且平面 PM CDMCD CDM PMCD 又是正方形 而梯形中与相交 ABCD CDAD AMPDPMAD 平面 CD AMPD 又平面 CD ABCD 平面平面 ABCD AMPD A B C D P M x y z II 平面 则 CD AMPDCDPD CDAD 又 PDMA MAAD PDAD 以点为原点 依次为轴 建立空间直角坐标系 D DA DP DC x y z 不妨设 1 1 2 MAPD ADa 22 则 0 0 A a 1 0 M a 0 B aa 0 0 Ca 0 2 0 P 1 0 PMa 0 0 BCa 由与所成的角为 BCPM45 得 2 2 2 cos 2 1 a PM BC aa 解得 1a 1 2 1 BP 1 1 0 PM 求得平面的一个法向量是 MBP 1 1 1 1 n 1 0 0 BC 1 2 1 BP 求得平面的一个法向量是 CBP 2 0 1 2 n 则 12 12 12 1215 cos 535 n n n n nn 故二面角的余弦值为 MBPC 15 5 其他做法参照给分 42 云南省昆明一中 2013 届高三新课程第一次摸底测试数学理 如图 三棱柱 ABC A1B1C1中 侧棱与底面 ABC 垂直 且 AB1 BC1 AB AA1 1 BC 2 I 证明 A1C1 AB II 求二面角 A1 BC1 A 的余弦值 答案 24 25 26 43 云南省部分名校 2013 届高三第一次统一考试理科数学 玉溪一中 昆明三中 楚雄 一中 如图 三棱柱 111 CBAABC 中 1 AA 面ABC 2 ACBCACBC 1 3AA D为AC的中点 1 求证 11 BDCAB面 2 求二面角CBDC 1 的余弦值 3 在侧棱 1 AA上是否存在点P 使得 1 BDCCP面 请证明你的结论 答案 I 证明 连接 B1C 与 BC1相交于 O 连接 OD BCC1B1是矩形 O 是 B1C 的中点 又 D 是 AC 的中点 OD AB1 AB1 面 BDC 1 OD 面 BDC1 AB1 面 BDC1 II 解 如图 建立空间直角坐标系 则 C1 0 0 0 B 0 3 2 C 0 3 0 A 2 3 0 D 1 3 0 1 0 3 2 C B 1 1 3 0 C D 设 111 nx y z 是面 BDC1的一个法向量 则 1 1 0 0 n C B n C D 即 11 11 320 30 yz xy 取 1 1 1 3 2 n 易知 1 0 3 0 C C 是面 ABC 的一个法向量 1 1 1 2 cos 7 n C C n C C nC C 二面角 C1 BD C 的余弦值为 2 7 III 假设侧棱 AA1上存在一点 P 使得 CP 面 BDC1 设 P 2 y 0 0 y 3 则 2 3 0 CPy C1 A1 C B1 A B D A1A C1 z x y C B1 B D 27 则 1 1 0 0 CP C B CP C D 即 3 3 0 23 3 0 y y 解之 3 7 3 y y 方程组无解 侧棱 AA1上不存在点 P 使 CP 面 BDC1 44 云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考理科数学 本题 12 分 如图 6 在长方体 1111 DCBAABCD 中 1 1 ADAA E为CD中点 1 求证 11 ADEB 2 在棱 1 AA上是否存在一点P 使得 DP平面AEB1 若存在 求AP的长 若不存在 说明理由 3 若二面角 11 AEBA 的大小为 30 求AB的长 图 6 答案 解解 1 以A为原点 的方向分别为x轴 y轴 z轴的正方向建立空 AB AD AA1 间直角坐标系 如图 设AB a 则A 0 0 0 D 0 1 0 D1 0 1 1 E B1 a 0 1 故 0 1 1 a 0 1 a 2 1 0 AD1 B1E a 2 1 1 AB1 AE a 2 1 0 因为 0 1 1 1 1 0 AD1 B1E a 2 所以B1E AD1 2 假设在棱AA1上存在一点P 0 0 z0 使得DP 平面B1AE 此时 0 1 z0 DP 又设平面B1AE的法向量n n x y z 因为n n 平面B1AE 所以n n n n 得Error AB1 AE 28 取x 1 得平面B1AE的一个法向量n n 1 a 2 a 要使DP 平面B1AE 只要n n 有 az0 0 解得z0 DP a 2 1 2 又DP 平面B1AE 所以存在点P 满足DP 平面B1AE 此时AP 1 2 3 连接A1D B1C 由长方体ABCD A1B1C1D1及AA1 AD 1 得AD1 A1D 因为B1C A1D 所以AD1 B1C 又由 1 知B1E AD1 且B1C B1E B1 所以AD1 平面DCB1A1 所以是平面A1B1E的一个法向量 此时 0 1 1 AD1 AD1 设与n n所成的角为 AD1 则 cos n n AD1 n n AD1 a 2 a 2 1 a2 4 a2 因为二面角A B1E A1的大小为 30 所以 cos cos30 即 3a 2 2 1 5a2 4 3 2 解得a 2 即AB的长为 2 45 贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考理科数学试题 本小题满分 12 分 如图5 已知在四棱锥PABCD 中 底面ABCD是矩形 PA 平面ABCD 1PAAD 2AB F是PD的中点 E是线段AB上的点 I 当E是AB的中点时 求证 AF平面PEC II 要使二面角PECD 的大小为45 试确定E点的位置 DC A B P E F 图 5 答案 解 法一 I 证明 如图 取PC的中点O 连接 OF OE 29 E x y z CD F BA P 由已知得 OFDC且 1 2 OFDC 又E 是AB的中点 则 OFAE且OFAE AEOF 是平行四边形 4 AFOE 又OE 平面PEC AF 平面PEC AF 平面PEC 6 II 如图 作AMCE 交CE的延长线于M 连接PM 由三垂线定理得PMCE PMA 是二面角PECD 的平面角 即 o PMA45 9 11PAAM 设AEx 由AMECBE 可得 2 2 1xx 5 4 x 故 要使要使二面角PECD 的大小为45o 只需 5 4 AE 12 法二 I 由已知 AB AD AP两两垂直 分别以它们所在直线为 x y z轴建立 空间直角坐标系Axyz 则 0 0 0 A 1 1 0 2 2 F 则 1 1 0 2 2 AF 2 1 0 0 E 2 1 0 C 0 0 1 P 设平面PEC的法向量为 mx y z 则 00 0 0 m ECxy xz m EP 令1x 得 1 1 1 m 4 由 1 1 0 1 1 1 0 2 2 AF m 得AFm 又AF 平面PEC 故 AF平面PEC 6 II 由已知可得平面DEC的一个法向量为 0 0 1 AP 设 0 0 Et 设平面PEC的法向量为 mx y z 则 0 2 0 0 0 m ECt xy txz m EP 令1x 得 1 2 mtt 10 30 由 5 cos45 4 o AP n t APn 故 要使要使二面角PECD 的大小为45o 只需 5 4 AE 12 46 甘肃省天水一中 2013 届高三下学期五月第二次检测 二模 数学 理 试题 如 图 在多面体ABCDE中 DBABC 平面 AEDB ABC 且是边长为 2 的等边三角形 1AE CD与平面ABDE所成角的正弦值为 6 4 1 在线段DC上是否存在一点F 使得EFDBC 面 若存在 求线段DF的长度 若不存在 说明理由 2 求二面角DECB 的平面角的余弦值 答案 解 取 AB 的中点 G 连结 CG 则CGAB 又DBABC 平面 可得DBCG 所以ABDECG面 所以 6 sin 4 CG CDG CD CG 3 故 CD 2 2 22 2DBCDCB 取 CD 的中点为 F BC 的中点为 H 因为 1 2 FHBD 1 2 AEBD 所以AEFH为平行四边形 得 EFAH AHBC AH AHBD 平面BCD EFDBC 面 存在 F 为 CD 中点 DF 2时 使得EFDBC 面 31 如图建立空间直角坐标系 则 1 3 0 C 0 0 0 B 2 0 1 E 0 0 2D 从而BE 2 0 1 EC 1 3 1 2 0 1 DE 设 1 nx y z 为平面BCE的法向量 则 1 1 20 30 nBExz nECxyz 可以取 1 3 1 2 3 n 8 分 设 2 nx y z 为平面CDE的法向量 则 1 1 20 30 nDExz nECxyz 取 2 1 3 2 n 32 因此 12 46 cos 48 6 3 n n 47 甘肃省河西五市部分普通高中 2013 届高三第二次联合考试 数学 理 试题 本小 题满分 12 分 在三棱柱ABC A1B1C1中 AB BC CA AA1 2 侧棱AA1 面ABC D E分 别是棱A1B1 AA1的中点 点F在棱AB上 且 1 4 AFAB 求证 EF 平面BDC1 求二面角E BC1 D的余弦值 答案 1 证法一 设 O 为 AB 的中点 连结 A1O AF 4 1 AB O 为 AB 的中点 F 为 AO 的中点 又 E 为 AA1的中点 EF A1O 又 D 为 A1B1的中点 O 为 AB 的中点 A1D OB 又 A1D OB 四边形 A1DBO 为平行四边形 A1O BD 又 EF A1O EF BD 又 EF 平面 DBC1 BD 平面 DBC1 EF 平面 DBC1 6 分 证法二 建立如图所示的坐标系 坐标系建立仅为参考 x y o z AB BC CA AA1 2 D E 分别为 A1B1 AA1的中点 AF 4 1 AB 33 E 1 0 1 F 00 2 1 B 1 0 0 D 0 0 2 C1 0 23 设平面平面 DBC1的法向量为 zyxn 1 0 2 1 EF 2 0 1 BD 2 3 1 1 BC 02 zxnBD 023 1 zyxBC 令 z 1 则 y 0 x 2 1 0 2 n 0 1 10 2 1 2 nEF nEF 又 EF 平面 BDC1 EF 平面 BDC1 6 分 2 设面 EBC1的法向量为 zyxm 1 0 2 BE 2 3 1 1 BC 02 zxmBE 023 1 zyxmBC 令 x 1 则 z 2 y 3 2 3 1 m cos nm nm nm 5 10 225 21 3 012 由图知二面角E BC1 D为锐二面角 所以二面角的余弦值为 5 10 12 分 48 云南省玉溪一中 2013 届高三第五次月考理科数学 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 在边长为 5 的菱形ABCD中 AC 8 现沿对角线BD把 ABD折起 折起后使 ADC的余弦值为 9 25 1 求证 平面ABD 平面CBD 2 若M是AB的中点 求折起后AC与平面MCD所成角的正弦值 34 A B C D M A B C D M 答案 解 1 证明 在菱形ABCD中 记AC BD的交点为O AD 5 OA 4 OD 3 翻折后变成三棱锥A BCD 在 ACD中 AC2 AD2 CD2 2AD CD cos ADC 25 25 2 5 5 32 9 25 在 AOC中 OA2 OC2 32 AC2 AOC 90 即AO OC 又AO BD OC BD O AO 平面BCD 又AO 平面ABD 平面ABD 平面CBD 2 由 1 知OA OC OD两两互相垂直 分别以OC OD OA所在直线为x y z轴建 立空间直角坐标系 则A 0 0 4 B 0 3 0 C 4 0 0 D 0 3 0 M 4 3 0 4 0 4 0 3 2 2 MC 4 3 2 2 DC AC 设平面MCD的一个法向量为n n x y z 则由Error 得Error 令y 4 有 n n 3 4 9 设AC与平面MCD所成的角为 sin cos n n AC 12 36 106 32 3 53 53 AC与平面MCD所成角的正弦值为 3 5353 49 云南省昆明三中 2013 届高三高考适应性月考 三 理科数学 如图所示 正方 形DDAA 11 与矩形ABCD所在平面互相垂直 22 ADAB 点E为AB的中点 1 求证 DEABD 11 平面 2 求证 DAED 11 3 在线段AB上是否存在点M 使二面角DMCD 1 的大小为 6 若存在 求出 AM的长 若不存在 请说明理由 35 答案 解 的中点是为正方形 四边形 111 ADOAADD 点 E 为AB的中点 连接OE 1 ABDEO 为的中位线 EO 1 BD 2 分 又DEAOEDEABD 111 平面平面 DEABD 11 平面 4 分 II 正方形 11A ADD中 11 ADDA 由已知可得 11 AADDAB平面 111 AADDDA平面 DAAB 1 AADAB 1 EADEDDE A 1111 平面平面 DA EDDA 11 8 分 故当 3 3 2 AM时 二面角DMCD 1 的大小为 6 12 分 注 其它方法同样得分 36 50 云南省昆明一中 2013 届高三第二次高中新课程双基检测数学理 本小题满分 12 分 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为菱形 DAB 60 侧面 PAD 平面 AC 在 PAD 中 E 为 AD 中点 PA PD I 证明 PA BE II 若2ABPA 求二面角 A PB D 的正弦值 答案 37 51 云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考理科数学 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 如图 在长 方体 1111 ABCDABC D 中 1 1 2ADAAAB 点E在棱 AB 上移动 1 证明 11 D EAD 2 当E为AB的中点时 求点E到面 1 ACD的距离 38 3 AE等于何值时 二面角 1 DECD 的大小为 4 A B C D A1 B1 C1D1 E 答案 解 以D为坐标原点 直线 1 DA DC DD分别为 x y z轴 建立空间直角坐标系 设AEx 则 11 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 2 0 ADExAC 2 分 A B C D A1 B1 C1D1 E 1 1111 1 0 1 1 1 0 DA D ExDAD E 因为所以 4 分 2 因为E为AB的中点 则 1 1 0 E 从而 1 1 1 1 1 2 0 D EAC 1 1 0 1 AD 设平面 1 ACD的法向量为 na b c 则 1 0 0 n AC n AD 也即 20 0 ab ac 得 2ab ac 从而 2 1 2 n 所以点E到平面 1 ACD的距离为 1 2 121 33 D E n h n 8 分 3 设平面 1 D EC的