河海高数ch1习题答案

1 第一章第一章 函数 极限与连续函数 极限与连续 Ex1 函数函数 一 1 2 3 二 1 2 f x 与aaf h x 3 1 1 1 2 1 10 3 2 1 4 2 1 x x xf xxff 5 6 65 2 xxxf 2 2 xxf 7 其定义域为 0 1 x x xf 1 log 2 1 8 偶函数 9 00 01 sgn 2 x x x 2 1 1 1 1 1 2 1 x xx x xF三 46 43108 3112 10 2 2 x xxx xx xx xS四 50525 0 50015 0 xx xx y五 2 12 20 222 nxn nxnnx xf六 11 00 11 1 xx x xx xf 七 八 将 换成 可解方程组得 是奇函数 x x 1 bcx x ac ba xf 22 1 Ex2 数列极限的概念数列极限的概念 一 1 当 n N 时 记为 N lim nAuAu nn n 或 2 只要 取 1 2 1 n 2 1 N 3 只要 取 即有极限 0 999 0 log n 999 0 log N 二 1 C 2 C 3 B 三 1 证 要 N 时 就有 3 4 13 14 2 2 n n 2 证 要 取 nn n2 0 1 2 cos1 2 N 3 3 证 有界 n x MxNnM n 0都有对 又 0lim n n y M yNnN n 都有当对 0 因此 对上述 N 当 n N 时 就有 nny x 0lim nn n yx Ex3 函数极限的概念函数极限的概念 一 1 证 sin 0 1 1 1sin 0 22 x x Xx Xx xx x 就有时则当 故取则有要使得对 0 sin lim x x x 2 证 1 0 1 1 1 1 1 1 0 22 xxXxXx xxx xx 就有时则当故取 则有要使得对 0 1 lim 3 xx x 3 证 1153 20 0 3 3 2 231153 0 xx xxx 就有时则当 故取则有要使得对 4 11 53 lim 2 x x 9 30 01 7 min 7 9 13 3 339 0 4 2 2 2 xx xx xxxx 9lim 2 3 x x 1lim 0 x x x 1lim 0 x x x 不存在 x x x0 lim 三 证 当时 由于 所以对0 A Axf ax lim AAxfax 0 0 0 因此 A afxf Axf Axf Axf 当时 则对 0 A 2 0 0 0 xfax 因此 证毕 xf Ex4 无穷小 大 和极限的计算无穷小 大 和极限的计算 一 见书 P22 二 对于 ax a n n lim 2 2 a axNnN n 又 由此可得证 nn xaax 三 1 A C 2 B D 3 D 5 四 1 证 sin 0 1 1 1sin 0 x x Xx Xx xx x 2 证 9 1 30 7 3 1min 7 3 3 3 1 7 3 9 1 0 13 3 2 2 M x x x M M xM xx x Mxx Ex5 极限运算法则极限运算法则 一 一 1 14 4 lim 74 lim 4 74 lim 3 2 3 01 4 lim 2 3 3 x xx x xx x x x x x 2 0 1 lim 3 lim 1 3 lim 2 3 2 3 04 1 lim 2 2 3 2 3 x x x x x x x x x 3 2 1 247 lim 14 lim 247 14 lim 247 4 lim 2 0 0 2 0 23 2 0 xx x xx x xxx xx x x xx 4 0 13 5 100157 lim 135 100157 lim 42 43 24 3 4 xx xx x xx xx x x x 同同除除以以 分分子子分分母母 5 5 1 1 1 12 lim 54 1 12 lim 2 3 1 24 3 1 xxx xxx xx xxx xx 6 0 5 1 lim 12 lim 5 1 12 lim 2 1 3 1 2 3 1 xx xx xx xx x x x 6 有有界界1 sin n 0 23 1 lim 3 2 n n n 且且 0 sin 23 1 lim 3 2 n n n n 7 2 1 2 1 lim 2 1 1 lim 121 lim 2222 n nnn nn n nn nnn 8 1 1 1 33 lim 1 1 32 n n 上式 9 aah h ahaaha h aha hhh 2 2 lim lim lim 00 22 0 10 nn nnnn nnnn nn 2 2 2 lim 2 lim 1 1 2 1 2 lim 2 2 lim n nn n n n n 同同除除以以 11 1 1 2 lim 1 31 lim 1 3 1 1 lim 2 2 1 3 2 1 3 1 xxx xx x xx x xxxx 1 1 2 lim 1 1 2 1 lim 2 1 2 1 xx x xxx xx xx 12 有有界界 2 1 arctan x 0lim 0 x x 且且0 1 arctanlim x xx 二 二 2 51 2 51 2 51 2 51 2 51 2 51 5 1 2 51 2 51 5 1 22 11 22 11 1 nn nn nn nn n n F F 7 222 211 2 51 2 51 2 51 2 51 2 51 2 51 nnn nnn 2 1 2 51 2 51 1 2 51 2 51 1 2 51 1 n n 1 2 51 2 51 n n n nF F limlim 1 2 1 2 51 2 51 1 2 51 2 51 1 2 51 1 n n Ex6 极限存在准则 两个重要极限极限存在准则 两个重要极限 一 一 7 n n x x n x x nx x e x x x x x x 1 lim 1 lim 1 lim 8 2 cos 8 cos 4 cos 2 coslim n n xxxx n n n n n nn n nx x x xxxxx 2 sin2 sin lim 2 sin2 2 cos 8 cos 4 cos 2 cos 2 sin2 lim 8 若若 原式 原式 1 x x x x x x n n n sin 2 sin 2 lim sin 0 x0 x 二 二 lim lim 00 xhAxg xxxx AxgA AxgxUx 0 0 0 10 0 21 即即 都都有有时时当当 AxhA AxhxUx 20 0 即即 都都有有时时而而当当 Axf AxfAxhxfxgA xUxr xx lim min 0 0 0 21 n n n xn nn n n 1 1 22 三 1lim n n x 四 四 3 11 3 9 2 2 1 9 2 1 1 1 1 1 nn n n nn xx x x xx 1 11 2 1 9 1 2 1 2 1 2 1 nnn n n n xxx x x x n即即时时当当 存存在在单单调调下下降降有有下下界界又又 n n nn xxx lim 3 3 9 2 1 lim A A AAAxn n 有有令令 Ex7 无穷小量的比较无穷小量的比较 9 1 tan lim arctan arctan lim1 00 t t tx x x tx 0 arctan xxx 三 0 2 1 11 11 2 lim 2 1 11 lim2 22 2 0 2 2 0 xxx x x x x x 2 8 4 2 1 lim 4cos1 lim 2 2 0 2 0 x x x x xx 4 2 1 4cos1 2 xx 6 t aa bx aa bt t bxt bx bx 1 limlim 0 aa t at a bb t ln ln lim 0 0ln 1 xaxa x 2 8 1 0 8 2 2 2 33 2 2 22 2 t a kx a x a x axa a x axa a x axaxx Ex8 函数的连续性 一 函数的连续性 一 二 二 0 0 lim 1 lim 00 xxfxf xx 且在且在 x 0 处右连续 又处右连续 又 xxf x lim 1 连续区间为连续区间为 1 1 0 0 10 0 2 1 lim 2 1 lim1 00 xxfxf xx 2 4 1 lim 2 xxf x 2 lim 2 xxf x 2 0lim2 2 kxxf kx 0 1lim 0 xxf x 0 lim 0 kkxxf kkx 0 1 1 10 12 11 xx x x x x xf 0 lim 0 xxf x 1 1lim 1 xxf x 1 1 lim 1lim 11 xxfxf xx 1 1 0 0 1 1 xf 00 0 0 0 0 0 limlim 00lim 00 0 xfxfxfxxfRx fxf xxff xx x Ex9 函数的连续性 二 函数的连续性 二 xxx x x x x 1 1 limln 1ln lim1 1 0 1 0 11 a t a ax axa ax e t t e te ax ee 1ln lim 1 1 lim2 0 3 3 e 0 0 0 cos1 0 0 cos babaf baf xabafaf xfbxaxxf 0 0 bgbfbFagafaF xFxgxfxF 1max 1 0 1 lim Mxfx KAMK XXxfAxf AxfXxX Axf x 课余练习课余练习 二 不妨设二 不妨设 则 则 0 0 0 aan0 0 0 af limxf x 0 0 0 MxfXxXM 所以可取所以可取 由根的存在定理 由根的存在定理 0 11 xfXx 0 1 x 12 使得使得 即证 即证 0 f 阶段练习 函数极限 阶段练习 函数极限 aa nn naan e CAA ba x x n nn n n lnln 1 1 lim 1 lim 3 2 5 3 2 3 6 5 2 21 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 0 11 2 22 22 222 n an Nn a N a n n a n an n a annn a n an 1lim 22 n an n 2 13 1120 1 0 01 1 01 0 1 0 12 的的根根至至少少有有一一个个小小于于即即方方程程 使使个个由由零零点点定定理理至至少少存存在在一一 且且上上连连续续显显然然在在令令证证明明 x x xf ff xxf 五 五 1 由夹逼定理可得证 由夹逼定理可得证 2 3 3 3 3 111111 111 111 3 3 1lim 3 lim nnn nnn cba n cbannn n n nnn n cbacba 3 3 lim 3 3 111 111 111 3 3 1lim nnn n nnn cba n cbannn n cba n cba cba n nnn n nnn n ee 1 1 1 1 lim 3 1 3 3 lim 111 111 1 1 lim 1