不等式高级水平必备

不等式高不等式高级级水平必水平必备备 tobeenough 第第 1 页页 不等式高不等式高级级水平必水平必备备 目目录录 Ch1 伯努利不等式伯努利不等式 Ch2 均均值值不等式不等式 Ch3 幂幂均不等式均不等式 Ch4 柯西不等式柯西不等式 Ch5 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 Ch6 排序不等式排序不等式 Ch7 琴生不等式琴生不等式 Ch8 波波波波维维奇奇亚亚不等式不等式 Ch9 加加权权不等式不等式 Ch10 赫赫尔尔德不等式德不等式 Ch11 闵闵可夫斯基不等式可夫斯基不等式 Ch12 牛牛顿顿不等式不等式 Ch13 麦克麦克劳劳林不等式林不等式 Ch14 定定义义多多项项式式 Ch15 舒舒尔尔不等式不等式 Ch16 定定义义序列序列 Ch17 缪尔缪尔海德不等式海德不等式 Ch18 卡拉卡拉玛玛塔不等式塔不等式 Ch19 单调单调函数不等式函数不等式 Ch20 个个对对称称变变量量法法3pqr Ch21 个个对对称称变变量量法法3uvw Ch22 法法ABC Ch23 法法SOS Ch24 法法SMV Ch25 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 Ch26 三角不等式三角不等式 Ch27 习题习题与与习题习题解析解析 不等式高不等式高级级水平必水平必备备 tobeenough 第第 2 页页 Ch1 伯努利不等式伯努利不等式 1 1 若若实实数数 各 各项项符号相同 且符号相同 且 则则 i xi1 2n i x1 12n12n 1x1x1x1xxx 1 式式为为伯努利不等式伯努利不等式 1 当当时时 式式变为变为 12n xxxx 1 n 1x1nx 2 Ch2 均均值值不等式不等式 2 1 若若为为正正实实数 数 记记 12n a aa 为为平方平均数平方平均数 简简称称平方均平方均值值 222 12n n aaa Q n 为为算算术术平均数平均数 简简称称算算术术均均值值 12n n aaa A n 为为几何平均数几何平均数 简简称称几何均几何均值值 n n12n Ga aa 为为调调和平均数和平均数 简简称称调调和均和均值值 n 12n n H 111 aaa 则则 nnnn QAGH 3 时时 等号成立 等号成立 注 注 当且当且仅仅当当 iff 12n aaa iffifand only if 式称式称为为均均值值不等式不等式 3 Ch3 幂幂均不等式均不等式 3 1 设设为为正正实实数序列 数序列 实实数数 则记则记 12n aa aa r0 1 rrr r 12n r aaa M a n 4 式的式的称称为为幂幂平均函数平均函数 4 r M a 3 2 若若为为正正实实数序列 且数序列 且实实数数 则则 12n aa aa r0 rs M aM a 5 当当时时 式式对对任何任何 都成立 即都成立 即关于关于 是是单调递单调递增函数增函数 rs 5 r r M a r 式称式称为为幂幂平均不等式平均不等式 简简称称幂幂均不等式均不等式 5 3 3 设设为为非非负实负实数序列 且数序列 且 若 若为为正正 12n mm mm 12n mmm1 12n aa aa 不等式高不等式高级级水平必水平必备备 tobeenough 第第 3 页页 实实数序列 且数序列 且实实数数 则则 r0 1 mrrr r r1122nn Mam am am a 6 式称式称为为加加权幂权幂平均函数平均函数 6 3 4 若若为为正正实实数序列 且数序列 且实实数数 对对则则 12n aa aa r0 m r Ma mm rs MaMa 即 即 11 rrrsss sr 1122nn1122nn m am am am am am a 7 当当时时 式式对对任何任何 都成立 即都成立 即关于关于 是是单调递单调递增函数增函数 rs 7 r m r Ma r 式称式称为为加加权幂权幂平均不等式平均不等式 简简称称加加权幂权幂均不等式均不等式 7 Ch4 柯西不等式柯西不等式 4 1 若若和和均均为实为实数 数 则则 12n a aa 12n b bb 2222222 12n12n1122nn aaabbba ba ba b 8 时时 等号成立 等号成立 注 注 当且当且仅仅当当 iff n12 12n aaa bbb iffifand only if 式式为为柯西不等式柯西不等式 8 4 2 柯西不等式柯西不等式还还可以表示可以表示为为 222222 212n12n1122nn aaabbba ba ba b nnn 9 简简称 称 平方均平方均值值两乘两乘积积 大于 大于积积均均值值平方平方 我我们们将将简简称称为为积积均均值值 记记 1122nn a ba ba b n 1122nn n a ba ba b D n 则则 即 即 224 nnn Q aQ bD ab nnn Q a Q bD ab 10 4 3 推推论论 1 若 若为实为实数 数 则则 a b c x y z x y z0 2222 n12n12 12n12n aaaaaa bbbbbb 11 时时 等号成立 等号成立 iff n12 12n aaa bbb 式是式是柯西不等式柯西不等式的推的推论论 称 称权权方和不等式方和不等式 11 4 4 推推论论 2 若 若和和均均为实为实数 数 则则 12n a aa 12n b bb 22222222 1122nn12n12n abababaaabbb 12 时时 等号成立 等号成立 iff n12 12n aaa bbb 不等式高不等式高级级水平必水平必备备 tobeenough 第第 4 页页 4 5 推推论论 3 若 若为为正正实实数 数 则则 a b c x y z xyz bccaab3 abbcca yzzxxy 13 Ch5 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 5 1 若若 且均 且均为实为实数数 则则 12n aaa 12n bbb 12n12n1122nn aaabbbn a ba ba b 14 或或时时 等号成立 等号成立 iff 12n aaa 12n bbb 式式为为切比雪夫不等式切比雪夫不等式 12 由于有由于有 条件 即序列同条件 即序列同调调 12n aaa 12n bbb 所以使用所以使用时时 常采用 常采用 WLOG 12n aaa 注 注 不失一般性不失一般性 WLOGWithoutLoss OfGenerality 5 2 切比雪夫不等式切比雪夫不等式常常表示常常表示为为 12n12n1122nn aaabbba ba ba b nnn 15 简简称 称 切比雪夫同切比雪夫同调调数 均数 均值积值积小小积积均均值值 即 即 对对切比雪夫不等式切比雪夫不等式采用同采用同单调单调性的两个序列表示性的两个序列表示时时 两个序列数的均 两个序列数的均值值之之积积不大于不大于 两个序列数各两个序列数各积积之均之均值值 则则 2 nnn A a A bD ab 即 即 nnn A a A bD ab 16 Ch6 排序不等式排序不等式 6 1 若若 为实为实数 数 对对于于的任何的任何轮换轮换 12n aaa 12n bbb 12n a aa 12n xxx 都有下列不等式 都有下列不等式 1122nn1122nnn1n 121n a ba ba bx bx bx ba baba b 17 式称式称排序不等式排序不等式 也称 也称重排不等式重排不等式 17 其中 其中 称正序和 称正序和 称反序和 称反序和 1122nn a ba ba b n1n 121n a baba b 称乱序和称乱序和 故故式可式可记为记为 1122nn x bx bx b 17 正序和正序和乱序和乱序和反序和反序和 18 6 2 推推论论 若 若为实为实数 数 设设为为的一个排序 的一个排序 则则 12n a aa 12n xxx 12n a aa 222 12n1122nn aaaa xa xa x 19 Ch7 琴生不等式琴生不等式 不等式高不等式高级级水平必水平必备备 tobeenough 第第 5 页页 7 1 定定义义凸函数 凸函数 对对一切一切 若函数 若函数是是向下凸函数向下凸函数 则则 x ya b 0 1 fa bR fx1yf x1f y 20 式是向下凸函数的定式是向下凸函数的定义义式式 20 注 注 表示区表示区间间和函数和函数在在区区间间都是都是实实数数 fa bR a b f x a b 7 2 若若对对任意任意 存在二次 存在二次导导数数 则则在在区区间为间为向下向下fa bR xa b fx0 f x a b 凸函数 凸函数 时时 若 若 则则在在区区间为严间为严格格向下凸函数向下凸函数 iff xa b fx0 f x a b 7 3 若若在在区区间为间为向下凸函数向下凸函数 则则函数函数在在在在区区间对间对 12n fff a b 1122nn c fc fc f a b 任何任何也是也是向下凸函数向下凸函数 12n c cc0 7 4 若若是一个在是一个在区区间间的向下凸函数 的向下凸函数 设设 为实为实数 数 fa bR a b nN 12n 0 1 且且 则对则对任何任何 有 有 12n 1 12n xxxa b 1122nn1122nn fxxxf xf xf x 21 式就是加式就是加权权的的琴生不等式琴生不等式 21 简简称 称 对对于向下凸函数 均于向下凸函数 均值值的函数的函数值值不大于函数的均不大于函数的均值值 Ch8 波波波波维维奇奇亚亚不等式不等式 8 1 若若是一个在是一个在区区间间的向下凸函数 的向下凸函数 则对则对一切一切 有 有 fa bR a b x y za b xyzf xf yf z2xyyzzx ffff 333222 22 式就是式就是波波波波维维奇奇亚亚不等式不等式 22 8 2 波波波波维维奇奇亚亚不等式不等式可以写成 可以写成 xyzf xf yf zxyyzzx ffff 33222 23 23 简简称 称 对对于向下凸函数的三点情况 三点均于向下凸函数的三点情况 三点均值值的函数与函数的均的函数与函数的均值值之平均之平均值值 不小于两 不小于两 点均点均值值的函数的函数值值之平均之平均值值 8 3 若若是一个在是一个在区区间间的向下凸函数 的向下凸函数 则则 fa bR a b 12n a aaa b 12n12n f af af an n2 f an1f bf bf b 24 其中 其中 对对所有的所有的 12n aaa a n ij ij 1 ba n1 i 式是普遍的式是普遍的波波波波维维奇奇亚亚不等式不等式 24 当当 时时 1 ax 2 ay 3 az n3 xyz a 3 1 yz b 2 2 zx b 2 3 xy b 2 不等式高不等式高级级水平必水平必备备 tobeenough 第第 6 页页 代入代入式得 式得 23 xyzyzzxxy f xf yf z3 f2 fff 3222 即 即 xyzf xf yf z2xyyzzx ffff 333222 25 式正是式正是式式 25 22 Ch9 加加权权不等式不等式 9 1 若若 且 且 则则 i a0 i 0 1 i1 2n 12n 1 n12 12n1122nn aaaaaa 26 式就是加式就是加权权的均的均值值不等式 不等式 简简称称加加权权不等式不等式 26 式形式直接理解式形式直接理解为为 几何均 几何均值值不大于算不大于算术术均均值值 26 Ch10 赫赫尔尔德不等式德不等式 10 1 若若实实数数 实实数数且且 则则 a b0 p q1 11 1 pq pq ab ab pq 27 时时 等号成立 等号成立 iff pq ab 式称式称为为杨杨氏不等式氏不等式 27 10 2 若若和和为为正正实实数 数 且且 则则 12n a aa 12n b bb p q1 11 1 pq 11 pppqqqpq 1122nn12n12n a ba ba baaabbb 28 式称式称为为赫赫尔尔德不等式德不等式 28 时时 等号成立 等号成立 iff ppp n12 qqq 12n aaa bbb 10 3 赫赫尔尔德不等式德不等式还还可以写成 可以写成 11 pppqqq pq1122nn12n12n a ba ba baaabbb nnn 29 即 即 即 即 2 npq D abMa Mb pqn Ma MbD ab 30 简简称 称 幂幂均均值值的几何均的几何均值值不小于不小于积积均均值值 注 赫注 赫尔尔德与切比雪夫的不同点 赫德与切比雪夫的不同点 赫尔尔德要求是德要求是 切比雪夫要求是同切比雪夫要求是同调调 赫 赫尔尔 11 1 pq 德的德的积积均均值值小 切比雪夫的小 切比雪夫的积积均均值值大大 不等式高不等式高级级水平必水平必备备 tobeenough 第第 7 页页 10 4 若若 和和为为三个正三个正实实数序列 数序列 且且 则则 12n a aa 12n b bb 12n m mm p q1 11 1 pq 11 nnn pq pq iiiiiii i 1i 1i 1 a b ma mb m 31 式称式称为为加加权权赫赫尔尔德不等式德不等式 31 时时 等号成立 等号成立 iff ppp n12 qqq 12n aaa bbb 10 5 若若 为为正正实实数且数且 则则 ij ai1 2m j1 2n 12n 12n 1 jj mmnn ijij j 1j 1i 1i 1 aa 32 式称式称为为普遍的普遍的赫赫尔尔德不等式德不等式 32 10 6 推推论论 若 若 则则 123 a aaN 123 b b bN 123 c ccN 3333333333 123123123111222333 aaabbbccca b ca b ca b c 33 简简称 称 立方和的乘立方和的乘积积不小于乘不小于乘积积和的立方和的立方 Ch11 闵闵可夫斯基不等式可夫斯基不等式 11 1 若若 为为正正实实数 且数 且 则则 12n a aa 12n b bb p1 111 nnn pppppp iiii i 1i 1i 1 abab 34 时时 等号成立 等号成立 iff n12 12n aaa bbb 式称式称为为第一第一闵闵可夫斯基不等式可夫斯基不等式 34 11 2 若若 为为正正实实数 且数 且 则则 12n a aa 12n b bb p1 1 1 nnn p ppppp iiii i 1i 1i 1 abab 35 时时 等号成立 等号成立 iff n12 12n aaa bbb 式称式称为为第二第二闵闵可夫斯基不等式可夫斯基不等式 35 11 3 若若 为为三个正三个正实实数序列 且数序列 且 则则 12n a aa 12n b bb 12n m mm p1 111 nnn pppppp iiiiiii i 1i 1i 1 abma mb m 36 不等式高不等式高级级水平必水平必备备 tobeenough 第第 8 页页 时时 等号成立 等号成立 iff n12 12n aaa bbb 式称式称为为第三第三闵闵可夫斯基不等式可夫斯基不等式 36 Ch12 牛牛顿顿不等式不等式 12 1 若若为为任意任意实实数 考数 考虑虑多多项项式 式 12n a aa nn 1 12n01n 1n P xxaxaxac xc xcxc 37 的系数的系数作作为为的函数可表达的函数可表达为为 01n c cc 12n a aa 0 c1 112n caaa 21213n 1nij ca aa aaaa a ijn 3ijk ca a a ijkn n12n ca aa 对对每个每个 我 我们们定定义义 k1 2n k kkk n cknk pc Cn 38 则则式式类类似于二似于二项项式定理 系数式定理 系数为为 37 k knk cC p 12 2 若若为为正正实实数 数 则对则对每个每个有 有 12n a aa k1 2n1 2 k 1k 1k ppp 39 时时 等号成立 等号成立 iff 12k aaa 式称式称为为牛牛顿顿不等式不等式 39 Ch13 麦克麦克劳劳林不等式林不等式 13 1 若若为为正正实实数 按数 按定定义义 则则 12n a aa 38 111 kn2 12kn pppp 40 时时 等号成立 等号成立 iff 12k aaa 称称麦克麦克劳劳林不等式林不等式 40 Ch14 定定义义多多项项式式 14 1 若若为为正正实实数序列 并数序列 并设设为为任意任意实实数数 12n xxx 12n 记记 n12 12n12n F xxxxxx 为为所有可能的所有可能的积积之和 遍及之和 遍及的所有的所有轮换轮换 12n T 12n F xxx 12n 14 2 举举例例说说明明 不等式高不等式高级级水平必水平必备备 tobeenough 第第 9 页页 表示共有 表示共有个参数的所有个参数的所有积积之和 共有之和 共有项项 第第 个参数的指数是个参数的指数是 第 第T 1 0 0 336 11 和第和第个参数的指数是个参数的指数是 230 故 故 100100100 T 1 0 031x y zy x zz y x2 xyz 表示共有 表示共有个参数的所有个参数的所有积积之和 共有之和 共有项项 第第 个和第个和第个参数的指数个参数的指数T 1 1 222 12 是是 1 故 故 11 T 1 121x y2xy 表示共有 表示共有个参数的所有个参数的所有积积之和 共有之和 共有项项 第第 个参数的指数是个参数的指数是 第 第T 1 2 222 11 个参数的指数是个参数的指数是 22 故 故 121222 T 1 221x yy xxyx y 表示共有 表示共有个参数的所有个参数的所有积积之和 共有之和 共有项项 第第 个参数的指数是个参数的指数是 第 第T 1 2 1 336 11 个参数的指数是个参数的指数是 第 第个参数的指数是个参数的指数是 2231 故 故 222 T 1 2 12 xy zx yzxyz 即 即 T 1 2 1T 2 1 1 表示共有 表示共有个参数的所有个参数的所有积积之和 共有之和 共有项项 第第 个参数的指数是个参数的指数是 第 第T 2 1 0 336 12 个参数的指数是个参数的指数是 第 第个参数的指数是个参数的指数是 2130 故 故 222222 T 2 1 0 x yx zy xy zz xz y 表示共有 表示共有个参数的所有个参数的所有积积之和 共有之和 共有项项 第第 个参数的指数是个参数的指数是 第 第T 3 0 0 336 13 个和第个和第个参数的指数是个参数的指数是 230 故 故 333 T 3 0 02 xyz 表示共有 表示共有个参数的所有个参数的所有积积之和 共有之和 共有项项 第第 个参数的指数是个参数的指数是 第 第 T a b c336 1a 个参数的指数是个参数的指数是 第 第个参数的指数是个参数的指数是 2b3c 故 故 abcacbbcabaccabcba T a b cx y zx y zx y zx y zx y zx y z 由于由于表达式比表达式比较较多 多 T a b cT b c aT c a bT c b aT b a c 所以我所以我们规们规定 定 T a b cabc Ch15 舒舒尔尔不等式不等式 15 1 若若 且 且 则则 R 0 T20 0T2T0 41 式称式称为为舒舒尔尔不等式不等式 41 不等式高不等式高级级水平必水平必备备 tobeenough 第第 10 页页 15 2 解析解析式式 41 222 T20 02 xyz T2 x y zx y zx y z T0 xyx yyzy zx zxz 将上式代入将上式代入式得 式得 41 222 xyzx y zx y zx y z xyx yyzy zx zxz 即 即 222 yx y zzx yxzx y z yx yyzxyxz0zx z 即 即 22 xxy zx yx zyyx zx yy z 2 zzx yy zx z0 即 即 xxyxzyyzyxzzxzy0 42 式与式与式等价 称式等价 称为为舒舒尔尔不等式不等式 42 41 15 3 若若实实数数 设设 则则 x y z0 tR ttt xxyxzyyzyxzzx zy0 43 或或及及轮换轮换 等号成立 等号成立 iffxyz xy z0 按照按照式写法 即 式写法 即 则则 41t 1 T t2 0 0T t 1 12T t1 1 0 44 式是我式是我们们最常最常见见的的舒舒尔尔不等式不等式形式形式 43 15 4 推推论论 设实设实数数 实实数数且且或或 则则 x y z0 a b c0 abc abc a xyxzb yzyxc zxzy0 45 式中 式中 就得到 就得到式式 43 t xa t yb t zc 45 15 5 推推论论 设实设实数数 则则 x y z0 333 333 222 3xyzxyz2 xyyzzx 46 15 6 推推论论 若 若 则对则对于一切于一切 有 有 k0 3 a b cR 2 222 k 3kk abcabc2 abbcca 47 Ch16 定定义义序列序列 不等式高不等式高级级水平必水平必备备 tobeenough 第第 11 页页 16 1 设设存在两个序列存在两个序列和和 当 当满满足下列条件 足下列条件 n i i 112n n i i 112n 12n12n 且且 12n 12n 12s12s 对对一切一切 式都成立式都成立 s1 n 则则 就是就是的的优优化化值值 记记作 作 n i i 1 n i i 1 ii 注 注 这这里的序列只有定性的比里的序列只有定性的比较较 没有定量的比 没有定量的比较较 Ch17 缪尔缪尔海德不等式海德不等式 17 1 若若为为非非负实负实数序列 数序列 设设和和为为正正实实数序列 且数序列 且 则则 12n xxx i i ii ii TT 48 或或时时 等号成立 等号成立 iff ii 12n xxx 式就式就缪尔缪尔海德不等式海德不等式 48 17 2 解析解析式式 48 若若实实数数 实实数数 且 且满满足足 123 aaa0 123 bbb0 11 ab 1212 aabb 设设 则则 满满足序列足序列条件 条件 123123 aaabbb x y z0 123123 b bbaaa 则则 333333121221211221 bbbbbbbbbbbbbbbbbb 123 T b bbxy zxy zxy zxy zxy zxy z 333333121221211221 aaaaaaaaaaaaaaaaaa 123 T aaaxyzxyzxy zxyzxy zxyz 即即式式为为 48 123123 T b bbT aaa 用通俗的方法表达即 用通俗的方法表达即 331212 abaabb symsym xyzxy z 49 式就式就缪尔缪尔海德不等式海德不等式的常用形式的常用形式 49 17 3 例例题题 设设为为非非负变负变量序列 考量序列 考虑虑和和 x y z 2 2 1 3 1 1 由由 16 1 中的序列中的序列优优化得 化得 2 2 13 1 1 由由缪尔缪尔海德不等式海德不等式式得 式得 48 T 2 2 1T 3 1 1 22222 2 T 2 2 12 x y zx yzxy z 333 T 3 1 12 x yzxy zxyz 将将 代入代入 得 得 22222 2333 x y zx yzxy zx yzxy zxyz 即 即 222 xyyzzxxyz 不等式高不等式高级级水平必水平必备备 tobeenough 第第 12 页页 由柯西不等式 由柯西不等式 2222222 xyzyzxxyyzzx 即 即 222 22 xyzxyyzzx 即 即 222 xyzxyyzzx 式式 式等价 式等价 这这就就证证明了明了 式是成立的 而式是成立的 而缪尔缪尔海德不等式海德不等式直接得到直接得到 式是成立式是成立 的的 式可以用式可以用来表示 来表示 这这正是正是缪尔缪尔海德不等式海德不等式的的式式 T 2 0 0T 1 1 0 48 Ch18 卡拉卡拉玛玛塔不等式塔不等式 18 1 设设在在实实数区数区间间的函数的函数为为向下凸函数 且当向下凸函数 且当 两个序列 两个序列IR f ii a bI i1 2n 和和满满足足 则则 n i i 1 a n i i 1 b ii ab 12n12n f af af af bf bf b 50 式称式称为为卡拉卡拉玛玛塔不等式塔不等式 50 18 2 若函数若函数为严为严格向下凸函数 即不等取等号 格向下凸函数 即不等取等号 且 且 则则 f ii ab ii ab 12n12n f af af af bf bf b 51 若函数若函数为严为严格向上凸函数 格向上凸函数 则则卡拉卡拉玛玛塔不等式塔不等式反向反向 f Ch19 单调单调函数不等式函数不等式 19 1 若若实实数函数数函数在区在区间间对对一切一切为单调为单调增函数 增函数 则则当当时时 fa bR a b x ya b xy 有有 若 若在区在区间间对对一切一切为严为严格格单调单调增函数 当增函数 当时时 f xf y f a b x ya b xy 有有 f xf y 19 2 若若实实数函数数函数在区在区间间对对一切一切为单调为单调减函数 减函数 则则当当时时 fa bR a b x ya b xy 有有 若 若在区在区间间对对一切一切为严为严格格单调单调减函数 当减函数 当时时 f xf y f a b x ya b xy 有有 f xf y 19 3 若若实实数函数数函数在区在区间间为为可可导导函数 当函数 当对对一切一切 则则 fa bR a b xa b fx0 在区在区间间为单调递为单调递增函数 当增函数 当对对一切一切 则则在区在区间间为单为单f a b xa b fx0 f a b 调递调递减函数减函数 19 4 设设两个函数两个函数和和满满足下列条件 足下列条件 fa bR ga bR 函数函数和和在在区区间间是是连续连续的 且的 且 fg a b f ag a 函数函数和和在在区区间间可可导导 fg a b 导导数数对对一切一切成立 成立 fxgx xa b 则对则对一切一切有 有 xa b f xg x 52 不等式高不等式高级级水平必水平必备备 tobeenough 第第 13 页页 式就是式就是单调单调函数不等式函数不等式 52 Ch20 个个对对称称变变量量法法3pqr 20 1 设设 对对于具有于具有变变量量对对称形式的不等式 采用下列称形式的不等式 采用下列变变量代量代换换 x y zR 则则 pxyz qxyyzzx rxyz p q rR 代代换换后的不等式后的不等式 很容易看出其 很容易看出其满满足的不等式关系 足的不等式关系 这样证这样证明不等式的方法明不等式的方法 f p q r 称称为为法法 pqr 20 2 常用的代常用的代换换如下 如下 22 cyc xp2q 32 cyc xp p3q3r 222 cyc x yq2pr xyyzzxpqr 2 cyc xyyzpq cyc xy xypq3r 1x 1y 1z1pqr cyc 1x 1y32pq 2 cyccyc xyzxy xypq3r 20 3 常用的常用的法的不等式法的不等式pqr 若若 则则 x y z0 3 pqr4 pq pq9r 2 p3q 3 p27r 32 q27r 2 q3pr 不等式高不等式高级级水平必水平必备备 tobeenough 第第 14 页页 3 2p9r7 pq 32 2p9r7 pqr 22 p q3pr4q Ch21 个个对对称称变变量量法法3uvw 21 1 在在的不等式中 采用下列的不等式中 采用下列变变量代量代换换 a b cR 3uabc 2 3vabbcca 3 wabc 上述上述变换强变换强烈含有烈含有 平均平均 的意味 的意味 对应对应 算算术术平均平均值值 对应对应 积积均均值值 对应对应 几何平均几何平均值值 uvw 21 2 当当时时 则则 a b c0 uvw 53 式称式称为为傻瓜不等式傻瓜不等式 53 即 即 算算术术平均平均值值 积积均均值值 几何平均几何平均值值 21 3 若若 则则 a b c0 23 u vw0 54 式称式称为为正正值值定理定理 54 21 4 若若 任 任给给 则则当且当且仅仅当当 23 u vwR a b cR 22 uv 且且时时 32322 32322 3 w3uv2u2uv3uv2u2uv 则则 等式成立等式成立 3uabc 2 3vabbcca 3 wabc 这这称称为为定理定理 uvw Ch22 法法ABC 22 1 法即法即ABCAbstract Concreteness Method 设设 pxyz qxyyzzx rxyz 则则函数函数变换为变换为 f x y z f r q p 这这与与 Ch20 个个对对称称变变量量法法类类似似 3pqr 22 2 若函数若函数是是单调单调的 的 则则当当时时 达到极达到极值值 f r q p xyyz zx0 f r q p 22 3 若函数若函数是凸函数 是凸函数 则则当当时时 达到极达到极值值 f r q p xyyz zx0 f r q p 22 4 若函数若函数是是 的的线线性函数 性函数 则则当当时时 达到极达到极值值 f r q pr xyyz zx0 f r q p 22 5 若函数若函数是是 的二次三的二次三项项式 式 则则当当时时 达到极达到极 f r q pr xyyz zx0 f r q p 值值 不等式高不等式高级级水平必水平必备备 tobeenough 第第 15 页页 Ch23 法法SOS 23 1 法即法即SOSSum OfSquares 23 2 本法的全部思想是将本法的全部思想是将给给出的不等式改写成以下形式 出的不等式改写成以下形式 222 abc SSbcSacSab 55 其中 其中 分分别别都是都是的函数的函数 abc SSS a b c 若若 则则 abc SSS0 S0 若若或或 且 且 则则 abc abc bbabc SSSSS0 S0 若若或或 且 且 则则 abc abc acabcb SSS2SS2S0 S0 若若 且 且 则则 abc 22 bcba SSa Sb S0 S0 若若或或或或 且 且 则则 ab SS0 bc SS0 ca SS0 abbcca S SS SS S0 S0 23 3 常用的形式常用的形式 22 cyccyccyc 1 aabab 2 32 cyccyccyc 1 a3abcaab 2 223 cyccyccyc 1 a babab 3 322 cyccyccyc 1 aa b2ab ab 3 333 cyccyccyccyc 1 a bababa 3 42 222 cyccyccyc aa b2abab Ch24 法法SMV 24 1 法即法即SMVStrongMixing Variables Method 本法本法对对多于多于个个变变量的量的对对称不等式非常有用称不等式非常有用 2 24 2 设设为为任意任意实实数序列 数序列 12n xxx 选择选择使使 i j1 2n min i12n xxxx max j12n xxxx 不等式高不等式高级级水平必水平必备备 tobeenough 第第 16 页页 用其平均数用其平均数代替代替和和 经过经过多次代多次代换换后各后各项项 都 都趋趋于相同的于相同的 ij xx 2 i x j x i x i1 2n 极限极限 12n xxx x n 24 3 设实设实数空数空间间的函数的函数是一个是一个对对称的称的连续连续函数 函数 满满足足F 12n12n F aaaF b bb 56 其中 其中 序列是由序列是由序列序列经过经过预预定定义变换义变换而得到的而得到的 12n b bb 12n aaa 预预定定义变换义变换可根据当前的可根据当前的题题目灵活采用 如目灵活采用 如 等等等等 ab 2 ab 22 ab 2 24 4 例例题说题说明明 例例题题 设实设实数数 证证明 明 a b c0 abc3 bccaab2 解析 采用解析 采用法法 SMV 设设 abc f a b c bccaab 则则 ttc2tc f t t c tccttttc2t 其中 其中 ab t 2 由由 得 得 2tc112tct113 f t t c2 tc2t22tc2t222 由由式得 式得 证毕证毕 56 3 f a b cf t t c 2 Ch25 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 25 1 设设函数函数在在实实数空数空间间的的连续连续可可导导 且 且 其中 其中 12n f xxxIR i12n gxxx0 即有 即有个个约约束条件 束条件 则则的极的极值值出出现现在在区区间间的的边边界或偏界或偏 i1 2k k 12n f xxxI 导导数 函数数 函数为为 全部 全部为为零的点上零的点上 k ii i 1 Lfg 这这就是就是拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 Ch26 三角不等式三角不等式 26 1 设设 且 且 则则就是同一个三角形的内角就是同一个三角形的内角 0 26 2 若若为为同一个三角形的内角 同一个三角形的内角 则则有下列不等式 有下列不等式 不等式高不等式高级级水平必水平必备备 tobeenough 第第 17 页页 sinsinsin 3 3 2 coscoscos 3 2 sinsinsin 3 3 8 coscoscos 1 8 sinsinsin 222 9 4 coscoscos 222 3 4 锐锐角三角形 角三角形 tantantan3 3 cotcotcot3 sinsinsin 3 2222 coscoscos 3 3 2222 sinsinsin 1 2228 coscoscos 3 3 2228 sinsinsin 222 3 2224 coscoscos 222 9 2224 tantantan3 222 cotcotcot3 3 222 Ch27 习题习题 27 1 设设 求 求证证 12n xxx0 1 321 111 xxxn 12n 1x1x1x2 27 2 设设 且 且 求 求证证 12n xxx0 12n 1 xxx 2 12n 1 1x1x1x 2 不等式高不等式高级级水平必水平必备备 tobeenough 第第 18 页页 27 3 设设 且 且 求 求证证 12n a aaR 1 2n a aa1 12n12n aaaaaa 27 4 设设 且 且 求 求证证 a b c0 abc1 333 abcabbcca 27 5 设设 求 求证证 a b c d0 abcd2 b2c3dc2d3ad2a3ba2b3c3 27 6 设设 求 求证证 a b c0 222 abcbcacab abc bccaab 27 7 设设 求 求证证 a b0 nN nnn 1 ab 112 ba 27 8 设设 且 且 若 若 求 求 12n xxxR 222 12n xxx1 nN n2 555 n12 12n nnn i1i2in i 1i 1i 1 xxx f xxx xxxxxx 的最小的最小值值 27 9 设设 且 且 求 求证证 a b cR abcabc 222 1113 2 1a1b1c 27 10 设设 求 求证证 a b cR 222222 3 2 a1bb1cc1a 2 27 11 设设 且 且 求求证证 a b cR abbcca3 222 1a1b1c8 27 12 设设 且 且 求 求证证 a b c0 abc1 333222 6 abc15 abc 27 13 设设 且 且 求 求证证 a b c0 abc2 444333 abcabcabc 27 14 设设 求 求证证 a b c0 333333 8 abcabbcca 27 15 设设 求 求证证 a b c0 3333 1 abcabcabc 7 27 16 设设 且 且 求 求证证 a b c0 abc1 222 4 abc3abc 9 27 17 设设 求 求证证 12n aaa0 222 n12 12n 231 aaa 1a1a1a111 aaa 27 18 设设 且 且 求 求证证 a b c d0 abcd1 2222 1111 1 1a1b1c1d 27 19 设设 且 且 求 求证证 a b c d0 abcd4 2222 abcbcdcdadababcbcdcdadab8 不等式高不等式高级级水平必水平必备备 tobeenough 第第 19 页页 27 20 设设 且 且 求 求证证 a b c0 222 abc3 2 22 222 a bb cc dabc 27 21 设设 求 求证证 a b cR 2222223 33 333 3 aabbbbccccaaa bb cc a 27 22 设设 且 且 求 求证证 a b c d0 abcdabcd5 1111 4 abcd 27 23 设设不等式 不等式 222222222 2 ab abbc bcca caM abc 对对一切一切实实数数都成立 求都成立 求的最小的最小值值 a b cM 27 24 设设 且 且 求 求证证 a b c0 abc3 222 a bb cc a abbcca9 Ch27 习题习题解析解析 27 1 设设 求 求证证 12n xxx0 1 321 111 xxxn 12n 1x1x1x2 解析 解析 设设 则则 因 因为为 所以 所以 n 11 xx i x0 1 i 1 1 x i1 2n 由伯努利不等式由伯努利不等式 当 当且且时时 2 i x1 i 1 i iii 1x1x 或或时时 式等号成立式等号成立 iff i x0 i 1 由均由均值值不等式不等式 3 iiii 1x2x 时时 式等号成立式等号成立 iff ii x1 由由 式得 式得 i iii 1x2x 时时 式等号成立式等号成立 iff ii x1 设设 则则由由 式得 式得 i i 1 1 x i 1 1 x i i i 1 x 1x2 x 则则 2 1 x 1 1 2 x 1x2 x 3 1 x 2 2 3 x 1x2 x 1 1 x n n 1 x 1x2 x 上面各式相乘得 上面各式相乘得 321 111 xxxnnn 12 12n 231 xxx 1x1x1x22 xxx 证毕证毕 27 2 设设 且 且 求 求证证 12n xxx0 12n 1 xxx 2 12n 1 1x1x1x 2 不等式高不等式高级级水平必水平必备备 tobeenough 第第 20 页页 解析 解析 因因为为 所以 所以 i x0 n i i 1 1 x 2 i 1 x0 2 设设 则则 ii yx i 1 y01 2 由伯努利不等式由伯努利不等式 1 12n12n 1y1y1y1yyy 将将代入代入 式 并代入式 并代入得 得 ii yx 12n 1 xxx 2 12n12n 11 1x1x1x1xxx1 22 证毕证毕 27 3 设设 且 且 求 求证证 12n aaa0 1 2n a aa1 12n12n aaaaaa 解析 解析 因因为为 且 且 12n aaa0 1 2n a aa1 所以由均所以由均值值不等式不等式 3 n 12n12n aaanaaan 即 即 12n aaa 1 n 时时 式等号成立式等号成立 iff 12n aaa1 由柯西不等式由柯西不等式 8 2222222 12n12n aaa111aaa 即 即 2 12n12n aaanaaa 即 即 12n 12n12n aaa aaaaaa n 时时 式等号成立式等号成立 iff 12n aaa1 将将 式代入式代入 式得 式得 12n12n aaaaaa 时时 式等号成立式等号成立 证毕证毕 iff 12n aaa1 27 4 设设 且 且 求 求证证 a b c0 abc1 333 abcabbcca 解析 解析 因因为为 且 且 a b c0 abc1 所以由均所以由均值值不等式不等式 3 222222 222 abbcca abcabbcca 222 时时 式等号成立式等号成立 iffabc1 由均由均值值不等式不等式 即 即 3 3 abc3 abc3 abc 1 3 不等式高不等式高级级水平必水平必备备 tobeenough 第第 21 页页 时时 式等号成立式等号成立 iffabc1 设设 则则因因为为 所以 所以WLOGabc a b c0 222 abc 由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式 14 222222 abc abc3 a ab bc c 即 即 333222 abc abcabc 3 时时 式等号成立式等号成立 iffabc1 将将 代入代入 式得 式得 333 abcabbcca 时时 式等号成立式等号成立 证毕证毕 iffabc1 27 5 设设 求 求证证 a b c d0 abcd2 b2c3dc2d3ad2a3ba2b3c3 解析 解析 记记 Ab2c3d Bc2d3a Cd2a3b Da2b3c 则则 aAbBcCdD4 abacadbcbdcd 待待证证式式为为 abcd2 ABCD3 由柯西不等式由柯西不等式 8 2 abcd aAbBcCdDabcd ABCD 即 即 2 abcdabcd ABCDaAbBcCdD 由由 式 只需式 只需证证明明 2 abcd2 aAbBcCdD3 设设多多项项式 式 P xxaxbxcxd 432 01234 c xc xc xc xc 则则 1 cabcd 2 cabacadbcbdcd 代入代入 式得 式得 2 aAbBcCdD4c 根据定根据定义义 38 k kk n c p C 得 得 即 即 即 即 11 11 4 cc p C4 11 c4 p 22 22 4 cc p C6 22 c6 p 则则 222 111 222 2 c16 pp2 4c abcd aAbBcC6 p3Dpd4 不等式高不等式高级级水平必水平必备备 tobeenough 第第 22 页页 由麦克由麦克劳劳林不等式林不等式 即 即 40 1 2 12 pp 2 1 2 p 1 p 代入代入 式得 式得 式得式得证证 2 abcd aAbBcdD 2 3C 时时 等号成立 等号成立 证毕证毕 iffabcd 27 6 设设 求 求证证 a b c0 222 abcbcacab abc bccaab 解析 解析 不等式左不等式左边边 222 abc bcc bcc bc a c a a b baaab 不等式右不等式右边边 a cab abc bc abc caabbc 222 ab a ac b c c abc caabbcca b b