【创新设计】2011高中数学二轮复习 考点突破 第一部分 专题七 第一讲 函数与方程思想 理

专题七专题七 数学思想方法第一讲数学思想方法第一讲 函数与方程思想函数与方程思想 一 选择题 1 已知向量a a 3 2 b b 6 1 而 a a b b a a b b 则实数 等于 A 1 或 2 B 2 或 C 2 D 0 1 2 解析 a a b b 3 6 2 1 a a b b 3 6 2 若 a a b b a a b b 则 3 6 3 6 2 1 2 0 解得 2 或 1 2 答案 B 2 设f x 是定义在 R R 上的奇函数 且当x 0 时 f x x2 若对任意的x t t 2 不 等式f x t 2f x 恒成立 则实数t的取值范围是 A B 2 2 C 0 2 D 1 223 答案 A 3 f x 是定义在 0 上的非负可导函数 且满足xf x f x 0 对任意正数a b 若a b 则必有 A af a f b B bf b f a C af b bf a D bf a af b 解析 xf x f x 0 即 xf x 0 xf x 是减函数 又 aa 0 f x 0 bf a af a 且bf b af b bf a af a bf b af b bf a af b 答案 C 4 f x 是定义在 R R 上的以 3 为周期的奇函数 f 2 0 则函数y f x 在区间 1 4 内的 零点个数为 A 2 B 3 C 4 D 5 解析 f x 是定义在 R R 上的奇函数 f 0 0 由f 2 0 得f 2 0 又 f x 的 周期为 3 f 1 0 f 3 0 又 f f f f 3 2 3 2 3 3 2 3 2 f 0 故选 D 3 2 答案 D 5 已知对于任意的a 1 1 函数f x x2 a 4 x 4 2a的值总大于 0 则x的 取值范围是 A 1 x 3 B x3 C 1 x 2 D x3 解析 将f x x2 a 4 x 4 2a看作是a的一次函数 记为g a x 2 a x2 4x 4 当a 1 1 时恒有g a 0 只需满足条件 Error 即Error 解之得x3 答案 B 二 填空题 6 已知不等式 x y 9 对任意正实数x y恒成立 则正实数a的最小值为 1 x a y 解析 只需求 x y 的最小值大于等于 9 即可 又 x y 1 a 1 x a y 1 x a y x y y x a a 1 2 a 2 1 等号成立仅当a 即可 所以 2 2 a x y y xa x y y xaa 1 9 即 2 2 8 0 求得 2 或 4 舍 aaaa 所以a 4 即a的最小值为 4 答案 4 7 若关于x的方程 2 2 x 2 2 2 a有实根 则实数a的取值范围是 解析 令f x 2 2 x 2 2 要使f x 2 a有实根 只需 2 a是f x 的值域内的 值 f x 的值域为 1 4 1 a 2 4 1 a 2 答案 1 2 8 已知函数f x Error a R R 若方程f2 x f x 0 共有 7 个实数根 则a 解析 设y t2 t t f x 作出两函数的图象如图所示 由t2 t 0 知t 0 或t 1 当t 0 时 方程有两个实根 当t 1 时 要使此时方程有 5 个不同实根 则a 1 答案 1 9 若数列 an 的通项公式为an n 3 n n 其中n N N 且该数列中最大 8 3 1 8 1 4 1 2 的项为am 则m 解析 令x n 则 01 短轴的一个端点 Q为椭圆上的一个动点 求 PQ 的最 x2 a2 大值 解 依题意可设P 0 1 Q x y 则 PQ x2 y 1 2 又因为Q在椭圆上 所以x2 a2 1 y2 PQ 2 a2 1 y2 y2 2y 1 1 a2 y2 2y 1 a2 1 a2 2 1 a2 y 1 1 a2 1 1 a2 因为 y 1 a 1 若a 则 1 2 1 1 a2 当y 时 PQ 取最大值 1 1 a2 a2a2 1 a2 1 若 1 a 则当y 1 时 PQ 取最大值 2 2 综上 当a 时 PQ 最大值为 当 1 a 时 PQ 最大值为 2 2 a2a2 1 a2 12 11 已知f x 是定义在正整数集 N N 上的函数 当x为奇数时 f x 1 f x 1 当x为 偶数时 f x 1 f x 3 且满足f 1 f 2 5 1 求证 f 2n 1 n N N 是等差数列 2 求f x 的解析式 1 证明 由题意得 Error 两式相加得f 2n 1 f 2n 1 4 因此f 1 f 3 f 5 f 2n 1 成等差数列 即 f 2n 1 n N N 是等差数列 2 解 由题意得Error 解得Error 所以f 2n 1 f 1 n 1 4 2 2n 1 因此当x为奇数时 f x 2x 又因为当x为奇数时 f x 1 f x 1 所以f x 1 2x 1 2 x 1 1 故当x为偶数时 f x 2x 1 综上 f x Error 12 某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额 拟在 2010 年度进行一系列的促销活 动 经过市场调查和测算 化妆品的年销量x万件与年促销费用t万元之间满足 3 x与t 1 成反比例 如果不搞促销活动 化妆品的年销量只能是 1 万件 已知 2010 年生产化妆品的固定投资为 3 万元 每生产 1 万件化妆品需再投资 32万元 当年每件化妆品的零售价定为 年平均成本的 150 与 年均每件所占促销费的 一半 之和 则当年的产销量相等 1 将 2010 年的年利润y万元表示为促销费t万元的函数 2 该企业 2010 年的促销费投入多少万元时 企业的年利润最大 注 利润 收入 生产成本 促销费 解 1 由题意 得 3 x k t 1 将t 0 x 1 代入 得k 2 x 3 2 t 1 由题意 知每件零售价为 3 2 32 3 x 1 2 t x 年利润y x 3 32x t 3 2 32 3 x 1 2 t x 16x t 16 t 1 2 3 2 3 2 t