理科数学2010-2019高考真题分类训练38专题十三推理与证明第三十八讲推理与证明—附解析答案

专题十三 推理与证明 第三十八讲 推理与证明 2019 年 2019 年年 8 2019 全国 I 理 4 古希腊时期 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底 的长度之比是 51 2 51 2 0 618 称为黄金分割比例 著名的 断臂维纳斯 便是如 此 此外 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 2 若某人满 足上述两个黄金分割比例 且腿长为 105 cm 头顶至脖子下端的长度为 26 cm 则其身高 可能是 A 165 cm B 175 cm C 185 cm D 190 cm 8 8 解析解析 头顶至脖子下端的长度为 26cm 说明头顶到咽喉的长度小于 26cm 由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是 5 1 0 618 2 可得咽喉至肚脐的长度小于 26 42 0 618 由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5 1 2 可得肚脐至足底的长度小 42 26 110 0 618 即有该人的身高小于11068178cm 又肚脐至足底的长度大于 105cm 可得头顶至肚脐的长度大于 105 0 618 65cm 即该人的身高大于 65 105 170cm 综上可得身高在 170cm 178cm 之间 故选 B 9 2019 全国 II 理 4 2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面 软着陆 我国航天事业取得又一重大成就 实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问 题是地面与探测器的通讯联系 为解决这个问题 发射了嫦娥四号中继星 鹊桥 鹊桥沿 着围绕地月拉格朗日 2 L点的轨道运行 2 L点是平衡点 位于地月连线的延长线上 设地球 质量为 M 月球质量为 M 地月距离为 R 2 L点到月球的距离为 r 根据牛顿运动定律和 万有引力定律 r 满足方程 121 223 MMM Rr RrrR 设 r R 由于 的值很小 因此在近似计算中 345 3 2 33 3 1 则 r 的近似值为 A 2 1 M R M B 2 1 2 M R M C 2 3 1 3M R M D 2 3 1 3 M R M 9 解析解析 解法一 直接代换运算 解法一 直接代换运算 由 121 223 MMM Rr RrrR 及 r R 可得 121 2222 1 1 MMM RrR 323 21111 22222222 1 1 33 1 1 1 1 MMMMM rRRRR 因为 345 3 2 33 3 1 所以 211 223 33MMM rr rRRR 则 3 3 2 1 3 M R r M 2 3 1 3 M rR M 故选 D 解法二 由选项结构特征入手解法二 由选项结构特征入手 因为 r R 所以rR r 满足方程 121 223 MMM Rr RrrR 所以 345 3 2 2 1 33 3 1 M M 所以 2 3 1 3 M rRR M 故选 D 2010 2018 年 一 选择题 1 2018 浙江 已知 1 a 2 a 3 a 4 a成等比数列 且 1234123 ln aaaaaaa 若 1 1a 则 A 13 aa 24 aa B 13 aa 24 aa C 13 aa 24 aa D 13 aa 24 aa 2 2018 北京 设集合 1 4 2 Ax yxyaxyxay 则 A 对任意实数a 2 1 A B 对任意实数a 2 1 A C 当且仅当0a 时 2 1 A D 当且仅当 3 2 a 时 2 1 A 3 2017 新课标 甲 乙 丙 丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩 老师说 你们四人中有 2 位优秀 2 位良好 我现在给甲看乙 丙的成绩 给乙看丙的成绩 给 丁看甲的成绩 看后甲对大家说 我还是不知道我的成绩 根据以上信息 则 A 乙可以知道四人的成绩 B 丁可以知道四人的成绩 C 乙 丁可以知道对方的成绩 D 乙 丁可以知道自己的成绩 4 2017 浙江 如图 已知正四面体DABC 所有棱长均相等的三棱锥 P Q R分别为AB BC CA上的点 APPB 2 BQCR QCRA 分别记二面角DPRQ DPQR DQRP 的平面角为 则 R Q P A B C D A B C D 5 2016 北京 某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶 段 下表为 10 名学生的预赛成绩 其中有三个数据模糊 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳远 单位 米 1 96 1 92 1 82 1 80 1 78 1 76 1 74 1 72 1 68 1 60 30 秒跳绳 单位 次 63 a 75 60 63 72 70 a 1 b 65 在这 10 名学生中 进入立定跳远决赛的有 8 人 同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决 赛的有 6 人 则 A 2 号学生进入 30 秒跳绳决赛 B 5 号学生进入 30 秒跳绳决赛 C 8 号学生进入 30 秒跳绳决赛 D 9 号学生进入 30 秒跳绳决赛 6 2015 广东 若集合 04 04 04 p q r spsqsrs 且 p q r s 04 04 Ft u v wtuvwt u v w 且 用 card 表示集合 中的元素个数 则 cardcard F A 200 B 150 C 100 D 50 7 2014 北京 学生的语文 数学成绩均被评定为三个等级 依次为 优秀 合格 不 合格 三种 若学生甲的语文 数学成绩都不低于学生乙 且其中至少有一门成绩高于 乙 则称 学生甲比学生乙成绩好 如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩 好 并且不存在语文成绩相同 数学成绩也相同的两个学生 那么这组学生最多有 A 2人 B 3人 C 4人 D 5人 8 2014 山东 用反证法证明命题 设 a b为实数 则方程 3 0 xaxb 至少有一个实根 时 要做的假设是 A 方程 3 0 xaxb 没有实根 B 方程 3 0 xaxb 至多有一个实根 C 方程 3 0 xaxb 至多有两个实根 D 方程 3 0 xaxb 恰好有两个实根 9 2011 江西 观察下列各式 5 53125 6 515625 7 578125 则 2011 5的 末四位数字为 A 3125 B 5625 C 0625 D 8125 10 2010 山东 观察 2 2xx 43 4xx cos sinxx 由归纳推理可得 若 定义在R上的函数 f x满足 fxf x 记 g x为 f x的导函数 则 gx A f x B f x C g x D g x 二 填空题 11 2018 江苏 已知集合 21 Ax xnn N 2 n Bx xn N 将AB的所有 元素从小到大依次排列构成一个数列 n a 记 n S为数列 n a的前n项和 则使得 1 12 nn Sa 成立的n的最小值为 12 2017 北京 三名工人加工同一种零件 他们在一天中的工作情况如图所示 其中点 i A 的横 纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数 点 i B的横 纵坐标分 别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数 i 1 2 3 记 i Q为第i名工人在这一天中加工的零件总数 则 1 Q 2 Q 3 Q中最大的是 记 i p为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数 则 1 p 2 p 3 p中最大的 是 13 2016 新课标 有三张卡片 分别写有 1 和 2 1 和 3 2 和 3 甲 乙 丙三人各取走 一张卡片 甲看了乙的卡片后说 我与乙的卡片上相同的数字不是 2 乙看了丙的卡 片后说 我与丙的卡片上相同的数字不是 1 丙说 我的卡片上的数字之和不是 5 则甲的卡片上的数字是 14 2016 山东 观察下列等式 22 2 4 sin sin 1 2 333 2222 2 3 4 4 sin sin sin sin 2 3 55553 2222 2 3 6 4 sin sin sin sin 3 4 77773 2222 2 3 8 4 sin sin sin sin 4 5 99993 照此规律 2222 2 3 2 sin sin sin sin 21212121 n nnnn 15 2015 陕西 观察下列等式 1 11 22 1 11111 23434 1 11111111 23456456 据此规律 第n个等式可为 16 2015 山东 观察下列各式 00 1 4C 011 33 4CC 0122 555 4CCC 01233 7777 4CCCC 照此规律 当 Nn 时 0121 21212121 n nnnn CCCC 17 2014 安徽 如图 在等腰直角三角形ABC中 斜边2 2BC 过点A作BC的垂 线 垂足为 1 A 过点 1 A 作AC的垂线 垂足为 2 A 过点 2 A作 1 AC的垂线 垂足为 3 A 依此类推 设 1 BAa 12 AAa 123 A Aa 567 A Aa 则 7 a A B C A1 A2 A3 A4 18 2014 福建 若集合 4 3 2 1 dcba且下列四个关系 1 a 1 b 2 c 4 d有且只有一个是正确的 则符合条件的有序数组 dcba的个数是 19 2014 北京 顾客请一位工艺师把A B两件玉石原料各制成一件工艺品 工艺师带一 位徒弟完成这项任务 每件原料先由徒弟完成粗加工 再由工艺师进行精加工完成制作 两件工艺品都完成后交付顾客 两件原料每道工序所需时间 单位 工作日 如下 工序 时间 原料 粗加工 精加工 原料A 9 15 原料B 6 21 则最短交货期为 个工作日 20 2014 陕西 已知0 1 x x x xf 若 Nnxffxfxfxf nn 11 则 2014 xf的表达式为 21 2014 陕西 观察分析下表中的数据 多面体 面数 F 顶点数 V 棱数 E 三棱锥 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12 猜想一般凸多面体中 EVF 所满足的等式是 22 2013 陕西 观察下列等式 2 11 22 123 222 1263 2222 124310 照此规律 第n个等式可为 23 2013 湖北 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数 如三角形数 1 3 6 10 第n个三角形数为 2 111 222 n n nn 记第n个k边形数为 N n k 3k 以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式 三角形数 2 11 3 22 N nnn 正方形数 2 4N nn 五边形数 2 31 5 22 N nnn 六边形数 2 62N nnn 可以推测 N n k的表达式 由此计算 10 24N 24 2012 陕西 观察下列不等式 2 13 1 22 23 115 1 233 4 7 4 1 3 1 2 1 1 222 照此规律 第五个 不等式为 25 2012 湖南 设2nN 2 nN n 将N个数 12 N x xx 依次放入编号为 1 2 N的N个位置 得到排列 012N Px xx 将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数 取 出 并 按 原 顺 序 依 次 放 入 对 应 的 前 2 N 和 后 2 N 个 位 置 得 到 排 列 11 31 24NN Px xxx xx 将此操作称为 C 变换 将 1 P分成两段 每段 2 N 个数 并 对每段作 C 变换 得到 2 P 当22in 剟时 将 i P分成2i段 每段 2i N 个数 并对 每段 C 变换 得到 1i P 例如 当N 8 时 21 5372648 Px x x x x x x x 此时 7 x位于 2 P中 的第 4 个位置 1 当N 16 时 7 x位于 2 P中的第 个位置 2 当2nN 8n 时 173 x位于 4 P中的第 个位置 26 2011 陕西 观察下列等式 1 1 2 3 4 9 3 4 5 6 7 25 4 5 6 7 8 9 10 49 照此规律 第n个等式为 27 2010 浙江 设 11 2 2 3 23 nn nnNxx 2 012 n n aa xa xa x 将 0 k akn 的最小值记为 n T 则 2345 3355 1111 0 0 2323 TTTT n T 其中 n T 28 2010 福建 观察下列等式 cos2 2 2 cos 1 cos4 8 4 cos 8 2 cos 1 cos6 32 6 cos 48 4 cos 18 2 cos 1 cos8 128 8 cos 256 6 cos 160 4 cos 32 2 cos 1 cos10 m 10 cos 1280 8 cos 1120 6 cos n 4 cos p 2 cos 1 可以推测 mnp 三 解答题 29 2018北京 设n为正整数 集合 12 0 1 1 2 nk At tttkn 对 于集合A中的任意元素 12 n x xx 和 12 n y yy 记 M 11112222 1 2 nnnn xyxyxyxyxyxy 1 当3n 时 若 1 1 0 0 1 1 求 M 和 M 的值 2 当4n 时 设B是A的子集 且满足 对于B中的任意元素 当 相同时 M 是奇数 当 不同时 M 是偶数 求集合B中元素个数的最大 值 3 给定不小于 2 的n 设B是A的子集 且满足 对于B中的任意两个不同的元素 0M 写出一个集合B 使其元素个数最多 并说明理由 30 2018 江苏 设 n N 对 1 2 n 的一个排列 1 2n iii 如果当st 时 有 st ii 则称 st i i是排列 1 2n iii的一个逆序 排列 1 2n iii的所有逆序的总个数称为其逆序 数 例如 对 1 2 3 的一个排列 231 只有两个逆序 2 1 3 1 则排列 231 的 逆序数为 2 记 n fk为 1 2 n 的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数 1 求 34 2 2 ff的值 2 求 2 5 n fn 的表达式 用n表示 31 2017 江苏 对于给定的正整数k 若数列 n a满足 1111 2 n kn knnn kn kn aaaaaaka 对任意正整数n nk 总成立 则称数列 n a是 P k数列 1 证明 等差数列 n a是 3 P数列 2 若数列 n a既是 2 P数列 又是 3 P数列 证明 n a是等差数列 32 2017 北京 设 n a和 n b是两个等差数列 记 1122 max nnn cban ba nba n 1 2 3 n 其中 12 max s x xx 表示 12 s x xx 这s个数中最大的数 若 n an 21 n bn 求 123 c c c的值 并证明 n c是等差数列 证明 或者对任意正数M 存在正整数m 当nm 时 n c M n 或者存在 正整数m 使得 12 mmm ccc 是等差数列 33 2016 江苏 记 1 2 100U 对数列 n a n N 和U的子集T 若T 定义 0 T S 若 12 k Tt tt 定义 12k Tttt Saaa 例如 1 3 66T 时 1366T Saaa 现设 n a n N 是公比为3的等比数列 且当 2 4T 时 30 T S 1 求数列 n a的通项公式 2 对任意正整数k 1100k 若 1 2 Tk 求证 1Tk Sa 3 设CU DU CD SS 求证 2 CCDD SSS 34 2016 浙江 设函数 f x 3 1 1 x x 0 1 x 证明 1 2 1f xxx 2 33 42 f x 35 2015 湖北 已知数列 n a的各项均为正数 1 1 n nn bnan n N e 为自然对数的 底数 1 求函数 1exf xx 的单调区间 并比较 1 1 n n 与 e 的大小 2 计算 1 1 b a 1 2 12 bb a a 1 23 123 bb b a a a 由此推测计算 1 2 12 n n bbb a aa 的公式 并给出证明 3 令 1 12 n nn ca aa 数列 n a n c的前n项和分别记为 n S n T 证明 e nn TS 36 2015 江苏 已知集合 1 2 3 1 2 3 n XYn nN 设 n Sa b a整除 b或 n ba aX bY 除 令 f n表示集合 n S所含元素的个数 1 写出 6 f的值 2 当6n 时 写出 f n的表达式 并用数学归纳法证明 37 2014 天津 已知q和n均为给定的大于 1 的自然数 设集合 0 1 2 1 Mq 集合 1 12 1 2 n ni x qxM inAx xxx q 1 当2q 3n 时 用列举法表示集合A 2 设 s tA 1 1 2 n n saa qa q 1 1 2 n n tbb qb q 其中 i a i bM 1 2 in 证明 若 nn ab 则st 38 2013 江苏 设 n a是首项为a 公差为d的等差数列 0d n S是其前n项和 记 2 n n nS b nc Nn 其中c为实数 1 若0c 且 1 b 2 b 4 b成等比数列 证明 2 N nkk Sn Sk n 2 若 n b是等差数列 证明 0c 专题十三 推理与证明 第三十八讲 推理与证明 答案部分 1 B 解析 解法一 因为ln1xx 0 x 所以 1234123 ln aaaaaaa 123 1aaa 所以 4 1a 又 1 1a 所以等比数列的公比0q 若1q 则 2 12341 1 10aaaaaqq 而 1231 1aaaa 所以 123 ln 0aaa 与 1231234 ln 0aaaaaaa 矛盾 所以10q 所以 2 131 1 0aaaq 2 241 1 0aaa qq 所以 13 aa 24 aa 故选 B 解法二 因为1 x ex 1234123 ln aaaaaaa 所以 1234 1231234 1 aaaa eaaaaaaa 则 4 1a 又 1 1a 所以等比数列的公比0q 若1q 则 2 12341 1 10aaaaaqq 而 1231 1aaaa 所以 123 ln 0aaa 与 1231234 ln 0aaaaaaa 矛盾 所以10q 所以 2 131 1 0aaaq 2 241 1 0aaa qq 所以 13 aa 24 aa 故选 B 2 D 解析 解法一 点 2 1 在直线1xy 上 4axy 表示过定点 0 4 斜率为a 的直线 当0a 时 2xay 表示过定点 2 0 斜率为 1 a 的直线 不等式2xay 表示的区域包含原点 不等式4axy 表示的区域不包含原点 直线4axy 与直 线2xay 互相垂直 显然当直线4axy 的斜率0a 时 不等式4axy 表 示的区域不包含点 2 1 故排除 A 点 2 1 与点 0 4 连线的斜率为 3 2 当 3 2 a 即 3 2 a 时 4axy 表示的区域包含点 2 1 此时2xay 表示的 区域也包含点 2 1 故排除 B 当直线4axy 的斜率 3 2 a 即 3 2 a 时 4axy 表示的区域不包含点 2 1 故排除 C 故选 D 解法二 若 2 1 A 则 214 22 a a 解得 3 2 a 所以当且仅当 3 2 a 时 2 1 A 故选 D 3 D 解析 由甲的说法可知乙 丙一人优秀一人良好 则甲 丁一人优秀一人良好 乙 看到丙的结果则知道自己的结果 丁看到甲的结果则知道自己的结果 故选 D 4 B 解析 设O为三角形ABC中心 底面如图 2 过O作OERP OFPQ OGRQ 由题意可知tan DO OE tan OD OF tan OD OG G F E O D C B A P Q R x y A P B Q C G R O F E 图 1 图 2 由图 2 所示 以P为原点建立直角坐标系 不妨设2AB 则 1 0 A 1 0 B 0 3 C 3 0 3 O APPB 2 BQCR QCRA 1 2 3 33 Q 23 33 R 则直线RP的方程为 3 2 yx 直线PQ的方程为2 3yx 直线RQ的方程为 35 3 39 yx 根据点到直线的距离公式 知 2 21 21 OE 39 39 OF 1 3 OG OFOGOE tantantan 因为 为锐角 所以 选 B 5 B 解析 由数据可知 进入立定跳远决赛的 8 人为 1 8 号 所以进入 30 秒跳绳决赛的 6 人从 1 8 号里产生 数据排序后可知 3 号 6 号 7 号必定进入 30 秒跳绳决赛 则 得分为 63 a 60 63 a l 的 5 人中有 3 人进入 30 秒跳绳决赛 若 1 号 5 号学 生未进入 30 秒跳绳决赛 则 4 号学生就会进入决赛 与事实矛盾 所以 l 号 5 号学 生必进入 30 秒跳绳决赛 故选 B 6 A 解析 当4s 时 p q r都是取0 1 2 3中的一个 有4 4 464 种 当3s 时 p q r都是取0 1 2中的一个 有3 3 327 种 当2s 时 p q r都是取0 1中的一个 有2 2 28 种 当1s 时 p q r都取0 有1 种 所以 card64278 1 100 当0t 时 u取1 2 3 4中的一个 有4种 当1t 时 u取2 3 4中的一个 有3种 当2t 时 u取3 4中的一 个 有2种 当3t 时 u取4 有1种 所以t u的取值有1 23410 种 同理 v w的取值也有10种 所以 card F10 10100 所以 cardcard F100 100200 故选 D 7 B 解析 学生甲比学生乙成绩好 即学生甲两门成绩中一门高过学生乙 另一门不低 于学生乙 一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好 并且没有相同的成绩 则存 在的情况是 最多有 3 人 其中一个语文最好 数学最差 另一个语文最差 数学最好 第三个人成绩均为中等 故选 B 8 A 解析 至少有一个实根 的反面为 没有实根 故选 A 9 D 解析 5 53125 6 515625 7 578125 8 5390625 9 51953125 10 59765625 5n nZ 且5n 的末四位数字呈周期性变化 且最小正 周期为 4 记5n nZ 且5n 的末四位数字为 f n 则 2011 501 47 ff 7 f 2011 5与 7 5的末位数字相同 均为 8 125 选 D 10 D 解析 由给出的例子可以归纳推理得出 若函数 f x是偶函数 则它的导函数是 奇函数 因为定义在R上的函数 f x满足 fxf x 即函数 f x是偶函数 所 以它的导函数是奇函数 即有 gx g x 故选 D 11 27 解析 所有的正奇数和2n n N 按照从小到大的顺序排列构成 n a 在数列 n a 中 5 2前面有 16 个正奇数 即 5 21 2a 6 38 2a 当1n 时 12 1 1224Sa 不 符 合 题 意 当2n 时 23 31236Sa 不 符 合 题 意 当3n 时 34 61248Sa 不符合题意 当4n 时 45 101260Sa 不符合题意 当26n 时 5 26 21 1 41 2 1 2 21 2 S 441 62 503 28 12a 540 符合题 意 故使得 1 12 nn Sa 成立的n的最小值为 27 12 1 Q 2 p 解析 设线段 ii AB的中点为 iii C x y 则2 ii Qy 其中1 2 3i 由题意只需比较线段 ii AB中点的纵坐标的大小即可 作图可得 11 AB中点纵坐标比 2233 A B A B的中点纵坐标大 所以第一位选 1 Q 由题意 i i i y p x 只需比较三条线段 1 OC 2 OC 3 OC斜率的大小 分别作 123 B B B 关于原点的对称点 123 BBB 比较直线 112233 AB A B A B 斜率 可得 22 A B 最大 所 以选 2 p 13 1 和 3 解析 为方便说明 不妨将分别写有 1 和 2 1 和 3 2 和 3 的卡片记为 A B C 从丙出发 由于丙的卡片上的数字之和不是 5 则丙只可能是卡片 A 或 B 无论是哪 一张 均含有数字 1 再由乙与丙的卡片上相同的数字不是 1 可知 乙所拿的卡片必然 是 C 最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是 2 知甲所拿的卡片为 B 此时丙所拿的 卡片为 A 14 解析 根据已知 归纳可得结果为 4 3 n n 1 15 11111111 1 234212122nnnnn 解析 观察等式知 第 n 个等式的左边有2n个数相加减 奇数项为正 偶数项为负 且分子为 1 分母是 1 到2n的连续正整数 等式的右边是 111 122nnn 16 1 4n 解析 具体证明过程可以是 01210121 2121212121212121 1 2222 2 nn nnnnnnnn CCCCCCCC 0211222231 2121212121212121 1 2 nnnnn nnnnnnnn CCCCCCCC 012121211 212121212121 11 24 22 nnnnn nnnnnn CCCCCC 17 1 4 解析 解法一 直接递推归纳 等腰直角三角形ABC中 斜边2 2BC 所以 112 2 2ABACaAAa 123 1A Aa 6 5671 21 24 A Aaa 解法二 求通项 等腰直角三角形ABC中 斜边2 2BC 所以 112 2 2ABACaAAa 11 22 sin2 422 n nnnnn AAaaa 故 6 7 2 2 2 a 1 4 18 6 解析 因为 正确 也正确 所以只有 正确是不可能的 若只有 正确 都不正确 则符合条件的有序数组为 2 3 1 4 3 2 1 4 若只有 正确 都不正确 则符合条件的有序数组为 3 1 2 4 若只有 正确 都不正确 则 符合条件的有序数组为 2 1 4 3 3 1 4 2 4 1 3 2 综上符合条件的有序数组 的个数是 6 19 42 解析 先由徒弟粗加一工原料B 6 天后 师傅开始精加工原料B 徒弟同时开始 粗加工原料A 再 9 天后 15 天后 徒弟粗加工原料A完成 此时师傅还在精加工原 料B 27 天后 师傅精加工原料B完成 然后接着精加工原料A 再 15 天后 师傅 精加工原料A完成 整个工作完成 一共需要 6 21 15 42 个工作日 20 12014 x x 解析 由 1 1 x f x x 得 2 11 2 xx fxf xx 可得 32 1 3 x fxf fx x 故可归纳得 2014 1 2014 x fx x 21 2FVE 解析 三棱柱中 5 6 9 2 五棱锥中 6 6 10 2 立方体中 6 8 12 2 由此归纳可得2FVE 22 12 22 32 42 1 n 1n2 1 n 1 1 2 n n n N 解析 观察上式等号左边的规律发现 左边的项数一次加 1 故第n个等式左边有n 项 每项所含的底数的绝对值也增加 1 一次为 1 2 3 n 指数都是 2 符号成 正负交替出现可以用 1 1 n 表示 等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和 故等 式的右边可以表示为 1 n 1 2 n n 所以第n个式子可为 12 22 32 42 12 1 nn 1 n 1 1 2 n n n N 23 1000 解析 观察 2 n和n前面的系数 可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等 差数列 故 2 241110N nnn 10 241000N 24 6 11 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 22222 解析 观察不等式的左边发现 第n个不等式的左 边 222 111 1 23 1 n 右 边 1 112 n n 所 以 第 五 个 不 等 式 为 6 11 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 22222 25 1 6 2 4 3 211 n 解析 1 当N 16 时 012345616 Px x x x x xx 可设为 1 2 3 4 5 6 16 11 3571524616 Px x x xx x x xx 即为 1 3 5 7 9 2 4 6 8 16 21 59 1337 11 152616 Px x x x x x x x x xx 即 1 5 9 13 3 7 11 15 2 6 16 7 x位于 2 P中 的第 6 个位置 2 在 1 P中 173 x位于两段中第一段的第 87 个位置 位于奇数位置上 此时在 2 P中 173 x位 于四段中第一段的第 44 个位置上 再作变换得 3 P时 173 x位于八段中第二段的第 22 个位置上 再作变换时 173 x位于十六段中的第四段的第 11 个位置上 也就是位于 4 P中 的第 4 3 211 n 个位置上 26 2 1 32 21 nnnn 解析 把已知等式与行数对应起来 则每一个 等式的左边的式子的第一个数是行数n 加数的个数是21n 等式右边都是完全平方 数 行数 等号左边的项数 1 1 1 1 2 3 4 9 2 3 3 4 5 6 7 25 3 5 4 5 6 7 8 9 10 49 4 7 所以 2 1 21 1 21 nnnnn 即 2 1 32 21 nnnn 27 0 11 23 nn n n 当 为偶数时 当 为奇数时 解析 根据合情推理 利用归纳和类比进行简单的推理 可得 n T 0 11 23 nn n n 当 为偶数时 当 为奇数时 28 962 解析 观察等式可知 cos 的最高次的系数 2 8 32 128 构成了公比为 4 的等比数 列 故128 4512m 取0 则cos1 cos101 代入等式 得 1512 1280 11201np 即350np 取 3 则 1 cos 2 1 cos10 2 代入等式 得 108642 111111 512 1280 1120 1 222222 np 即4200np 联立 得 400 50np 所以mnp 512 400 50962 29 解析 1 因为 1 1 0 0 1 1 所以 1 1 1 1 1 1 1 1 1 00 00 2 2 M 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 2 M 2 设 1234 x x x xB 则 1234 Mxxxx 由题意知 1 x 2 x 3 x 4 x 0 1 且 M 为奇数 所以 1 x 2 x 3 x 4 x中 1 的个数为 1 或 3 所以 B 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 将上述集合中的元素分成如下四组 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 经验证 对于每组中两个元素 均有 1M 所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素 所以集合B中元素的个数不超过 4 又集合 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 满足条件 所以集合B中元素个数的最大值为 4 3 设 1212121 1 0 knnkk Sx xxx xxA xxxx 1 2 kn 11212 0 nnn Sx xxxxx 则 121n ASSS 对于 k S 1 2 1kn 中的不同元素 经验证 1M 所以 k S 1 2 1kn 中的两个元素不可能同时是集合B的元素 所以B中元素的个数不超过1n 取 12 knk ex xxS 且 1 0 kn xx 1 2 1kn 令 1211 nnn Be eeSS 则集合B的元素个数为1n 且满足条件 故B是一个满足条件且元素个数最多的集合 30 解析 1 记 abc 为排列abc的逆序数 对 1 2 3 的所有排列 有 123 0 132 1 213 1 231 2 312 2 321 3 所以 333 0 1 1 2 2fff 对 1 2 3 4 的排列 利用已有的 1 2 3 的排列 将数字 4 添加进去 4 在新排列 中的位置只能是最后三个位置 因此 4333 2 2 1 0 5ffff 2 对一般的n 4 n 的情形 逆序数为 0 的排列只有一个 12n 所以 0 1 n f 逆序数为 1 的排列只能是将排列12n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列 所以 1 1 n fn 为计算 1 2 n f 当 1 2 n 的排列及其逆序数确定后 将1n 添加进原排列 1n 在新排列中的位置只能是最后三个位置 因此 1 2 2 1 0 2 nnnnn fffffn 当5n 时 112544 2 2 2 2 2 2 2 2 nnnnn ffffffff 2 4 2 1 2 4 2 2 nn nnf 因此 5n 时 2 n f 2 2 2 nn 31 解析 证明 1 因为 n a是等差数列 设其公差为d 则 1 1 n aand 从而 当n4 时 n kn k aaa 11 1 1 nkdankd 1 22 1 2 n anda 1 2 3 k 所以 nnnnnnn aaaaaaa 321123 6 因此等差数列 n a是 3 P数列 2 数列 n a既是 2 P数列 又是 3 P数列 因此 当3n 时 nnnnn aaaaa 2112 4 当4n 时 nnnnnnn aaaaaaa 321123 6 由 知 nnn aaa 321 4 1 nn aa nnn aaa 231 4 1 nn aa 将 代入 得 nnn aaa 11 2 其中4n 所以 345 a a a是等差数列 设其公差为d 在 中 取4n 则 23564 4aaaaa 所以 23 aad 在 中 取3n 则 12453 4aaaaa 所以 12 2aad 所以数列 n a是等差数列 32 解析 易知 1 1a 2 2a 3 3a 且 1 1b 2 3b 3 5b 所以 111 1 10 cba 21122 max 2 2 max 1 2 1 3 2 2 1cba ba 3112233 max 3 3 3 max 1 3 1 3 3 2 5 3 3 2cba ba ba 下面证明 对任意n N且2n 都有 11n cba n 当k N且2kn 时 11 kk banba n 21 1knkn 22 1 kn k 1 2 kn 10k 且20n 11 0 kk banba n 11 kk ba nban 因此对任意n N且2n 11 1 n cba nn 则 1 1 nn cc 又 21 1cc 故 1 1 nn cc 对n N均成立 从而 n c是等差数列 设数列 n a和 n b的公差分别为 ab dd 下面我们考虑 n c的取值 对 11 ba n 22 ban nn ban 考虑其中任意项 ii ba n i N且1 in ii ba n 11 1 1 ba bidaidn 11 1 ba ba niddn 下面分0 a d 0 a d 0 a d 三种情况进行讨论 1 若0 a d 则 ii ba n 11 1 b ba nid 若0 b d 则 11 1 0 iib ba nba nid 则对于给定的正整数n而言 11n cba n 此时 11nn cca 故 n c是等差数列 0 b d 则 0 iinnb ba nbanin d 则对于给定的正整数n而言 1nnnn cbanba n 此时 11nnb ccda 故 n c是等差数列 此时取1m 则 123 c c c 是等差数列 命题成立 2 若0 a d 则此时 ab dnd 为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数 故必存在m N 使得当nm 时 0 ab dnd 则当nm 时 11 1 0 iiab ba nba nidnd 1 iin N 因此 当nm 时 11n cba n 此时 11nn cca 故 n c从第m项开始为等差数列 命题成立 3 0 a d 则此时 ab dnd 为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数 故必存在s N 使得当ns 时 0 ab dnd 则当ns 时 0 iinnab ba nbanindnd 1 iin N 因此当ns 时 nnn cban 此时 nnnn n cbanb a nnn 1 1 b aab bd dndad n 令0 a dA 1ab dadB 1b bdC 下面证明 n cC AnB nn 对任意正数M 存在正整数m 使得当nm 时 n c M n 若0C 则取 1 MB m A x表示不等于x的最大整数 当nm 时 1 n cMBMB AnBAmBABABM nAA 此时命题成立 若0C 则取 1 MCB m A 当nm 时 1 n cMCB AnBCAmBCABC nA MCBBCM 此时命题成立 因此 对任意正数M 使得当nm 时 n c M n 综合以上三种情况 命题得证 33 解析 1 由已知得 1 1 3 n n aanN 于是当 2 4 T 时 24111 32730 r Saaaaa 又30 r S 故 1 3030a 即 1 1a 所以数列 n a的通项公式为 1 3 n n anN 2 因为 1 2 Tk 1 30 n n anN 所以 1 12 1 1 33 31 3 2 kkk rk Saaa 因此 1rk Sa 3 下面分三种情况证明 若D是C的子集 则2 CC DCDDDD SSSSSSS 若C是D的子集 则22 CC DCCCD SSSSSS 若D不是C的子集 且C不是D的子集 令 U ECC D U FDC C 则E F EF 于是 CECD SSS DFC D SSS 进而由 CD SS 得 EF SS 设k是E中的最大数 l为F中的最大数 则1 1 klkl 由 2 知 1Ek Sa 于是 1 1 33 lk lFEk aSSa 所以1lk 即lk 又kl 故1lk 从而 1 1 12 113131 1 33 2222 lk l kE Fl aS Saaa 故21 EF SS 所以2 1 CC DDC D SSSS 即21 CC DD SSS 综合 得 2 CC DD SSS 34 解析 1 因为 4 4 23 11 1 11 xx xxx xx 由于 0 1x 有 4 11 11 x xx 即 23 1 1 1 xxx x 所以 2 1 f xxx 2 由01x 得 3 xx 故 3 1 21113333 11222122 xx f xxx xxx 所以 3 2 f x 由 1 得 22 133 1 244 f xxxx 又因为 1193 2244 f 所以 3 4 f x 综上 33 42 f x 35 解析 1 f x的定义域为 1exfx 当 0fx 即0 x 时 f x单调递增 当 0fx 即0 x 时 f x单调递减 故 f x的单调递增区间为 0 单调递减区间为 0 当0 x 时 0 0f xf 即1exx 令 1 x n 得 1 1 1en n 即 1 1 e n n 2 11 1 1 1 1 1 12 1 b a 2221 212 1212 1 2 2 1 21 3 2 bbbb a aaa 23331 2 331 2 123123 1 33 1 3 1 4 3 bb