2012高考数学二轮复习 专题3 数列与不等式

用心 爱心 专心 1 20122012 届高考数学二轮复习届高考数学二轮复习 专题三专题三 数列与不等式数列与不等式 重点知识回顾重点知识回顾 1 数列在高考中 一般设计一个客观题和一个解答题 主要考查数列和不等式部分的 基本知识 对基本运算能力要求较高 解答题常常综合考查函数 方程 不等式等知识 难 度较大 尤其是数列 函数和不等式的综合考题 又加入了逻辑推理能力的考查 成为了近 几年数列考题的新热点 2 数列与不等式部分的重点为 等差 等比数列的概念 性质 通项公式 前项和 n 不等式的性质 解法和两个重要不等式的应用 该部分重点考查运算能力和逻辑推理能力 考查函数与方程思想 化归于转化思想及分类讨论思想 典型例题典型例题 1 1 等差数列与等比数列的综合 等差数列与等比数列的综合 等差数列与等比数列都是高考命题的重点知识 考题经常将它们综合在一起综合考查等 差数列和等比数列的概念 性质 通项公式 求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用 对基本的运算要求比较高 例例 1 1 设 n a是公差不为 0 的等差数列 1 2a 且 136 a a a成等比数列 则 n a的前 n项和 n S A 2 7 44 nn B 2 5 33 nn C 2 3 24 nn D 2 nn 答案答案 A 解析 解析 设数列 n a的公差为d 则根据题意得 22 22 25 dd 解得 1 2 d 或 0d 舍去 所以数列 n a的前n项和 2 1 17 2 2244 n n nnn Sn 例例 2 2 等比数列 n a的前 n 项和为 n s 且 4 1 a 2 2 a 3 a成等差数列 若 1 a 1 则 4 s A 7 B 8 3 15 4 16 解析 解析 4 1 a 2 2 a 3 a成等差数列 即 132 44aaa 2 111 44aa qa q 因此选 C 2 440qq 4 2 15qS 用心 爱心 专心 2 点评 点评 该类题目综合考查了等差数列和等比数列的概念 通项公式和等比数列的求和公 式等 基础性较强 综合程度较小 要求具有较熟练的运算能力 2 2 函数与不等式综合 函数与不等式综合 不等式与函数有着密切的联系 其中线性规划求目标函数的最值是近几年高考的热点问 题之一 经常以选择题或填空题出现 有不少关于最值方面的问题 通常用二次函数的配方 法求最值或用均值不等式求最值 考题经常以与不等式有关的实际应用问题出现 在应用不 等式解决实际问题时 要注意以下四点 理解题意 设变量 设变量时一般把要求最值的变量定为自变量 建立相应的函数关系式 把实际问题抽象为函数的最值问题 在定义域内 求出函数的最值 正确写出答案 例 例 设 x y 满足约束条件 若目标函数 z ax by a 0 b 0 的值 0 0 02 063 yx yx yx 是最大值为 12 则的最小值为 23 ab A B C D 6 25 3 8 3 11 4 答案 答案 A 解析 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分 当直线 ax by z a 0 b 0 过直线 x y 2 0 与直线 3x y 6 0 的交点 4 6 时 目标函数 z ax by a 0 b 0 取得最大 12 即 4a 6b 12 即 2a 3b 6 而 23 ab 23 23 6 ab ab 13 6 ba ab 故选 A 1325 2 66 点评 点评 本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题 要求能准确 地画出不等式表示的平面区域 并且能够求得目标函数的最值 对于形如已知 2a 3b 6 求 的 23 ab 最小值常用乘积进而用基本不等式解答 x 2 2 y O 2 z ax b y 3x y 6 0 x y 2 0 用心 爱心 专心 3 例例 4 4 本公司计划 2008 年在甲 乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告 广告总 费用不超过 9 万元 甲 乙电视台的广告收费标准分别为元 分钟和 200 元 分钟 规定500 甲 乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告 能给公司事来的收益分别为 0 3 万元和 0 2 万元 问该公司如何分配在甲 乙两个电视台的广告时间 才能使公司的收益最大 最 大收益是 万元 答案 答案 70 解析解析 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟 总收益为xy 元 由题意得z 300 50020090000 00 xy xy xy 目标函数为 30002000zxy 二元一次不等式组等价于 300 52900 00 xy xy xy 作出二元一次不等式组所表示的平面区域 即可行域 如图 作直线 即 300020000lxy 320 xy 平移直线 从图中可知 当直线过点时 目标函数取得最大M 值 联立解得 点的坐标为 300 52900 xy xy 100200 xy M 100 200 元 max 30002000700000zxy 点评点评 本题是线性规划的实际应用问题 需要通过审题理解题意 找出各量之间的关系 找出线性约束条件 写出所研究的目标函数 通过数形结合解答问题 用线性规划的方法解 决实际问题能提高学生分析问题 解决问题的能力 随着课改的深入 这类试题应该是高考 的热点题型之一 例例 5 5 设a为实数 函数 2 2 f xxxaxa 1 若 0 1f 求a的取值范围 2 求 f x的最小值 3 设函数 h xf x xa 直接写出 不需给出演算步骤 不等式 1h x 的 0100200300 100 200 300 400 500 y x l M 用心 爱心 专心 4 解集 解析 解析 1 若 则 0 1f 2 0 11 1 a a aa a 2 当时 xa 22 32 f xxaxa 2 2 min 02 0 2 0 0 3 3 f a aaa f x a a fa a 当时 xa 22 2 f xxaxa 2 min 2 02 0 0 2 0 fa aaa f x f a a aa 综上 2 2 min 2 0 2 0 3 aa f x a a 3 时 得 xa 1h x 22 3210 xaxa 222 412 1 128aaa 当时 66 22 aa 或0 xa 当时 0 得 66 22 a 22 3232 0 33 aaaa xx xa 讨论得 当时 解集为 26 22 a a 当时 解集为 62 22 a 22 3232 33 aaaa a 当时 解集为 22 22 a 2 32 3 aa 点评 点评 本小题主要考查函数的概念 性质 图象及解一元二次不等式等基础知识 考查 灵活运用数形结合 分类讨论的思想方法进行探索 分析与解决问题的综合能力 3 3 函数与数列的综合 函数与数列的综合 高考试题中经常将函数与数列综合在一起 设计综合性较强的解答题 考查数列的概念 性质 通项及求和公式等主干知识和分析问题 解决问题的逻辑推理能力 例例 6 6 知函数 32 1 2 3 f xxx 设是正数组成的数列 前n项和为 其中 若点 n a n S 1 3a 用心 爱心 专心 5 n N 在函数的图象上 求证 点也在的图象 2 11 2 nnn a aa yfx n n S yfx 上 求函数在区间内的极值 f x 1 aa 解析 解析 证明 因为所以 32 1 2 3 f xxx 2 2fxxx 由点在函数的图象上 2 11 2 N nnn a aan yfx 22 11 22 nnnn aaaa 又 111 2 nnnnnn aaaaaa 0 N n an 所以 是的等差数列 1 2 nn aa n a 1 3 2ad 所以 又因为 所以 2 1 32 2 2 n n n Snnn 2 2fnnn n Sfn 故点也在函数的图象上 n n S yfx 解 令得 2 2 2 fxxxx x 0 fx 02xx 或 当x变化时 的变化情况如下表 fx f x x 2 2 2 0 f x 0 f x 极大值 注意到 从而 1 12aa 当 此时无极小值 2 12 21 2 3 aaaf xf 即时的极大值为 f x 当的极小值为 此时无极大值 10 01 aaaf x 即时 0 2f f x 当既无极大值又无极小值 2101 aaaf x 或或时 点评 点评 本小题主要考查函数极值 等差数列等基本知识 考查分类与整合 转化与化归 等数学思想方法 考查分析问题和解决问题的能力 4 4 数列与不等式 简易逻辑等的综合 数列与不等式 简易逻辑等的综合 数列是培养推理论证能力的极好载体 将数列的知识与推理证明的方法交织在一起进行 考查 是新课程高考中的一个亮点 常常荣归纳 猜想 数学归纳法 分类讨论 等价转化 用心 爱心 专心 6 等数学思想和方法于一体 对能力的要求较高 例例 7 7 设若是与的等比中项 则的最小值为 0 0 ab 33a3b 11 ab A 8 B 4 C 1 D 1 4 答案答案 B 解析 解析 因为 所以 333 ba 1 ba 11 ab 11 ab ab 2 ba ab 当且仅当即时 成立 故选择 B 224 b a a b b a a b 2 1 ba 点评 点评 本小题考查指数式和对数式的互化 以及均值不等式求最值的运用 考查了变通 能力 例例 8 8 设数列 n a满足 3 01 0 1 nn aacac cNc 中中为实数 证明 0 1 n a 对任意 nN 成立的充分必要条件是 0 1 c 设 1 0 3 c 证明 1 1 3 n n acnN 设 1 0 3 c 证明 222 12 2 1 1 3 n aaannN c 解析解析 1 必要性 12 0 1aac 又 2 0 1 011ac 即 0 1 c 充分性 设 0 1 c 对 nN 用数学归纳法证明 0 1 n a 当1n 时 1 0 0 1 a 假设 0 1 1 k ak 则 3 1 111 kk acaccc 且 3 1 110 kk acacc 1 0 1 k a 由数学归纳法知 0 1 n a 对所有 nN 成立 2 2 设 1 0 3 c 当1n 时 1 0a 结论成立 当2n 时 32 1111 1 1 1 1 nnnnnn acacacaaa 1 0 3 C 由 1 知 1 0 1 n a 所以 2 11 13 nn aa 且 1 10 n a 1 13 1 nn aca 211 121 13 1 3 1 3 1 3 nn nnn acacacac 用心 爱心 专心 7 1 1 3 n n acnN 3 3 设 1 0 3 c 当1n 时 2 1 2 02 1 3 a c 结论成立 当2n 时 由 2 知 1 1 3 0 n n ac 21 212 1 1 1 3 12 3 3 12 3 nnnn n acccc 2222221 122 12 3 3 3 n nn aaaaanccc 2 1 3 2 11 1 31 3 n c nn cc 点评 点评 该题综合考查了等比数列的求和 不等式的性质的应用 充分必要条件和数学归 纳法等 具有较高的难度 对逻辑推理能力的考查要求较高 数列与概率的综合数列与概率的综合 数列与概率的综合考查 虽然不是经常但很有新意 这种命题也体现了在知识交汇处命 题的指导思想 例例 9 9 将一骰子连续抛掷三次 它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 解析 解析 一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个 其中为等差数列有三类 1 公差为 0 的有 6 个 2 公差为 1 或 1 的有 8 个 3 公差为 2 或 2 的有 4 个 共有 18 个 成等差数列的概率为 选 B 点评点评 本题是以数列和概率的背景出现 题型新颖而别开生面 有采取分类讨论 分类 时要做到不遗漏 不重复 模拟演练模拟演练 1 公差不为零的等差数列 n a的前n项和为 n S 若 4 a是 37 aa与的等比中项 8 32S 则 10 S等于 A 18 B 24 C 60 D 90 2 等差数列 an 和 bn 的前n项和分别用Sn和Tn表示 若 则的值为 53 4 n n T S n nn n a b 用心 爱心 专心 8 A B C D 42 31 n n 83 62 n n 63 82 n n 62 83 n n 3 已知函数 则不等式的解集是 01 01 xx xx xf 111 xfxx A B 121 xx 1 xx C D 12 xx 1212 xx 4 已知 x 0 y 0 x a b y 成等差数列 x c d y 成等比数列 则的 a b 2 cd 最小值是 5 设数列的前项和为 点均在函数的图象上 n an n S n S nnN n 32yx 则数列的通项公式为 n a 6 命题实数满足 其中 命题实数满足 px 22 430 xaxa 0a qx 或 且是的必要不充分条件 求的取值范围 2 60 xx 2 280 xx p q a 7 已知二次函数的二次项系数为 a 且不等式 的解集为 1 f x 2f xx 3 l 若方程有两个相等的根 求的解析式 60f xa f x 2 若的最大值为正数 求 a 的取值范围 f x 8 围建一个面积为 360m2的矩形场地 要求矩形场地的一面利用旧墙 利用旧墙需维修 其它三面围墙要新建 在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口 如图所示 已知旧墙的维修费用为 45 元 m 新墙的造价为 180 元 m 设利用的旧墙的长度为 x 单位 元 将 y 表示为 x 的函数 试确定 x 使修建此矩形场地围墙的总费用最小 并求出最小总费用 用心 爱心 专心 9 参考答案 1 答案 C 解析 由 2 437 aa a 得 2 111 3 2 6 adadad 得 1 230ad 再由 81 56 832 2 Sad 得 1 278ad 则 1 2 3da 所以 101 90 1060 2 Sad 故选 C 2 答案 A 解析 121 21 21 21 2 n nn aa Snna 21 21 nn Tnb 21 21 nn nn aS bT 4 21 3 21 5 n n 8442 6231 nn nn 3 答案 C 解析 依题意得或 10 1 1 x xxx 10 1 1 x xxx 所以或 1 xR x 1 2121x x 解得 故选 C 212111xxx 或 4 答案 4 解析 4 a b 2 cd x y 2 xy 5 答案 65 n annN 解析 由题意得 即 32 n S n n 2 32 n Snn 当 n 2 时 2 2 1 32 312 1 65 nnn aSSnnnnn 当 n 1 时 2 1 1 6 1 5 11 3aS 2 1 所以 65 n annN 用心 爱心 专心 10 6 解析 设 22 430 0 Ax xaxaa 3xaxa 22 60280Bx xxxx 中 22 60 280 x xxx xx 23 42xxx