高一数学：6.5《最简三角方程》教案（4）（沪教版上）

6 56 5 最简三角方程 最简三角方程 2 2 一 一 教学内容分析教学内容分析 在掌握最简三角方程的解集基础上 学会解简单的三角方程 利用同角三角比或三角 比的有关公式将同时含有几个三角函数的方程化为只含有一个角的一个三角函数的方程 然后采用基本的转化方法 将原方程化成简单三角方程求解 有关三角方程的实数解问题 不仅要考虑以三角函数为未知数的一元二次方程的0 而且要关注此三角函数本身的 条件限制 二 教学目标设计二 教学目标设计 1 会解简单的三角方程 形如sincosAxBxC 2 sinsinAxBxC 2 sincosAxBxC 等 说明说明 把简单的三角方程转化为最简单的三角方程 一是要掌握基本方法 二是要合理选把简单的三角方程转化为最简单的三角方程 一是要掌握基本方法 二是要合理选 用公式和变换方法 其基本的转化方法有 用公式和变换方法 其基本的转化方法有 1 1 化为同角 同名的三角函数 化为同角 同名的三角函数 2 2 因式 因式 分解法 分解法 3 3 化为 化为sin x cosx的齐次式 的齐次式 4 4 引入辅助角 引入辅助角 利用函数的图像解与三角函数有关的方程问题 三 教学重点及难点三 教学重点及难点 重点 简单的三角方程转化为最简单的三角方程基本方法与合理选用公式和变换方法 难点 简单的三角方程转化为最简单的三角方程的过程中合理选用公式和变换方法 及含 有字母三角方程的实数解讨论 四 教学用具准备四 教学用具准备 多媒体设备 五 教学流程设计五 教学流程设计 合理选用变换方法将简单的三角方程化为最简的三角方程 因式分解法 化为 sin x 的齐次式 cosx 引入辅助角 六 教学过程设计六 教学过程设计 1 1 概念辨析 概念辨析 已知三角函数值求角 实际上是求解最简三角方程 要熟练掌握最简三角方程的解集 并在理解的基础上熟记下表 方程方程的解集 1a 1a 2arcsin x xka kZ sin xa 1a 1 arcsin k x xka kZ 1a 1a 2arccos x xka kZ cosxa 1a 2arccos x xka kZ tan xa arctan x xka kZ 把简单的三角方程转化为最简单的三角方程 一是要掌握基本方法 二是要合理选用 公式和变换方法 其基本的转化方法有 1 可化为同角 同名的三角函数的方程 通常用解代数方程的方法 转化为最简的三角 方程 2 一边可以分解 而另一边为零的方程 通常用因式分解法 转化为最简的三角方程 3 关于sin x cosx的齐次方程 通常化为关于tan x的方程 再用解代数方程的方 法 转化为关于tan x最简的三角方程 巩固 反馈 总结 反思 作业 应用举例 解简单的三角方程 及含有字母三角方 程的实数解讨论 4 形如sincosaxbxc 的方程 通常是引入辅助角 化原方程为 22 sin ab c x 当 22 1 ab c 时 方程有解 2 2 例题分析 例题分析 例 1 解方程 2 2sin3cos0 xx 解 原方程可化为 2 2 1 cos 3cos0 xx 即 2 2cos3cos20 xx 解这个关于cosx的二次方程 得 cos2x 1 cos 2 x 由cos2x 得解集为 由 1 cos 2 x 得解集为 2 2 3 x xkkZ 所以原方程的解集为 2 2 3 x xkkZ 说明说明 方程中的方程中的 2 sin x可化为可化为 2 1 cos x 这样原方程便可看成以 这样原方程便可看成以cosx为未知数的一元二为未知数的一元二 次方程 当次方程 当0 时 可用因式分解将原方程转化成两个最简方程 从而求得它们的解 时 可用因式分解将原方程转化成两个最简方程 从而求得它们的解 例 2 解方程 22 2 3 sinsin coscos0 3 xxxx 解一 因为cos0 x 使cos0 x 的x的值不可能满足原方程 所以在方程的两边同除 以 2 cos x 得 2 2 3 tantan10 3 xx 解关于tan x的二次方程 得 tan3x 3 tan 3 x 由tan3x 得解集为 3 x xkkZ 由 3 tan 3 x 得解集为 6 x xkkZ 所以原方程的解集为 36 x xkxkkZ 或 说明说明 若方程的每一项关于若方程的每一项关于sincosxx及的次数都是相同的 本题都是二次 的次数都是相同的 本题都是二次 那么这样的那么这样的 方程叫做关于方程叫做关于sincosxx及的齐次方程 它的解法一般是的齐次方程 它的解法一般是 先化为只含有未知数的正切函数先化为只含有未知数的正切函数 的三角方程 然后求解 的三角方程 然后求解 解二 降次得 1 cos231 cos2 sin20 232 xx x 化简得 3 sin2cos20 3 xx 因为cos20 x 使cos20 x 的x的值不可能满足原方程 所以在方程的两边同 除以cos2x 得tan23x 由tan23x 得 2 3 xkkZ 即 26 k xkZ 所以原方程的解集为 26 k x xkZ 说明说明 由于转化方法的不同 所得解集的表达形式不同 但当由于转化方法的不同 所得解集的表达形式不同 但当k是偶数是偶数2n时 时 26 k 变变 成成n 6 当 当k是奇数是奇数2n 1时 时 26 k 变成变成n 3 所以实质上 所以实质上 36 x xkxkkZ 或与与 26 k x xkZ 是相等的集合 是相等的集合 解三 降次得 1 cos231 cos2 sin20 232 xx x 化简得 3 sin2cos20 3 xx 即 sin 2 0 3 x 得 2 3 xkkZ 即 26 k xkZ 所以原方程的解集为 26 k x xkZ 说明说明 一般说来 对于形如一般说来 对于形如sincosaxbxc 的三角方程 可先在方程的两边都除以的三角方程 可先在方程的两边都除以 22 ab 然后引入辅助角 原方程变形为 然后引入辅助角 原方程变形为 22 sin ab c x 当 当 22 1 ab c 时 时 方程有解 方程有解 例 3 若方程cos22sin10 xxm 存在实数解 求m的取值范围 解一 由原方程 得 2 2sin2sin0 xxm 即 2 sinsin0 2 m xx 解这个以sin x为未知数的一元二次方程 因为1sin1x 要使方程有解 只需 1 4 0 2 1 10 2 m m 解得 1 4 2 m 所以m的取值范围为 1 4 2 说明说明 有关三角方程的实数解问题 不仅要考虑以有关三角方程的实数解问题 不仅要考虑以sin x为为 未知数的一元二次方程的未知数的一元二次方程的0 而且必须考虑 而且必须考虑sin x的值在的值在 1 1 内内 解二 由原方程得 2 2sin2sin0 xxm 得 22 11 2sin2sin2 sin 22 mxxx 因为1sin1x 所以 1 4 2 m 所以m的取值范围为 1 4 2 说明说明 当方程当方程sin xt t 为常数 有解时 必须满足有解时 必须满足1t 则原题就转化为求则原题就转化为求 2 11 2 1 1 22 mtt 的最大值 最小值问题 的最大值 最小值问题 3 3 问题拓展 问题拓展 例 4 求方程sin2cos xx 的解集 解一 由原方程得2sincoscosxxx 得 cos0 x 1 sin 2 x 由cos0 x 得解集为 2 x xkkZ 由 1 sin 2 x 得解集为 1 6 K x xkkZ 所以原方程的解集为 1 26 K x xkxkkZ 或 解二 由原方程得sin2cosxx 即 3 sin2sin 2 xx 得 3 22 2 xkx 或 3 22 2 xkx 即 3 2 2 xk 或 2 36 k x kZ 所以原方程的解集为 32 2 236 k x xkxkZ 或 解三 由原方程得sin2cosxx 即cos 2 cos 2 xx 得22 2 xkx 或22 2 xkx 即2 2 xk 或 2 36 k x kZ 所以原方程的解集为 2 2 236 k x xkxkZ 或 说明说明 由于转化方法的不同 所得解集的表达形式不同 通过验证这些解集是相等的集由于转化方法的不同 所得解集的表达形式不同 通过验证这些解集是相等的集 合 对于两个相等的同名三角函数所组成的三角方程 可直接利用以下关系得到方程的合 对于两个相等的同名三角函数所组成的三角方程 可直接利用以下关系得到方程的 解 解 1 1 sinsin 则 则2k 或或2 kkZ 2 2 coscos 则 则2k 或或2 kkZ 3 3 tantan 则 则 kkZ 三 巩固练习三 巩固练习 1 解下列方程的解集 1 2 2sin3cos30 xx 2 2 8sin5sin21xx 2 关于 x 的方程0cossin 2 kxx有实数解 求实数 k 的取值范围 3 求方程 1