动量守恒定律习题课

动量守恒定律习题课动量守恒定律习题课 教学目标 掌握应用动量守恒定律解题的方法和步骤 能综合运用动量定理和动量守恒定律求解有关问题 教学重点 熟练掌握应用动量守恒定律解决有关力学问题的正确步骤 教学难点 守恒条件的判断 系统和过程的选择 力和运动的分析 教学方法 讨论 总结 讲练结合 讲授新课讲授新课 1 1 合二为一合二为一 问题 两个速度不同的物体 经过相互作用 最后达到共同速度 问题 两个速度不同的物体 经过相互作用 最后达到共同速度 1 质量为 50kg 的人以水平速度 8m s 的速度跳上一辆迎面驶来的质量为 200kg 速度为 4m s 的平板车 人跳 上车后 车的速度大小为 A 4 8m s B 3 2m s C 1 6m s D 2m s 3 质量为 1kg 的物体从距地面 5m 高处自由下落 正落在以 5m s 的速度沿水平方向匀速前进的小车上 车上 装有砂子 车与砂的总质量为 4kg 地面光滑 则车后来的速度为多少 分析 以物体和车做为研究对象 受力情况如图所示 在物体落入车的过程中 物体与车接触瞬间竖直方向具有较大的动量 落入车后 竖直方向上 的动量减为 0 由动量定理可知 车给重物的作用力远大于物体的重力 因此地面给车的支持力 远大于车与重物的重力之和 系统所受合外力不为零 系统总动量不守恒 但在水平方向系统不受外力作用 所以系统水平方向动量守恒 以车的运动方向为正方向 由动量守恒定律可得 车 重物 初 v0 5m s 0 末 v v Mv0 M m v smv mN M v 45 41 4 0 即为所求 2 2 一分为二一分为二 问题 两个物体以共同的初速度运动 由于相互作用而分开后以不同的速度运动 问题 两个物体以共同的初速度运动 由于相互作用而分开后以不同的速度运动 1 一颗手榴弹在 5m 高处以 v0 10m s 的速度水平飞行时 炸裂成质量比为 3 2 的两小块 质量大的以 100m s 的速度反向飞行 求两块落地点的距离 g 取 10m s2 分析 手榴弹在高空飞行炸裂成两块 以其为研究对象 系统合外力不为零 总动量不守恒 但手榴弹在 爆炸时对两小块的作用力远大于自身的重力 且水平方向不受外力 系统水平方向动量守恒 以初速度方向为 正 由已知条件 m1 m2 3 2 m1 m2 初 v0 10m s v0 10m s 末 v1 100m s v2 m1 m2 v0 m1v1 m2v2 sm m vmvmm v 175 2 100 3105 2 11021 2 炸后两物块做平抛运动 其间距与其水平射程有关 x v1 v2 t m g h vvx275 10 52 175100 2 21 y h gt2 2 1 即为所求 2 如图所示 A B 两个物体之间用轻弹簧连接 放在光滑的水平面上 物体 A 紧靠竖直墙 现在用力向左推 B 使弹簧压缩 然后由静止释放 则 A 弹簧第一次恢复为原长时 物体 A 开始加速 B 弹簧第一次伸长为最大时 两物体的速度一定相同 C 第二次恢复为原长时 两个物体的速度方向一定反向 D 弹簧再次压缩为最短时 物体 A 的速度可能为零 4 质量为 1kg 的滑块以 4m s 的水平速度滑上静止在光滑水平面上的质量为 3kg 的小车 最后以共同速度运动 滑块与车的摩擦系数为 0 2 则此过程经历的时间为多少 分析 以滑块和小车为研究对象 系统所受合外力为零 系统总动量守恒 以滑块的运动方向为正方向 由动量守恒定律可得 滑块 小车 初 v0 4m s 0 末 v v mv0 M m v smv mM M v 14 31 1 0 再以滑块为研究对象 其受力情况如图所示 由动量定理可得 F ft mv mv0 f mg 即为所求 s g vv t5 1 102 0 41 0 练习 练习 如图所示 质量为 0 4kg 的木块以 2m s 的速度水平地滑上静止的平板小车 车的质量为 1 6kg 木块与 小车之间的摩擦系数为 0 2 g 取 10m s2 设小车足够长 求 1 木块和小车相对静止时小车的速度 2 从木块滑上小车到它们处于相对静止所经历的时间 3 从木块滑上小车到它们处于相对静止木块在小车上滑行的距离 分析 1 以木块和小车为研究对象 系统所受合外力为零 系统动量守恒 以木块速度方向为正方向 由动 量守恒定律可得 木块 m 小车 M 初 v0 2m s v0 0 末 v v mv0 M m v smv mM m v 4 02 6 14 0 4 0 0 2 再以木块为研究对象 其受力情况如图所示 由动量定理可得 F ft mv mv0 s g vv t8 04 102 0 24 0 0 f mg 3 木块做匀减速运动 加速度 2 1 2smg m f a 车做匀加速运动 加速度 由运动学公式可得 2 2 5 0 6 1 104 02 0 sm M mg M f a vt2 v02 2as 在此过程中木块的位移m a vv S t 96 0 22 24 0 2 222 0 2 1 车的位移mtaS16 0 8 05 0 2 1 2 1 22 22 由此可知 木块在小车上滑行的距离为 S S1 S2 0 8m 即为所求 另解 设小车的位移为 S2 则 A 的位移为 S1 S S 为木块在小车 上滑行的距离 那么小车 木块之间的位移差就是 S 作出木块 小车 的 v t 图线如图所示 则木块在小车上的滑行距离数值上等于图中阴影部 分的三角形的 面积 5 如图所示 光滑的水平台子离地面的高度为 h 质量为 m 的小球以一定 的速度在高台上运动 从边缘 D 水平射出 落地点为 A 水平射程为 s 如果在台子边缘 D 处放一质量为 M 的橡皮泥 再让小球以刚才的速度在 水平高台上运动 在边缘 D 处打中橡皮泥并同时落地 落地点为 B 求 AB 间的距离 例例 8 如图所示 一质量为如图所示 一质量为 M 的平板车的平板车 B 放在光滑水平面上 在其右端放一质量为放在光滑水平面上 在其右端放一质量为 m 的小木块的小木块 A m M A B 间动摩擦因数为间动摩擦因数为 现给 现给 A 和和 B 以大小相等 方向相反的初速度以大小相等 方向相反的初速度 v0 使使 A 开始向左运动 开始向左运动 B 开开 始向右运动 最后始向右运动 最后 A 不会滑离不会滑离 B 求 求 1 A B 最后的速度大小和方向 最后的速度大小和方向 2 从地面上看 小木块向左运动到离出发点最远处时 平板车向右运动的位移大小 从地面上看 小木块向左运动到离出发点最远处时 平板车向右运动的位移大小 6 甲 乙两小孩各乘一辆小车在光滑水平面上匀速相向行驶 速度均为 6m s 甲车上有质量为 m 1kg 的小球 若干个 甲和他的车及所带小球的总质量为 M1 50kg 乙和他的车总质量为 M2 30kg 现为避免相撞 甲不断 地将小球以相对地面 16 5m s 的水平速度抛向乙 且被乙接住 假设某一次甲将小球抛出且被乙接住后刚好可 保证两车不致相撞 试求此时 1 两车的速度各为多少 2 甲总共抛出了多少个小球 分析与解 甲 乙两小孩依在抛球的时候是 一分为二 的过程 接球的过程是 合二为一 的过程 1 甲 乙两小孩及两车组成的系统总动量沿甲车的运动方向 甲不断抛球 乙接球后 当甲和小车与乙和小 车具有共同速度时 可保证刚好不撞 设共同速度为 V 则 M1V1 M2V1 M1 M2 V smsmV MM MM V 5 1 6 80 20 1 21 21 2 这一过程中乙小孩及时的动量变化为 P 30 6 30 1 5 225 kg m s 每一个小球被乙接收后 到最终的动量弯化为 P1 16 5 1 1 5 1 15 kg m s 故小球个数为 15 15 225 1 个 P P N 6 甲 乙两小孩各乘一辆小车在光滑水平面上匀速相向行驶 速度均为 6m s 甲车上有质量为 m 1kg 的小球 若干个 甲和他的车及所带小球的总质量为 M1 50kg 乙和他的车总质量为 M2 30kg 现为避免相撞 甲不断 地将小球以相对地面 16 5m s 的水平速度抛向乙 且被乙接住 假设某一次甲将小球抛出且被乙接住后刚好可 保证两车不致相撞 试求此时 1 两车的速度各为多少 2 甲总共抛出了多少个小球 分析与解 甲 乙两小孩依在抛球的时候是 一分为二 的过程 接球的过程是 合二为一 的过程 1 甲 乙两小孩及两车组成的系统总动量沿甲车的运动方向 甲不断抛球 乙接球后 当甲和小车与乙和小 车具有共同速度时 可保证刚好不撞 设共同速度为 V 则 M1V1 M2V1 M1 M2 V smsmV MM MM V 5 1 6 80 20 1 21 21 2 这一过程中乙小孩及时的动量变化为 P 30 6 30 1 5 225 kg m s 每一个小球被乙接收后 到最终的动量弯化为 P1 16 5 1 1 5 1 15 kg m s 故小球个数为 15 15 225 1 个 P P N 例 2 人和冰车的总质量为 M 另有一个质量为 m 的坚固木箱 开始时人坐在冰车上静止在光滑水平冰面上 某一时刻人将原来静止在冰面上的木箱以速度 V 推向前方弹性挡板 木箱与档板碰撞后又反向弹回 设木 箱与挡板碰撞过程中没有机械能的损失 人接到木箱后又以速度 V 推向挡板 如此反复多次 试求人推多 少次木箱后将不可能再接到木箱 已知2 31 mM 解析 人每次推木箱都可看作 一分为二 的过程 人每次接箱都可以看作是 合二为一 的过程 所以本题为多个 一分为二 和 合二为一 过程的组合过程 设人第一次推出后自身速度为 V1 则 MV1 mV 人接后第二次推出 自身速度为 V2 则 mV 2mV MV2 因为人每完成接后推一次循环动作 自身动量可看成增加 2mV 设人接后第 n 次推出 自身速度为 Vn 则 mV 2mV n 1 MVn Vn M m 2n 1 V 若 Vn V 则人第 n 次推出后 不能再接回 将有关数据代入上式得 n 8 25 n 9 练习 如图所示 甲乙两小孩各坐一辆冰撬 在水平冰面上游戏 甲和他乘的冰撬质量共为kgM30 乙 和他乘的冰撬质量也是 30kg 游戏时 甲推着一个质量kgm15 的箱子 共同以速度smv 0 2 0 滑行 乙 以同样大的速度迎面而来 为了避免相撞甲突然将箱子沿冰面推给乙 箱子滑到乙处时乙迅速把它抓住 若不 计冰面的摩擦 求甲至少以多大的速度 相对地面 将箱子推出才能避免相撞 v0 甲 乙 v0 解析 由于摩擦 甲乙两人及冰撬 木箱系统动量守恒 甲乙两人不相撞的临界条件是有相等的速度 设甲 推木箱后 乙抓住木箱后速度为v 取甲初速为正 vmMvMvmM 2 00 乙甲 sm mM mv v 4 0 15230 215 2 0 甲推出木箱速度为 v vmMvvmM 0 m MvvmM v 0 smv 2 5 15 4 030245 3 三体二次作用过程 问题 所谓 三体二次作用 问题是指系统由三个物体组成 但这三个物体间存在二次不同的相互作用过程 解 答这类问题必须弄清这二次相互作用过程的特点 有哪几个物体参加 是短暂作用过程还是持续作用过程 各 个过程遵守什么规律 弄清上述问题 就可以对不同的物理过程选择恰当的规律进行列式求解 6 如图所示 两个质量均为 4m 的小球 A 和 B 由轻弹簧连接 置于光滑水 平面上 一颗质量为 m 子弹 以水平速度 v0射入 A 球 并在极短时间内嵌在其中 求 在运动过程中什么时候 弹簧的弹性势能最大 最大值是多少 13 如图所示 物体 A B 并列紧靠在光滑水平面上 mA 500g mB 400g 另有 一个质量为 100g 的物体 C 以 10m s 的水平速度摩擦着 A B 表面经过 在摩擦力 的作用下 A B 物体也运动 最后 C 物体在 B 物体上一起以 1 5m s 的速度运动 求 C 物体离开 A 物体时 A C 两物体的速度 例例 9 两块厚度相同的木块两块厚度相同的木块 A 和和 B 紧靠着放在光滑的水平面上 其质量分别为 紧靠着放在光滑的水平面上 其质量分别为 它们的下底面光滑 上表面粗糙 另有一质量 它们的下底面光滑 上表面粗糙 另有一质量 的滑块的滑块 C 可视为质点 以 可视为质点 以 的速度恰好水平地滑到的速度恰好水平地滑到 A 的上表面 如图所示 由于摩擦 滑块最后停在木块的上表面 如图所示 由于摩擦 滑块最后停在木块 B 上 上 B 和和 C 的共的共 同速度为同速度为 3 0m s 求 求 1 木块 木块 A 的最终速度的最终速度 2 滑块 滑块 C 离开离开 A 时的速度时的速度 例 3 光滑的水平面上 用弹簧相连的质量均为 2kg 的 A B 两物块都 以 V0 6m s 的速度向右运动 弹簧处于原长 质量为 4kg 的物块 C 静止在前方 如图所示 B 与 C 碰撞后二者粘在一起运动 在 以后的运动中 当弹簧的弹性势能达到最大为 J 时 物块 A 的速度是 m s 分析与解 本题是一个 三体二次作用 问题 三体 为 A B C 三物块 二次作用 过程为第一次是 B C 二物 块发生短时作用 而 A 不参加 这过程动量守恒而机械能不守恒 第二次是 B C 二物块作为一整体与 A 物块发 生持续作用 这过程动量守恒机械能也守恒 对于第一次 B C 二物块发生短时作用过程 设 B C 二物块发生短时作用后的共同速度为 VBC 则据动量守 恒定律得 BCCBB VmmVm 0 1 ABC 对于第二次 B C 二物块作为一整体与 A 物块发生持续作用 设发生持续作用后的共同速度为 V 则据动量守恒 定律和机械能守恒定律得 mAV0 VmmmVmm CBABCCB 2 222 0 2 1 2 1 2 1 VmmmVmmVmE CBABCCBAP 3 由式 1 2 3 可得 当弹簧的弹性势能达到最大为 EP 12J 时 物块 A 的速度 V 3 m s 4 二体三次作用过程 问题 所谓 二体三次作用 问题是指系统由两个物体组成 但这两个物体存在三次不同的相互作用过程 求解这 类问题的关键是正确划分三个不同的物理过程 并能弄清这些过程的特点 针对相应的过程应用相应的规律列 方程解题 例 4 如图所示 打桩机锤头质量为 M 从距桩顶 h 高处自由下落 打在质量为 m 的木桩上 且在极短时间内 便随桩一起向下运动 使得木桩深入泥土的距离为 S 那么在木桩下陷过程中泥土对木桩的平均阻力是多 少 分析与解 这是一道联系实际的试题 许多同学对打木桩问题的过程没有弄清楚 加上又不理解 作用时间极短 的含意而酿成错误 其实打木桩问题可分为三个过程 其一 锤头自由下落运动过程 设锤刚与木桩接 触的速度为 V0 则据机械能守恒定律得 Mgh 2 0 2 1 MV 所以 V0 gh2 其二 锤与木桩的碰撞过程 由于作用时间极短 内力远大于外力 动量守恒 设碰后的共同速度为 V 据动量守恒定律可得 MV0 M m V 所以 V mM MV 0 其三 锤与桩一起向下做减速运动过程 设在木桩下陷过程中泥土对木桩的平均阻力为 f 由动能定理 可得 M m gS fS 0 2 2 1 VmM 所以 f M m g SmM ghM 2 7 如图所示 坡道顶端距水平面高度为 h 质量为 m1的小物块 A 从坡道顶端由静止滑下 进入水平面上的滑 道时无机械能损失 为使 A 制动 将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线 M 处的墙上 一端与质量为 m2的档 板 B 相连 弹簧处于原长时 B 恰位于滑道的末端 O 点 A 与 B 碰撞时间极短 碰后结合在一起共同压缩弹簧 已知在 OM 段 A B 与水平面间的动摩擦因数均为 其余各处的摩擦不计 重力加速度为 g 求 M m 1 物块 A 在与挡板 B 碰撞前瞬间速度 v 的大小 2 弹簧最大压缩量为 d 时的弹性势能 Ep 设弹簧处于原长时弹性势能为零 答案 1 2 gh2 2 1 12 12 m ghmm gd mm 解析 1 由机械能守恒定律 有 2 11 1 2 m ghmv 解得 v gh2 2 A B 在碰撞过程中内力远大于外力 由动量守恒 有 112 mvmm v 碰后 A B 一起压缩弹簧 到弹簧最大压缩量为 d 时 A B 克服摩擦力所做的功 12 Wmm gd 由能量守恒定律 有 解得 2 12P12 1 2 mm vEmm gd 2 1 P12 12 m Eghmm gd mm 练习 1 如图所示 C 是放在光滑的水平面上的一块木板 木板的质量为 3m 在木板的上面有两块质量均为 m 的小 木块 A 和 B 它们与木板间的动摩擦因数均为 最初木板静止 A B 两木块同时以方向水平向右的初速度 V0和 2V0在木板上滑动 木板足够长 A B 始终未滑离木板 求 1 木块 B 从刚开始运动到与木板 C 速度刚好相等的过程中 木块 B 所发生的位移 2 木块 A 在整个过程中的最小速度 解 1 木块 A 先做匀减速直线运动 后做匀加速直线运动 木块 B 一直做匀减速直线运动 木板 C 做两段加 速度不同的匀加速直线运动 直到 A B C 三者的速度相等为止 设为 V1 对 A B C 三者组成的系统 由动量 守恒定律得 100 3 2VmmmmVmV 解得 V1 0 6V0 对木块 B 运用动能定理 有 2 0 2 1 2 2 1 2 1 VmmVmgs 解得 50 91 2 0 gVs 2 设木块 A 在整个过程中的最小速度为 V 所用时间为 t 由牛顿第二定律 C AB V0 2V0 对木块 A gmmga 1 对木板 C 3 23 2 2 gmmga 当木块 A 与木板 C 的速度相等时 木块 A 的速度最小 因此有 tggtV 3 2 0 解得 5 3 0 gVt 木块 A 在整个过程中的最小速度为 5 2 010 VtaVV 2 如图所示为三块质量均为 m 长度均为 L 的木块 木块 1 和木块 2 重叠放置在光滑的水平桌面上 木块 3 沿 光滑水平桌面运动并与叠放在下面的木块 2 发生碰撞后粘合在一起 如果要求碰后原来叠放在上面的木块 1 完全移到木块 3 上 并且不会从木块 3 上掉下 木块 3 碰撞前的动能应满 足什么条件 设木块之间的动摩擦因数为 解 设第 3 块木块的初速度为 V0 对于 3 2 两木块的系统 设碰撞后的速度为 V1 据动量守恒定律得 mV0 2mV1 1 对于 3 2 整体与 1 组成的系统 设共同速度为 V2 则据动量守恒定律得 2mV1 3mV2 2 1 第 1 块木块恰好运动到第 3 块上 首尾相齐 则据能量守恒有 3 2 2 1 3 2 1 2 2 1 VmVmmgL 3 由联立方程得 Ek3 6 mgL 1 2 3 4 2 第 1 块运动到第 3 块木块上 恰好不掉下 据能量守恒定律得 3 2 2 1 3 2 1 2 2 1 5 1 VmVmLmg 5 由联立方程得 Ek3 9 mgL 1 2 5 故 mgLEmgL k 96 3 二 课后检测 1 小车 AB 静置于光滑的水平面上 A 端固定一个轻质弹簧 B 端粘有橡皮泥 AB 车质量为 M 长为 L 质量 为 m 的木块 C 放在小车上 用细绳连结于小车的 A 端并使弹簧压缩 开始时 AB 与 C 都处于静止状态 如 图所示 当突然烧断细绳 弹簧被释放 使物体 C 离开弹簧向 B 端冲去 并跟 B 端橡皮泥粘在一起 以下 说法中正确的是 BCD A 如果 AB 车内表面光滑 整个系统任何时刻机械能都守恒 B 整个系统任何时刻动量都守恒 C 当木块对地运动速度为 v 时 小车对地运动速度为 M m v 1 23 V0 D AB 车向左运动最大位移小于 M m L 2 质量为 M 的小车静止在光滑的水平面上 质量为 m 的小球用细绳吊在小车上 O 点 将小球拉至水平位置 A 点静止开始释放 如图所示 求小球落至最低点时速度多大 相对地 的速度 答案 mM MgL 2 3 如图所示 在光滑水平面上有两个并排放置的木块 A 和 B 已知 mA 0 5 kg mB 0 3 kg 有一质量为 mC 0 1 kg 的小物块 C 以 20 m s 的水平速度滑上 A 表面 由于 C 和 A B 间 有摩擦 C 滑到 B 表面上时最终与 B 以 2 5 m s 的共同速度运动 求 1 木块 A 的最后速度 2 C 离开 A 时 C 的速度 答案 1 vA 2 m s 2 vC 4 m s 4 如图所示甲 乙两人做抛球游戏 甲站在一辆平板车上 车与水平地面间摩擦不计 甲与车的总质量 M 100 kg 另有一质量 m 2 kg 的球 乙站在车的对面的地上 身旁有若干质量不等的球 开始车静止 甲将球以速度 v