高中竞赛之重要不等式

第 1 页 共 16 页 高中竞赛之重要不等式 1 柯西不等式 给了两列数 或一列数 有平方和和平方 定理 1 对任意实数组恒有不等式 积和方不大于方和积 1 2 ii a b in 即 等式当且仅当 时成立 本不等式称为柯西不等式 证不等式最基本的方法是作差比较法 柯西不等式的证明也可首选此法 证明 1 左 右 左 22 1 2 n iiiijj iij a baba b 当且仅当 时 等式成立 柯西不等式的两个推论 设 同号 则 当且仅当 时取等号 若 且 则 分母作和 由柯西不等式可以证下面的不等式 3 次可以推广为 4 5 等 n 次 第 2 页 共 16 页 3333333333 12312312311 1222333 a a a b b b c c c a b c a b c a b c 证明 对和 333333 123123 a a a b b b 3333 12311 1222333 c c c a b c a b c a b c 分别用柯西不等式 可得到两个不等式 将这两个不等式相乘 再用一次柯西不等式即可证 明原不等式 柯西不等式的推广 闵可夫斯基不等式 设 是两组正数 且 则0k 1k 当且仅当 时等号成立 12 12 n n aaa bbb 闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式 当 时得平面上的三角形不等式 右图给出了对上式的一个直观理解 若记 则上式为 第 3 页 共 16 页 特例 22 1212 222222 1122 mm mm aaabbb ababab 222 121212 222222222 111222 mmm mmm aaabbbccc abcabcabc 多个根式可转化为一个根式 赫尔德不等式 已知 是 个正实数 则 上式中若令 则此赫尔德不等式即为柯西不 1 2 等式 2 排序不等式 排序原理 给的是两列数且为对称的 设 则有 n aaa 21n bbb 21 n i ii n i ti n i ini bababa i 111 1 即 反序和 乱序和 同序和 其中 nttt n 2 1 21 当且 仅当或 n bbb 21 时等号成立 n aaa 21 切比雪夫不等式 实数 满足 i a i b n aaa 21 则 n bbb 21 1 i2n n i ini n i i n i i n i ii ba n b n a n ba n 1 1 111 1111 当且仅当或时等号成立 n aaa 21n bbb 21 第 4 页 共 16 页 下面给出一个 时的契比雪夫不等式的直观理解 如图 矩形 OPAQ 中 显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和 这 可沿图中线段 MN 向上翻折比较即知 于是有 也即 3 琴生不等式 凸函数定义 1 设是定义在闭区间上的函数 若对任意 和任 xf ba xy ba 意 有 1 0 yfxfyxf 11 成立 则称是上的凸函数 也称下凸函数或凹函数 xf ba 2 设是定义在上的函数 若对任意 且和任 xf ba x bay yx 意 有 1 0 yfxfyxf 11 成立 则称是上的严格凸函数 xf ba 3 设是定义在上的函数 若对任意 和任意 xf ba xy ba 有 1 0 yfxfyxf 11 成立 则称是上的上凸函数 xf ba 第 5 页 共 16 页 凸函数的定义表明了 上 下 凸函数的两个自变量的算术平均值处的函数值 不小 大 于其函数值的算术平均值 从图象上看 表明联结上 下 凸函数图形 上任何两点的弦的中点恒位于图形的对应点之下 上 见图 1 图 1 注意到在定义中 凸函数的条件是对区间内的任意两点 x1和 x2都成立 不难看出 这实际上就保证了函数在整个区间的凸性 即上凸函数图象上的 任一段弧都在所对应的弦的上方 下凸函数图象上的任一段弧都在所对应的 弦的下方 并且由此形成的弓形是凸的区域 正因为这种函数的图象具有这 种特点 所以我们才把它形象地名之曰 凸函数 在初等数学里 关于函数的凸性 可根据图象来判断 例如 读者不难 根据图象可以得出 幂函数 y xa 当 a 1 或 a 0 时 是 0 上的下凸函数 当 0 a 1 时 是 0 上的上凸函数 指数函数 y ax a 0 a 1 是 上的下凸函数 对数函数 y logcx a 1 当 a 1 时 是 0 上的上凸函数 当 0 a 1 时 是 0 上的下凸函数 三角函数 y sinx 是 0 上的上凸函数 是 2 上的下凸函 上述函数的凸性 也可以根据定义用初等方法来证明 学过微分学的读 者还可以根据函数的二阶导数的符号来判断函数的凸性 即 若函数 f x 对 在定义域 a b 内的所有 x 恒有 0 则 f x 是 a b 上的上凸函数 如 f x 果恒有 0 则 f x 是 f x a b 上的下凸函数 第 6 页 共 16 页 琴生 Jensen 不等式 变量做和 若是区间上的凸函数 则对任意 有 xf ba 1 x 2 x n x ba n i i n i i xf n x n f 11 11 当且仅当时等号成立 当为上凸函数时 不等式反向 n xxx 21 xf 琴生 Jensen 不等式推论 即加权琴生不等式 若是区间上的凸函数 则对任意 和对任 xf ba 1 x 2 x n x ba 意满足的正数 有1 1 n i i p 1 p 2 p n p 当且仅当时等号成立 n i ii n i ii xfpxpf 11 n xxx 21 若令 qi pi p1 pn 其中 p1 pn是任意正数 则琴生不 等式 2 变成 在 2 或 3 式中 f x 取不同的凸函数 便得不同的不等式 例例 1 1 令 f x xk x 0 k 1 则 f x 是 R 上的凸函数 因此有 第 7 页 共 16 页 例例 2 2 令 f x lgx x 0 则 f x 是 R 上的凹函数 故有 取反对数 得 此即加权平均不等式 1 设全是正数 且 且 i a i n i i aa m s 1 1 1 i2nmn 求证 2 n 1 m mnn a as n i i i 1 2 mn nm as a n i i i 1 证明 不妨设 于是0 21 n aaa 由切比雪夫不等式得 11 asasas nn 11 111 aaa nn n i i n i i n i i n i i i ann smn an as na as n 1111 111111 第 8 页 共 16 页 又由均值不等式知 又 所以 n i i n i i a n a n 1 1 1 1 n i i msa 1 而 代入 后整理可得 1 成立 ms n a n an n i i n i i 1 1 11 mn 另一方面 由切比雪夫不等式得 n asasas 111 21 n aaa 21 n i i n i i n i i i a nasnas a n 111 1111 由均值不等式 故 n msns as n as n n i i n i i 1 1 1 1 n i i asn 1 11 smn n 又 代入 整理后可得 2 成立 n i i msa 1 2 有十人各拿一只水桶去打水 如果水龙头灌满第 个人的水桶需要i 分钟 且这些 各不相等 试问 i t i t1 i210 1 只有一只水龙头供水时 应如何安排这十个人打水的次序 使他们 花费的总时间最少 这个最少的总时间是多少 2 若有两个相同的水龙头供水时 应如何安排这十个人的次序 使他 们花费的总时间最少 这个最少的总时间是多少 解 1 设安某次序打水时水龙头灌满第 个人的水桶需要分钟 则i i s 第一人花费的时间为分钟 第二人花费的时间为分钟 第十人 21 ss 花费的时间为 分钟 总的花 1021 sss 第 9 页 共 16 页 费时间为 1 s 21 ss 1021 sss 10921 2910ssss 其中 序列 是 的一个排列 由题设各 1 s 2 s 10 s 1 t 2 t 10 t 各不相同 不妨设 则由排序原理知 i t 1 t 2 t 10 t 10921 2910ssss 10921 2910tttt 即安任意一个次序打水花费的总时间不小于安如下顺序打水的时间 先 安打水所需时间从小到大依次排队 然后逐个打水 即此时花费时间最省 总花费的时间为 分钟 10921 2910tttt 2 如果有两个水龙头 设总时间最少时有个人在第一个水龙头打水 m 设依次所需时间为 有个人在第二个水龙头打水 1 p 2 p m pm 10 依次所需时间设为 显然必有一个水龙头的打水人数不少 1 q 2 q m q 10 于 人 不妨设为第一个水龙头 也不可能有一个水龙头没人去打水 则5 由 1 知 105 m m ppp 21m qqq 1021 总花费的时间为 mm qqmqmppmmpT 102121 9101 其中 mm qqqppp 102121 1021 ttt 1 t 2 t 10 t 首先我们来证明 若不然 我们让在第一个水龙头打水的第一人到5 m 第二个水龙头的第一位去 则总花费的时间变为 mm qqmpmppmT 10112 10111 0112 1 pmTT 即当时 我们让第一水龙头的第一人到第二水龙头去后 总时间减5 m 第 10 页 共 16 页 少 故在时 总时间可能取得最小值 5 m 由于 故两个水龙头人一样多 总用时为 5 m 5432154321 23452345qqqqqpppppT 由于 521 ppp 521 qqq 不妨设 下证 否则我们交换用时为 的两人的位置 11 tp 21 pq 1 q 2 p 后 总用时变为 5432254311 23452345qqqqppppqpT 21 pqTT 0 即经交换后总时间变少 故 也即 21 pq 21 tq 类似地我们可以证明 从 1 iii pqp1 i234 55 qp 而最省时的打水顺序为 水龙头一 水龙头二 1 t 3 t 5 t 7 t 9 t 2 t 4 t 6 t 8 t 10 t 其中 1 t 2 t 10 t 3 在中 求证下列各不等式 ABC 1 2 33 sinsinsin CBA 2 其中且 mm C m B m A 3 tan3tantantan Nm 2 m 证明 1 考查正弦函数 在为上凸函数 故xysin 0 2 3 3 sin 3 sin 3 sinsinsin CBACBA 第 11 页 共 16 页 即 2 33 sinsinsin CBA 2 考查函数 在上是凸函数 m x xftan 0 6 设 证明 0 x0 y 2 lnlnln yx yxyyxx 证明 考查函数 其二阶导数 故其 xxxfln 0 x 0 1 x xf 为凸函数 所以 22 yfxfyx f 即 yyxx yxyx lnln 2 1 2 ln 2 7 对正数 1 a 2 a n a 若或 则1 k0 k k n k n kk n aaa n aaa 2121 若 则10 k k n k n kk n aaa n aaa 2121 证明 考查函数 其二阶导数 k xxf 0 x 2 1 k xkkxf 当或时 故函数 为凸函数 0 k1 k 0 x f k xxf 0 x 当时 故函数 为上凸函数 10 k 0 x f k xxf 0 x 以下由琴生不等式立得 8 已知正实数 满足 i a1 i2n1 1 n i i a 第 12 页 共 16 页 求证 n n i i i n n a a 11 1 证明 考查函数 因 x xxf 1 ln 1 0 x 0 1 25 2 2 2 2 xx x xf 故该函数为凸函数 而 所以10 i a1 i2n n n a n n a a a n n i i n i i n i i i 1 lnln 1 ln 1 1 1 1 1 1 n i i a 去掉对数符号立得 4 设 实数 都不为零 且 则0 21 n xxx pqtqp 1 若 同号 则 pq n i q i n i p i n i t i x n x n x n 111 111 2 若 异号 则 pq n i q i n i p i n i t i x n x n x n 111 111 证明 当 同号时 两者都是正数 由不等式单调性得pq 由切比雪夫不等式得 1 成立 p n pp xxx 21 q n qq xxx 21 当 异号时 假设 由不等式单调性得pq0 p0 q 由切比雪夫不等式得 2 成立 p n pp xxx 21 q n qq xxx 21 5 设 为某一三角形三边长 求证 abc abccbacbacbacba3 222 证明 不妨设 易证 由排cba cbacbacbacba 序原理得 第 13 页 共 16 页 cbacbacbacba 222 acbaccbacbbacba abc3 6 设 求证 n xxx 21n yyy 21 n i ii n i ii zxyx 1 2 1 2 其中 是 的任意一个排列 1 z 2 z n z 1 y 2 y n y 证明 要证 只要证 n i ii n i ii zxyx 1 2 1 2 只要证 n i ii n i ii n i ii n i ii zxzxyxyx 11 22 11 22 22 n i ii n i ii zxyx 11 由题设及排序原理上式显然成立 7 在中求证 ABC 1 6 2 sin 1 2 sin 1 2 sin 1 CBA 2 33 2 cot 2 cot 2 cot CBA 证明 1 考查函数 其在上为凸函数 x y sin 1 2 0 2 考查函数 在上是凸函数 证明如下 2 cotln x xf 2 0 即证 22 1 21 21 xx fxfxf 第 14 页 共 16 页 2 cotln 2 cotln 21 21 xx xfxf 2 cot 2 cotln 21 xx 2 cos 2 cos 2 cos2 1ln 2121 21 xxxx xx 2 cos1 2 cos2 1ln 21 21 xx xx 证毕 4 cotln2 21 xx 2 2 21 xx f 8 设 那么 i x01 i2n 1 n i i n i i x n x n 11 1 sinsin 1 2 n n i