2019版数学浙江省学业水平考试专题复习选修2-1-§4

知识点一 抛物线的概念 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l l 不经过点 F 距离相等的点的轨迹叫做抛物线 点 F 叫 做抛物线的焦点 直线 l 叫做抛物线的准线 知识点二 抛物线的标准方程与几何性质 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 标准方程 p 的几何意义 焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点O 0 0 对称轴y 0 x 0 焦点 F p 2 0 F p 2 0 F 0 p 2 F 0 p 2 离心率e 1 准线方程 x p 2 x p 2 y p 2 y p 2 范围 x 0 y Rx 0 y Ry 0 x Ry 0 x R 开口方向向右向左向上向下 知识点三 直线与抛物线的位置关系 1 直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似 一般要用到根与系数的关系 2 有关直线与抛物线的弦长问题 要注意直线是否过抛物线的焦点 若过抛物线的焦点 且焦点在x 轴的正半轴 可直接使用公式 AB x1 x2 p 若不过焦点 则必须用一般弦长公 式 3 涉及抛物线的弦长 中点 距离等相关问题时 一般利用根与系数的关系采用 设而不 求 整体代入 等解法 特别提醒 涉及弦的中点 斜率时 一般用 点差法 求解 题型一 抛物线的定义及应用 例 1 已知点 P 是抛物线 y2 2x 上的一个动点 则点 P 到点 A 0 2 的距离与点 P 到该抛物 线的准线的距离之和的最小值为 A B 3 C D 17 25 9 2 答案 A 解析 如图 由抛物线定义知 PA PQ PA PF 则所求距离之和的最小值转化为求 PA PF 的最小值 则当 A P F 三点共线时 PA PF 取得最小值 A 0 2 F 1 2 0 PA PF min AF 0 1 2 2 2 0 2 17 2 感悟与点拨 与抛物线有关的最值问题 一般情况下都与抛物线的定义有关 由于抛物线的 定义在运用上有较大的灵活性 因此此类问题也有一定的难度 看到准线想焦点 看到焦 点想准线 这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径 跟踪训练 1 1 已知 P 是抛物线 x2 4y 上一点 抛物线的焦点为 F 且 PF 5 则点 P 的 纵坐标为 A 5 B 4 C 2 D 1 2 已知点 P 是抛物线 x2 4y 上的动点 点 P 在 x 轴上的射影是点 Q 点 A 的坐标是 8 7 则 PA PQ 的最小值为 A 7 B 8 C 9 D 10 答案 1 B 2 C 解析 1 抛物线的焦点 F 0 1 准线方程为 y 1 设 P m n 则由抛物线的定义 可得 PF d d 为点 P 到准线的距离 故有 n 1 5 解得 n 4 2 抛物线的焦点为 F 0 1 准线方程为 y 1 根据抛物线的定义知 PF PM PQ 1 PA PQ PA PM 1 PA PF 1 AF 1 1 10 1 9 82 7 1 2 当且仅当 A P F 三点共线时 等号成立 则 PA PQ 的最小值为 9 故选 C 题型二 抛物线的标准方程和几何性质 例 2 1 已知抛物线 C 与双曲线 x2 y2 1 有相同的焦点 且顶点在原点 则抛物线 C 的标 准方程是 A y2 2x B y2 2x 2 C y2 4x D y2 4x 2 2 已知抛物线关于 x 轴对称 它的顶点在坐标原点 并且经过点 M 4 2 则它的标准 2 方程为 答案 1 D 2 y2 2x 解析 1 由题意可求得双曲线的焦点坐标为 0 0 22 设抛物线的方程为 y2 2px p 0 则 p 22 所以 p 2 所以抛物线的标准方程为 y2 4x 22 2 由题意可知抛物线的焦点在 x 轴上 设方程为 y2 2px p 0 或 y2 2px p 0 若方程为 y2 2px p 0 则 8 2p 4 得 p 1 故方程为 y2 2x 若方程为 y2 2px p 0 则 8 2p 4 得 p 1 不符合条件 故不成立 所以抛物线的标准方程为 y2 2x 感悟与点拨 1 由抛物线的标准方程 可以首先确定抛物线的开口方向 焦点的位置及 p 的值 再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程 2 求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法 其关键是判断焦点位置 开口方向 在方 程的类型已经确定的前提下 由于标准方程只有一个参数 p 只需一个条件就可以确定抛物 线的标准方程 跟踪训练 2 1 抛物线 y2 2px p 0 的焦点为 F O 为坐标原点 M 为抛物线上一点 且 MF 4 OF MFO 的面积为 4 则抛物线的标准方程为 3 A y2 6x B y2 8x C y2 16x D y2 15x 2 2 若抛物线 y2 2px 的焦点与椭圆 1 的右焦点重合 则该抛物线的准线方程为 x2 9 y2 5 3 已知点 A 4 0 抛物线 C y2 2px 0 p0 y1 y2 t y1y2 t 3 所以 k1 k2 y1 1 x1 1 y2 1 x2 1 y1 1 y2 1 1 y2 1 y2 2 1 1 y1 1 y2 1 1 y1y2 y1 y2 1 1 2 所以 k1 k2是定值 感悟与点拨 1 联立方程解方程组 利用根与系数的关系 设而不求 2 定值问题常见的方法有两种 从特殊入手 求出定值 再证明这个值与变量无关 直接 推理 计算 并在计算推理的过程中消去变量 从而得到定值 跟踪训练 3 1 2018 年 4 月学考 如图 已知抛物线 y x2 1 与 x 轴相交于 A B 两点 P 是该抛物线上位于第一象限内的点 记直线 PA PB 的斜率分别为 k1 k2 求证 k2 k1为定值 过点 A 作 AD PB 垂足为 D 若 D 关于 x 轴的对称点恰好在直线 PA 上 求 PAD 的面 积 证明 由题意得点 A B 的坐标分别为 1 0 1 0 设点 P 的坐标为 P t t2 1 且 t 1 则 k1 t 1 k2 t 1 t2 1 t 1 t2 1 t 1 所以 k2 k1 2 为定值 解 由直线 PA AD 的位置关系知 kAD k1 1 t 因为 AD PB 所以 kAD k2 1 t t 1 1 解得 t 2 因为 P 是第一象限内的点 所以 t 2 由此可得点 P 的坐标为 1 2 联立直线 PB 与 AD 的方程Error 得点 D 的坐标为 2 2 2 2 所以 S PAD AB yP yD 1 1 2 2 2 2 过抛物线 y2 2x 的顶点作互相垂直的两条弦 OA OB 求 AB 的中点的轨迹方程 求证 直线 AB 过定点 解 设直线 OA 的方程为 y kx 则直线 OB 的方程为 y x 1 k 联立直线 OA 与抛物线的方程知 点 A 的坐标为 2 k2 2 k 联立直线 OB 与抛物线的方程知 点 B 的坐标为 2k2 2k 则 AB 的中点 M 的坐标为 1 k2 k2 1 k k 故点 M 的轨迹方程为 x y2 2 证明 由 1 可知 kAB k 1 k k2 1 k2 1 k 1 k k k2 1 则直线 AB 的方程为 y 1 k k k k2 1 x 1 k2 k2 整理得 y k k2 1 x 2 所以直线 AB 过定点 2 0 一 选择题 1 对抛物线 x2 12y 下列判断正确的是 A 焦点坐标是 3 0 B 焦点坐标是 0 3 C 准线方程是 y 3 D 准线方程是 x 3 答案 C 解析 因为 2p 12 所以 3 又因为焦点在 y 轴上 所以焦点坐标是 0 3 准线方程是 p 2 y 3 故选 C 2 抛物线的顶点在坐标原点 焦点与双曲线 1 的一个焦点重合 则该抛物线的标 y2 5 x2 4 准方程可能是 A x2 4y B x2 4y C y2 12x D x2 12y 答案 D 解析 由题意得 c 3 所以抛物线的焦点坐标为 0 3 或 0 3 所以该抛物线的 5 4 标准方程为 x2 12y 或 x2 12y 3 抛物线 x2 4y 上一点 A 的纵坐标为 4 则点 A 与抛物线焦点的距离为 A 2 B 3 C 4 D 5 答案 D 4 动圆的圆心在抛物线 y2 8x 上 且动圆恒与直线 x 2 0 相切 则动圆必过点 A 4 0 B 2 0 C 0 2 D 0 2 答案 B 解析 直线 x 2 0 是抛物线的准线 又动圆圆心在抛物线上 由抛物线的定义知 动圆必 过抛物线的焦点 2 0 5 设 F 为抛物线 C y2 3x 的焦点 过 F 且倾斜角为 30 的直线交 C 于 A B 两点 则 AB 等于 A B 6 C 12 D 7 30 33 答案 C 解析 由题意 得 F 3 4 0 又 k tan 30 3 3 故直线 AB 的方程为 y 3 3 x 3 4 与抛物线 y2 3x 联立 得 16x2 168x 9 0 设 A x1 y1 B x2 y2 由抛物线定义得 AB x1 x2 p 12 故选 C 168 16 3 2 6 设抛物线 y2 2px p 0 的焦点为 F 若 F 到直线 y x 的距离为 则 p 等于 33 A 2 B 4 C 2 D 4 33 答案 B 解析 由抛物线 y2 2px p 0 的焦点为 F p 2 0 F 到直线 y x 的距离为 33 可得 3p 2 3 2 1 23 解得 p 4 故选 B 7 已知直线 l 过抛物线 C 的焦点 且与 C 的对称轴垂直 l 与 C 交于 A B 两点 AB 12 P 为 C 的准线上的一点 则 ABP 的面积为 A 18 B 24 C 36 D 48 答案 C 解析 不妨设抛物线的方程为 y2 2px p 0 依题意 l x 轴 且焦点 F p 2 0 当 x 时 y p AB 2p 12 p 6 p 2 又点 P 到直线 AB 的距离为 p 6 p 2 p 2 故 S ABP AB p 12 6 36 1 2 1 2 8 已知直线 l1 4x 3y 6 0 和直线 l2 x 若抛物线 C y2 2px p 0 上的点到直线 p 2 l1和 l2的距离之和的最小值为 2 则抛物线 C 的方程为 A y2 4x B y2 2x C y2 D y2 x 2 x 3 答案 A 解析 根据抛物线的定义 设抛物线上的点 M x y M 到焦点 F的距离与到 p 2 0 l2 x 的距离相等 则 M 到 l1和 l2的距离之和为 M 到 l1的距离与 MF 之和 最小值为 p 2 F 到 l1的距离 所以 2 4 p 2 3 0 6 5 所以 p 2 故选 A 9 方程 mx ny2 0 与 mx2 ny2 1 m n 0 的曲线在同一坐标系中的示意图应是 答案 A 解析 采用特殊值法 由 m n 0 可取 m n A 项符合题意 B 项错误 取 1 2 1 3 m n 时 排除 C D 故选 A 1 2 1 3 10 已知抛物线 C 的顶点在坐标原点 准线方程为 x 1 直线 l 与抛物线 C 相交于 A B 两点 若线段 AB 的中点坐标为 2 1 则直线 l 的方程为 A y 2x 3 B y 2x 5 C y x 3 D y x 1 答案 A 解析 抛物线 C 的顶点在坐标原点 准线方程为 x 1 1 p 2 p 2 抛物线的方程为 y2 4x 设 A x1 y1 B x2 y2 则Error 两式相减得 y1 y2 y1 y2 4 x1 x2 直线 AB 的斜率 k 2 y1 y2 x1 x2 4 y1 y2 4 2 从而直线 l 的方程为 y 1 2 x 2 即 y 2x 3 二 填空题 11 2016 年 10 月学考 已知抛物线 y2 2px 过点 A 1 2 则 p 准线方程是 答案 2 x 1 12 抛物线 y2 x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 答案 1 8 2 4 解析 设抛物线上点的坐标为 x 此点到准线的距离为 x 到顶点的距离为 x 1 4 由题意有 x x x2 x 2 1 4 x2 x 2 1 8 此点坐标为 1 8 2 4 13 设抛物线 y2 8x 的焦点为 F 准线为 l P 为抛物线上一点 PA l A 为垂足 如果直 线 AF 的斜率为 那么 PF 3 答案 8 解析 如图所示 直线 AF 的方程为 y x 2 与准线方程 x 2 联立得 A 2 4 33 设 P x0 4 代入抛物线 y2 8x 得 8x0 48 x0 6 3 PF x0 2 8 14 已知圆 C x2 y2 8x ay 5 0 经过抛物线 E x2 4y 的焦点 则抛物线 E 的准线与 圆 C 相交所得弦长为 答案 4 6 解析 因为抛物线 x2 4y 的焦点 0 1 在圆 x2 y2 8x ay 5 0 上 所以 02 12 8 0 a 5 0 解得 a 4 所以圆的标准方程为 x 4 2 y 2 2 25 则圆心为 C 4 2 半径为 r 5 则圆心 C 4 2 到抛物线的准线 y 1 的距离为 d 1 所 以所求弦长为 2 2 4 r2 d252 126 三 解答题 15 2018 年 6 月学考 如图 直线 l 不与坐标轴垂直 且与抛物线 C y2 x 有且只有一个 公共点 P 1 当点 P 的坐标为 1 1 时 求直线 l 的方程 2 设直线 l 与 y 轴的交点为 R 过点 R 且与直线 l 垂直的直线 m 交抛物线 C 于 A B 两 点 当 RA RB RP 2时 求点 P 的坐标 解 1 设直线 l 的斜率为 k k 0 则 l 的方程为 y 1 k x 1 联立方程组Error 消去 x 得 ky2 y 1 k 0 由已知可得 1 4k 1 k 0 解得 k 1 2 故所求直线 l 的方程为 x 2y 1 0 2 设点 P 的坐标为 t2 t 直线 l 的斜率为 k k 0 则 l 的方程为 y t k x t2 联方程组Error 消去 x 得 ky2 y t kt2 0 由已知可得 1 4k t kt2 0 得 k t 0 1 2t 所以 点 R 的纵坐标为 t kt2 t 2 从而 点 R 的坐标为 0 t 2 由 m l 可知 直线 m 的斜率为 2t 所以 直线 m 的方程为 y 2tx t 2 设 A x1 y1 B x2 y2 将直线 m 的方程代入 y2 x 得 4t2x2 2t2 1 x 0 t2 4 所以 2t2 1 2 4t4 4t2 1 0 x1x2 1 16 又 RA x1 RB x2 1 4t21 4t2 RP 2 t4 t2 1 4 由 RA RB RP 2 得 1 4t2 x1x2 t4 t2 1 4 即 1 4t2 t4 t2 1 16 1 4 解得 t 1 2 所以 点 P 的坐标为 1 4 1 2 16 2017 年 11 月学考 如图 抛物线 x2