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立体几何中的向量方法 1 以单位正方体的顶点O为原点 分别以射线OA OC 的方向为正方向 以线段OA OC 的长为单位长度 建立三条数轴 x轴 y轴 z轴 这时我们建立了一个空间直角坐标系 一 空间直角坐标系 点O叫做坐标原点 x轴 y轴 z轴叫做坐标轴 这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面 分别称为xoy平面 yoz平面 和zox平面 2 o 1 x轴与y轴 x轴与z轴均成1350 而z轴垂直于y轴 2 y轴和z轴的单位长度相同 x轴上的单位长度为y轴 或z轴 的单位长度的一半 空间直角坐标系的画法 3 4 练1请你作一个空间直角坐标系 并在空间直角坐标系中 作出点 5 4 6 O 5 4 6 变式在空间直角坐标系中 作出点 5 4 6 5 练习 2 如下图 在长方体OABC D A B C 中 OA 3 OC 4 OD 3 A C 于B D 相交于点P 分别写出点C B P的坐标 O B A B C P P 3 4 3 6 练习 Q Q 3 如图 棱长为a的正方体OABC D A B C 中 对角线OB 于BD 相交于点Q 顶点O为坐标原点 OA OC分别在x轴 y轴的正半轴上 试写出点Q的坐标 7 若A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 则 空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 二 空间向量的坐标表示 8 练1 在空间直角坐标系中 已知A 2 1 3 B 1 2 5 则 练2 在空间直角坐标系中 已知A 2 x y 则B 9 10 三 空间向量的数量积运算 11 练1 在空间直角坐标系中 已知 练2 在空间直角坐标系中 已知 12 13 五 距离与夹角的坐标表示 1 距离公式 1 向量的长度 模 公式 注意 此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度 14 练1 在空间直角坐标系中 已知 15 16 在空间直角坐标系中 已知 则 2 空间两点间的距离公式 17 2 两个向量夹角公式 注意 1 当时 同向 2 当时 反向 3 当时 18 练1 在空间直角坐标系中 已知 求与所成的角的余弦值 19 练2如图 在正方体中 求与所成的角的余弦值 20 21 3 2 1立体几何中的向量方法 方向向量与法向量 22 A P 直线的方向向量 直线 的向量式方程 换句话说 直线上的非零向量叫做直线的方向向量 一 方向向量与法向量 23 2 平面的法向量 l 平面 的向量式方程 换句话说 与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量 24 例1 如图所示 正方体的棱长为1直线OA的一个方向向量坐标为 平面OABC的一个法向量坐标为 平面AB1C的一个法向量坐标为 1 1 1 0 0 1 1 0 0 25 26 令x y z中某个为定值 27 练习如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 侧棱PD 底面ABCD PD DC 1 E是PC的中点 求平面EDB的一个法向量 A B C D P E 解 如图所示建立空间直角坐标系 设平面EDB的法向量为 28 29 因为方向向量与法向量可以确定直线和平面