2013年高考数学40个考点总动员 考点13 三角函数的图像和性质（教师版） 新课标

用心 爱心 专心1 20132013 年新课标数学年新课标数学 4040 个考点总动员个考点总动员 考点考点 1313 三角函数的图像和性三角函数的图像和性 质 教师版 质 教师版 高考再现 热点一 三角函数的图像 1 2012 年高考 浙江理 把函数y cos2x 1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 然后向左平移 1 个单位长度 再向下平移 1 个单位长度 得到的图像是 2 2012 年高考 课标文 已知 0 直线 和 是函数 0 x 4 x 5 4 图像的两条相邻的对称轴 则 sin f xx A B C D 4 3 2 3 4 3 2012 年高考 福建文 函数的图像的一条对称轴是 sin 4 f xx A B C D 4 x 2 x 4 x 2 x 答案 C 用心 爱心 专心2 解析 把代入后得到 因而对称轴为 答案 C 正确 4 x 1f x 4 x 4 2012 年高考 安徽文 要得到函数的图象 只要将函数的cos 21 yx cos2yx 图象 A 向左平移 1 个单位B 向右平移 1 个单位 C 向左平移个单位D 向右平移个单位 1 2 1 2 解析 选 左 1 平移 Ccos2cos 21 yxyx 1 2 5 2012 年高考 湖南理 函数 f x sin 的导函数x 的部分图像如图 4 所示 其中 P 为图像与 y 轴的交 yfx 点 A C 为图像与 x 轴的两个交点 B 为图像的最低点 1 若 点 P 的坐标为 0 则 6 3 3 2 2 若在曲线段与 x 轴所围成的区域内随机取一点 则该点在 ABC 内的概率为 A ABC 6 2012 年高考 湖南文 已知函数 的部分图像如图 sin 0 0 2 f xAxxR 5 所示 求函数 f x 的解析式 用心 爱心 专心3 求函数的单调递增区间 1212 g xf xf x 7 2012 年高考 四川理 函数在一个周期内 2 6cos3cos3 0 2 x f xx 的图象如图所示 为图象的最高点 为图象与轴的ABCx 交点 且为正三角形 ABC 求的值及函数的值域 f x 若 且 求的值 0 8 3 5 f x 0 10 2 33 x 0 1 f x 解析 由已知可得 2 6cos3cos3 0 2 x f xx 3cos x 3 sin 32sin3 xx 又由于正三角形 ABC 的高为 2 则 BC 4 3 用心 爱心 专心4 所以 函数 4 8 2 824 得 即的周期Txf 所以 函数 32 32 的值域为xf 8 2012 年高考 陕西文 函数 的最大值为 3 sin 1 6 f xAx 0 0A 其图像相邻两条对称轴之间的距离为 2 1 求函数的解析式 f x 2 设 则 求的值 0 2 2 2 f 解析 函数 f x的最大值是 3 13A 即2A 函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 2 最小正周期T 2 故函数 f x的解析式为 2sin 2 1 6 f xx 2 f 2sin 12 6 即 1 sin 62 用心 爱心 专心5 0 2 663 66 故 3 方法总结方法总结 1 用 五点法 作图应抓住四条 将原函数化为y Asin x A 0 0 或y Acos x A 0 0 的形式 求出周期T 求出振 2 幅A 列出一个周期内的五个特殊点 当画出某指定区间上的图象时 应列出该区间内 的特殊点 2 y Asin x 的图象有无穷多条对称轴 可由方程 x k k Z 解出 2 它还有无穷多个对称中心 它们是图象与x轴的交点 可由 x k k Z 解得 x k Z 即其对称中心为 0 k Z k k 3 相邻两对称轴间的距离为 相邻两对称中心间的距离也为 T 2 T 2 4 根据y Asin x k的图象求其解析式的问题 主要从以下四个方面来考虑 1 A的确定 根据图象的最高点和最低点 即A 最高点 最低点 2 2 k的确定 根据图象的最高点和最低点 即k 最高点 最低点 2 3 的确定 结合图象 先求出周期T 然后由T 0 来确定 2 4 的确定 由函数y Asin x k最开始与x轴的交点的横坐标为 即令 x 0 x 确定 热点三 三角函数的最值 1 2012 年高考 湖南理 函数 f x sinx cos x 的值域为 6 A 2 2 B C 1 1 D 33 3 2 3 2 用心 爱心 专心6 2 2012 年高考 大纲理 当函数取得最大值时 sin3cos 02 yxxx x 3 2012 年高考 四川文 已知函数 2 1 cossincos 2222 xxx f x 求函数的最小正周期和值域 f x 若 求的值 3 2 10 f sin2 4 2012 年高考 山东理 已知向量 函 sin 1 3 cos cos2 0 3 A mxnAxx A 数的最大值为 6 f xm n 求 A 用心 爱心 专心7 将函数的图象向左平移个单位 再将所得图象上各点的横坐标缩短为 yf x 12 原来的倍 纵坐标不变 得到函数的图象 求在上的值域 1 2 yg x g x 5 0 24 方法总结 求解涉及三角函数的值域 最值 的题目一般常用以下方法 1 利用 sin x cos x的值域 2 形式复杂的函数应化为y Asin x k的形式逐步分析 x 的范围 根据正 弦函数单调性写出函数的值域 3 换元法 把 sin x或 cos x看作一个整体 可化为求函数在区间上的值域 最值 问题 热点三 三角函数的单调性 1 2012 年高考 新课标理 已知 函数在上单调递减 则0 sin 4 f xx 2 的取值范围是 A B C D 1 5 2 4 1 3 2 4 1 0 2 0 2 答案 A 解析 不合题意 排除 59 2 444 x D 合题意 排除 35 1 444 x B C 用心 爱心 专心8 另 2 2 3 424422 x 得 315 2424224 2 2012 年高考 天津理 已知函数 2 sin 2 sin 2 2cos1 33 f xxxx xR 求函数的最小正周期 f x 求函数在区间上的最大值和最小值 f x 4 4 3 2012 年高考 湖北文 设函数 的图像关于直线对称 其 22 sin2 3sincoscos f xxxxxxR x 中为常数 且 1 1 2 1 求函数的最小正周期 f x 2 若的图像经过点 求函数的值域 yf x 0 4 f x 解析 1 因为 22 sincos2 3sincoscos23sin22sin 2 6 f xxxxxxx 由直线是图像的一条对称轴 可得 x yf x sin 2 1 6 x 所以 即 2 62 xkkZ 1 23 k kZ 又 所以时 故的最小正周期是 1 1 2 kZ 1k 5 6 f x 6 5 2 由的图象过点 得 yf x 0 4 0 4 f 用心 爱心 专心9 即 即 5 2sin 2sin2 6264 2 故 函数的值域为 5 2sin 2 36 f xx f x 22 22 点评 本题考查三角函数的最小正周期 三角恒等变形 考查转化与划归 运算求解的 能力 二倍角公式 辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛 它在三角恒等变形中占有重 要的地位 可谓是百考不厌 求三角函数的最小正周期 一般运用公式来求解 2 T 求三角函数的值域 一般先根据自变量的范围确定函数的范围 来年需注意三xx 角函数的单调性 图象变换 解三角形等考查 4 2012 年高考 北京理 已知函数 sincos sin2 sin xxx f x x 1 求的定义域及最小正周期 f x 2 求的单调递增区间 f x 方法总结 求形如 y Asin x 或 y Acos x 其中 A 0 0 的函数的 单调区间 可以通过解不等式的方法去解答 列不等式的原则是 把 x 0 视为一个 整体 A 0 A 0 时 所列不等式的方向与 y sin x x R y cos x x R 的 单调区间对应的不等式方向相同 反 考点剖析 一 明确要求 1 考查三角函数的值域与最值 2 考查三角函数的单调性 3 利用三角函数的值域和单调性求参数的值 二 命题方向 1 三角函数的最值以及三角函数的单调性是历年高考的重要考点 2 利用三角函数的单调性求最值 利用单调性求参数是重点也是难点 用心 爱心 专心10 3 题型不限 选择题 填空题 解答题都有可能出现 常与多个知识点交汇命题 三 规律总结 一种方法 在由图象求三角函数解析式时 若最大值为M 最小值为m 则A k 由 M m 2 M m 2 周期T确定 即由 T求出 由特殊点确定 2 一个区别 由y sin x的图象变换到y Asin x 的图象 两种变换的区别 先相位变换再周 期变换 伸缩变换 平移的量是 个单位 而先周期变换 伸缩变换 再相位变换 平移 的量是 0 个单位 原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言 即x本身加减 多少值 而不是依赖于 x加减多少值 两个注意 作正弦型函数y Asin x 的图象时应注意 1 首先要确定函数的定义域 2 对于具有周期性的函数 应先求出周期 作图象时只要作出一个周期的图象 就可根据 周期性作出整个函数的图象 两条性质 1 周期性 函数y Asin x 和y Acos x 的最小正周期为 y tan x 的最 2 小正周期为 2 奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为y Asin x或y Atan x 而偶函数一般可化为y Acos x b的形式 三种方法 求三角函数值域 最值 的方法 1 利用 sin x cos x的有界性 2 形式复杂的函数应化为y Asin x k的形式逐步分析 x 的范围 根据正 弦函数单调性写出函数的值域 3 换元法 把 sin x或 cos x看作一个整体 可化为求函数在区间上的值域 最值 问题 基础练习 1 教材习题改编 的最大值为 此时 x 23cos 4 yx 用心 爱心 专心11 2 人教 A 版教材习题改编 函数y cos x R R x 3 A 是奇函数 B 是偶函数 C 既不是奇函数也不是偶函数 D 既是奇函数又是偶函数 答案 C 3 y sin的图象的一个对称中心是 x 4 A 0 B 3 4 0 C D 3 2 0 2 0 4 已知简谐运动f x Asin x 的部分图象如图所示 则该简谐运动的 2 最小正周期T和初相 分别为 A T 6 B T 6 6 3 C T 6 D T 6 6 3 用心 爱心 专心12 5 函数y cos x x R R 的图象向左平移个单位后 得到函数y g x 的图象 则g x 2 的解析式应为 A sin x B sin x C cos x D cos x 答案 A 解析 由图象的平移得g x cos sin x x 2 6 已知函数f x sin x 0 的图象如图所示 则 解析 由题意设函数周期为T 则 故T T 4 2 3 3 3 4 3 2 T 3 2 答案 3 2 名校模拟 一 基础扎实 北京 2011 2012 学年度第二学期高三综合练习 二 文 将函数的图象向右sinyx 平移个单位长度 再向上平移 1 个单位长度 所得的图象对应的函数解析式为 2 A B 1 sinyx 1 sinyx C D 1 cosyx 1 cosyx 2 2012 年大连沈阳联合考试第二次模拟试题理 函数 sin f xAx 的图象如图 所示 其中0 A 0 2 则下列关于函数 f x的说法中正确的是 用心 爱心 专心13 A 对称轴方程是2 3 xkk Z B 6 C 最小正周期是 D 在区间 35 26 上单调递减 3 河北省唐山市 2011 2012 学年度高三年级第二次模拟考试理 把函数 y sin 2x 6 的图象向左平移个单位后 所得函数图象的一条对称轴为 6 A x 0 B x C x D x 6 12 2 4 唐山市 2011 2012 学年度高三年级第一次模拟考试文 函数的图象可以由 sin3yx 函数的图象 cos3yx A 向左平移个单位得到 B 向右平移个单位得到 3 3 用心 爱心 专心14 C 向左平移个单位得到 D 向右平移个单位得到 6 6 答案 D 解析 向右平移个单位得到 cos3sin 3 sin3 26 yxxx 6 sin3yx 5 20125 2012 年年河南豫东 豫北十所名校阶段性测试 三 理 函数 对任意的都有 I 成立 则的最小值为 A 3 4 B 1 C 2 D 4 6 浙江省宁波市鄞州区 2012 届高三高考适应性考试 3 月 文 函数 的部分图象如图所示 那么 2sin RAxAxf 0 f 2 1 A1 B 2 3 C3 D 答案答案 B B 解析解析 本题主要考查三角函数图象的性质 由图可知 函数的最大值为由图可知 函数的最大值为 2 2 因此 因此 又因为函数经过点 又因为函数经过点2A 则则 即 即 2 3 2sin 22 3 得 得 2 2 32 kkZ 2 6 kkZ 0 f2sin2sin21 6 k 7 山西省 2012 年高考考前适应性训练理 已知函数 用心 爱心 专心15 的图象经过点 且 则 2 0 50 sin xxf 2 3 0 1 4 f A B 4 C D 3 11 3 13 3 14 8 2012 嘉兴模拟 函数 的值域为 2sin 2 3 yx 66 x 答案 0 2 解析 66 x 2 02 33 x 0sin 2 1 3 x 的值域为2sin 2 3 yx 0 2 9 2012 宁德质检 函数的单调递减区间为 tan 3 yx 答案 5 66 kkkZ 解析 把函数变为tan 3 yx tan 3 yx 由 得 232 kxkkZ 5 66 kxkkZ 10 2012 届高三年级第二次综合练习文 函数 的单调递增区间是 2cosyx 0 2 x 答案 2 解析 由图像得 单调递增区间为 2cosyx 2 11 浙江省2012 届重点中学协作体高三第二学期 高考仿真试题理 本题满分 14 分 已知函数 2 2cos3sin 2 x f xx 求函数的最小正周期和值域 f x 用心 爱心 专心16 若为第二象限角 且 求的值 1 33 f cos2 1 cos2sin2 12 2012 年高三教学测试 二 理 本题满分 14 分 已知函数 1cossin3cos 2 xxxxf 求函数的单调递增区间 xf 若 求的值 6 5 f 3 2 3 2sin 用心 爱心 专心17 13 长春市实验中学 2012 届高三模拟考试 文 本题满分 12 分 已知向量函数 cossin 1 cossin 2sin1 xxbxxxa baxf 1 求函数的最大值及相应的的值 xfx 2 若求的值 5 8 f 2 4 2cos 解析 14 湖北省武汉市 2012 届高中毕业生五月供题训练 二 理 本小题满分 12 分 已知且 cos 2 3cos 2cos sin axx bxx f xa b I 求的最小正周期及单调递增区间 f x 在 ABC 中 a b c 分别是角 A B C 的对边 若成立 2 coscosacBbA 用心 爱心 专心18 求f A 的取值范围 二 能力拔高 1 2012 年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理 函数为常数 的部分图象如右图所示 则 f 0 的值为 A B C 0 D 答案 A 解析 本题主要考查由函数图象求函数的解析式 再求函数值问题 由题意直接求出 A 求出函数的周期 推出 利用图象经过的特殊点 求出函数的解析式 然后求出 f 0 的值 由函数的图象可知 A 2 T 4 5 6 2 4 3 23 4 2 3 用心 爱心 专心19 函数图象经过 2 5 6 所以函数 f x 2sin 2 3 2 5 6 所以 所以 f 0 2sin 0 3 4 3 4 2 故选 A 2 2012 东城区普通高中示范校高三综合练习 二 理 如图 半径为 2 的 与直线相切于点 射线从出发绕点逆时针方向OMNPPKPNP 旋转到 旋转过程中 交 于点 设为 弓 形 的面积为PMPKOQPOQ xPmQ 那么的图象大致是 Sf x f x 3 2012 金华模拟 若函数 则的最大值 1tan cosf xxx 0 2 x f x 最小值分别为 A 和 1 B 2 和 1 C 2 和 D 2 和223 用心 爱心 专心20 4 2012 华南师大附中模拟 已知函数 求 1 函数的周期 2 求函sin 2 3 yx 数在上的单调递减区间 0 解析 由可化为sin 2 3 yx sin 2 3 yx 1 周期 22 2 T 2 令 得222 232 kxkkZ 5 1212 kxkkZ 所以时 的减区间为xR sin 2 3 yx 5 1212 kkkZ 从而时 的减区间为 0 x sin 2 3 yx 7 0 1212 5 山西省 2012 年高考考前适应性训练文 函数在区间上的值域 6 2sin 3 xxf 2 0 为 A B C D 3 2 33 2 33 2 33 3 2 3 2 3 2 3 6 2012 黄冈市模拟及答题适应性试理 已知向量 a a sin cos 与 b b sin cos 互相垂直 且 为锐角 则函数的一条 2sin xxf对称轴是 A x B 2 x C 4 x D 8 7 x 答案 D 解析 由题意得 向量 a a sin cos 与 b b sin cos 互相垂直 所以 又 为锐角 所以 22 cossin0cos20 2 24 用心 爱心 专心21 所以的对称轴的方程为 sin 2 sin 2 4 f xxx 2 42 xkkZ 即 当时 故选 D 3 28 k xkZ 1k 7 8 x 8 华中师大一附中 2012 届高考适应性考试理 已知函数sin 0 yaxb a 的图象如图 所示 则函数log a yxb 的图象可能是 9 湖北黄冈 2012 高三五月模拟考试文 先将函数的图像向左平移xxxfcossin 个长度单位 再保持所有点的纵坐标不变横坐标压缩为原来的 得到函数的 4 2 1 xg 图像 则的一个增区间可能是 xg 用心 爱心 专心22 A B C D 0 2 0 2 2 4 解 它的递增区间为 故 真 xxg4cos 2 1 2 42 Zk kk 10 10 襄阳五中高三年级第一次适应性考试文襄阳五中高三年级第一次适应性考试文 把函数图象上各点的横坐标缩 6 sin xy 短到原来的倍 纵坐标不变 再将图象向右平移个单位 那么所得图象的一条 2 1 3 对称轴方程为 A B C D 2 x 4 x 8 x 4 x 11 201211 2012 洛阳示范高中联考高三理洛阳示范高中联考高三理 函数的图象向左平移 m sincos f xxx xR 个单位后 得到函数的图象 则的最小值为 mR yfx m 12 浙江省杭州学军中学 2012 届高三第二次月考理 若函数 sin xxf 2 的图象 部分 如图所示 则 xf的解析式是 1 2 3 3 xO y 用心 爱心 专心23 13 海南省 2012 洋浦中学高三第三次月考 函数y sin x cosx的最小值是 6 14 浙江省温州中学 2012 届高三 10 月月考理 已知函数 2 1 cos3sin cos 2 f xxxx 1 若 求的最大值以及取得最大值时相应的 x 的值 0 2 x f x 已知 4 cos 5 3 cos 5 0 2 求 12 f 的值 解析 2 1 cos3sin cos 2 f xxxx 1 cos231 sin2 222 x x sin 2 6 x 即0 2 x 7 2 666 x 1 sin 2 1 26 x 1 1 2 f x 此时 min 1f x 2 62 x 6 x sin2sin 12 f sin cos cos sin 4 cos 5 3 cos 5 0 2 用心 爱心 专心24 3 sin 5 4 sin 5 sin2sin sin cos cos sin 44337 555525 15 海南省 2012 洋浦中学高三第三次月考 在中 角所对的边分别为ABC A B C 且满足 a b csincoscAaC I 求角的大小 C II 求的最大值 并求取得最大值时角的大小 3sincos 4 AB A B 1 6 海南省 2012 洋浦中学高三第三次月考 已知函数f x 1 tan x sin2x sin x sin x m 1 当 0 时 求f x 在区间 上的取值范围 m 2 当 tan 2 时 f 求的值 m 解析 1 当m 0 时 f x sin2x sinxcosx sin2x cos2x sin 2x 3 分 用心 爱心 专心25 又由x 得 2x 0 所以 sin 2x 1 从而f x sin 2x 0 6 分 2 f x sin2x sinxcosx cos2x sin2x cos2x cos x m sin2x 1 m cos2x 8 分 由 tan 2 得 sin2 sincos sincos aa aa tan tan a a cos2 10 分 cossin sincos aa aa tan tan a a 所以f 1 m 得m 2 12 分 17 湖北省八校 2012 届高三第一次联考理 本小题满分 12 分 已知幂函数 2 22 21 0 n f xnnx 在上是增函数 sin 2 1 cos ab 2 sincos 2 3cos g xfxxx 1 当ab 时 求 g 的值 2 求 g x的最值以及 g x取最值时 x 的取值集合 三 提升自我 用心 爱心 专心26 1 海南省 2012 洋浦中学高三第三次月考 函数的单调递减区间是 6 2sin xy A B 2 3 2 6 Zkkk 2 6 5 2 6 Zkkk C D 3 6 Zkkk 6 5 6 Zkkk 2 浙江省2012 届理科数学高考领先卷 名校精粹重组试卷理 已知函数 xf 下面有关于该函数的四个命题 221 sin 22 xxx x 函数是周期函数 xf 函数既有最大值又有最小值 xf 函数的定义域是R R 且其图象有对称轴 xf 对于任意 其中是函数的导函数 1 0 x 0fx fx xf 其中正确的是 用心 爱心 专心27 3 湖北八校文 2012 届高三第二次联考 若函数 f x sin x 3cos x 0 xR 满足 f 2 f 0 且 的最小值为 2 则函数 f x 的单调增区间为 4 北京市东城区 2011 2012 学年度第二学期高三综合练习 二 理 本小题共 13 分 已知函数 sin f xAx 其中 Rx 0A 0 22 的部 分图象如图所示 求函数 f x的解析式 已知在函数 f x的图象上的三点 M N P的横坐标分别为1 1 5 求 sinMNP 的值 用心 爱心 专心28 5 北京市朝阳区 2012 届高三年级第二次综合练习理 本小题满分 13 分 已知函数的图象过点 2 3sincoscosf xxxxm Rm 0 12 M 求的值 m 在 中 角 的对边分别是 若ABCABCabc 求的取值范围 cos cos 2 coscBbCaB f A 6 东城区普通高中示范校高三综合练习 二 文 本小题满分 13 分 已知函数 22 sincos 2 3cos f xxxx x R 求函数 xf的最小正周期及其单调递减区间 在锐角 ABC中 ab c分别为角 AB C所对的边 又a 2 31 Af b c 3 5 求 ABC的周长 用心 爱心 专心29 解析 xxxxf 22 cos32 cos sin 2cos1 3cossin2cossin 22 xxxxx 2cos32 sin31xx 3 2sin 231 x 所以函数 xf的周期为 由 2 3 2 3 2 2 2 kxk k Z 解得 12 7 12 kxk 故函数 xf的单调减区间是 7 1212 kkk Z 在锐角 ABC 中 a b c分别为角 A B C所对的边 31 Af 3 2sin 231 A 则 0 3 2sin A 4 0 2 2333 AA 因为所以 所以 3 2A 则 3 A 又 a 2 由余弦定理 2222 2cos4 22cos abcbcAbcbcbcA 得 因为 5 3 bc 所以3bc 则 ABC 的周长等于5 7 浙江省2012 届重点中学协作体高三第二学期4 月联考试题理 本小题满分 14 分 已知函数 将函数向左平移个单位 22 31 sin2 cossin 1 22 f xxxx Rx f x 6 后得函数 设三角形三个角 的对边分别为 g xABC ABCabc 若 求 的值 7c 0f C sin3sinBA ab 若且 求的取值范0 Bg cos cos mAB 1 sincostan nAAB m n 围 用心 爱心 专心30 8 浙江省2012 届浙南 浙北部分学校高三第二学期3 月联考试题理 本小题满分 14 分 已知 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 若A B C成等差数列 b 1 记角 A x a c f x 当x 6 3 时 求f x 的取值范围 若 5 6 6 xf 求 sin2x的值 用心 爱心 专心31 9 浙江省杭州学军中学 2012 届高三第二次月考理 本小题满分 14 分 把函数 0 0 cos 2 xxf的图像上每一点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵 坐标不变 然后再向左平移 6 个单位后得到一个最小正周期为 2 的奇函数 xg 1 求 和的值 2 求函数 2 xgxfxh 的单调增区间 用心 爱心 专心32 10 江西 江西 20122012 高三联合考试文 高三联合考试文 本小题 12 分 已知函数 若的最大值为 1 sin 2 s