高中文科数学 导数

高中文科数学高中文科数学 导数 陈文彬 导数 陈文彬 导数的定义导数的定义 导数的定义及几何意思和函数单调性的应用判定以及函数的几只问题几何意思和函数单调性的应用判定以及函数的几只问题 当自变量的增量 x x x0 x 0 时函数增量 y f x f x0 与自变量增 量之比的极限存在且有限 就说函数 f 在 x0 点可导 称之为 f 在 x0 点的导数 或变化率 函数 y f x 在 x0 点的导数 f x0 的几何意义 表示函数曲线在 P0 x0 f x0 点的切线斜率 导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率 一般地 我们得出用函数的导数来判断函数的增减性 单调性 的法则 设 y f x 在 a b 内可导 如果在 a b 内 f x 0 则 f x 在这个区间是单调增加的 该点 切线斜率增大 函数曲线变得 陡峭 呈上升状 如果在 a b 内 f x 0 则 f x 在这个区间是单调减小的 所以 当 f x 0 时 y f x 有极大值或极小值 极 大值中最大者是最大值 极小值中最小者是最小值 1 导数的几何意义 导数的几何意义 函数 xfy 在点 0 x处的导数的几何意义就是曲线 xfy 在点 0 xfx处的切线的斜率 也就是说 曲线 xfy 在点 P 0 xfx处的切线的斜率是 0 xf 切线方程为 0 0 xxxfyy 2 导数的四则运算法则 导数的四则运算法则 vuvu 2 1 21 xfxfxfyxfxfxfy nn cvcvvccvuvvuuv c为常数 0 2 v v uvvu v u 3 常见基本初等函数的导数公式常见基本初等函数的导数公式 C 为常数 0C 1 nn xnxnQ sin cos xx cos sin xx xx ee ln 0 1 xx aaa aa 1 ln x x 导数定义导数定义 例例 1 1 在处可导 则 1 1 2 xbax xx xfy1 x a b 思路思路 在处可导 必连续 1 1 2 xbax xx xfy1 x1 lim 1 xf x baxf x lim 1 1 1 f1 ba 2lim 0 x y x a x y x 0 lim2 a1 b 例例 2 2 已知 f x 在 x a 处可导 且 f a b 求下列极限 1 2 h hafhaf h 2 3 lim 0 h afhaf h lim 2 0 例例 3 3 观察 是否可判断 可导的 1 nn nxxxxcos sin xxsin cos 奇函数的导函数是偶函数 可导的偶函数的导函数是奇函数 令 是可导的偶函数 且令 因为 两边同时导 得 即 所以 是奇函数 即可导的偶函 数的导数为奇函数 利用导数证明不等式利用导数证明不等式 例例 4 4 求证下列不等式 1 相减 1 2 1ln 2 22 x x xx x x 0 x 2 相除 x x 2 sin 2 0 x 3 xxxx tansin 2 0 x 证 证 1 2 1ln 2 x xxxf 0 0 f 0 1 1 1 1 1 2 x x x x xf 为上 恒成立 xfy 0 0 x0 xf 2 1ln 2 x xx 1ln 1 2 2 x x x xxg 0 0 g 0 1 4 2 1 1 1 4 244 1 2 2 2 22 x x xx xxx xg 在上 恒成立 xg 0 0 x0 1ln 1 2 2 x x x x 例例 5 5 已知函数 f x ln 1 x x g x xlnx i 求函数 f x 的最大值 ii 设 0 a b 证明 0 g a g b 2g a n a 3 记 n 1 2 求数列 bn 的前 n 项和 Sn ln n n n a b aa 解析 1 是方程 f x 0 的两个根 2 1f xxx 1515 22 2 21fxx 2 1 115 21 21 1 244 2121 nnn nn nnn nn aaa aa aaa aa 有基本不等式可知 当且仅当 5 11 4 21 4212 n n a a 1 1a 2 51 0 2 a 时取等号 同 样 1 51 2 a 2 51 0 2 a 3 51 2 a n 1 2 51 2 n a 3 而 即 1 1 2121 nnn nnn nn aaa aaa aa 1 1 同理 又 2 1 21 n n n a a a 2 1 21 n n n a a a 1 2 nn bb 1 13535 lnln2ln 1235 b 35 2 21 ln 2 n n S 导数与解析几何导数与解析几何 例例 15 已知函数 32 1 2 f xxa xa axb a b R I 若函数 f x的图象过原点 且在原点处的切线斜率是3 求 a b的值 II 若 函数 f x在区间 1 1 上不单调 求a的取值范围 解析 由题意得 2 1 23 2 aaxaxxf 又 3 2 0 0 0 aaf bf 解得0 b 3 a或1 a 函数 xf在区间 1 1 不单调 等价于 导函数 x f 在 1 1 既能取到大于 0 的实数 又能取到小于 0 的实数 即函数 x f 在 1 1 上存在零点 根据零点存在定理 有 0 1 1 ff 即 0 2 1 23 2 1 23 aaaaaa 整理得 0 1 1 5 2 aaa 解得15 a 零点零点 例例 1616 已知a是实数 函数 如果函数在区间上 axaxxf 322 2 xfy 1 1 有零点 求a的取值范围 解 若 显然在上没有零点 所以 0a 23f xx 1 1 0a 令 解得 2 48382440aaaa 37 2 a 当 时 恰有一个零点在上 37 2 a yf x 1 1 当 即时 在 05111 aaff15a yf x 上也恰有一个零点 1 1 当在上有两个零点时 则 yf x 1 1 或 2 0 82440 1 11 2 10 10 a aa a f f 2 0 82440 1 11 2 10 10 a aa a f f 解得或5a 35 2 a 综上所求实数的取值范围是 或 a1a 35 2 a 例例 17 若函数 当时 函数有极值 4 3 bxaxxf2 x xf 3 4 1 求函数的解析式 2 若函数有 3 个解 求实数的取值范围