数学模型--投掷标枪

数学建模课程设计报告 标枪投掷模型 学 院 专 业 学 号 姓 名 指导教师 成 绩 教师评语 指指导导教教师师签签字字 2014 年 7 月 16 日 数学与统计学院课程设计报告 第 2 页 1 绪 论 1 1 课题的背景 标枪是田径运动的投掷项目之一 对核心力量与大腿手臂力量要求严格 但是实际 上 标球运动并不是一项只靠身体素质就能取得好成绩的运动 除了与选手的比赛状态 有关外 还与选手所采用的技术有关 而本次我们就来研究一下在确定的力量与身高下 求最佳的出手角度 进而再研究通过一定的训练使力量增加 研究力量与出手角度和距 离的关系 建立标枪掷远模型 不考虑阻力 设标枪初速度为 出手高度为 出手角度为 h 与地面夹角 建立投掷距离与 的关系式 计算在确定的 下 计算最 h h 佳出手角度 进而研究出手速度与出手角度的关系 1 2 预备知识 上述问题是最优化问题 首先应该考虑投掷距离与初速度 出手高度和出手角度之 间的关系 这个需要用到一定的物理知识 抛体运动的水平位移和竖直位移的计算方法 在得到这个关系后 进而转化为初速度 出手高度一定的情况下 求解最佳出手角度 2 计算机工具简介 MATLAB 具有非常丰富的图像表达功能 它提供了丰富的作图命令 利用它们可以 容易地画出各种函数的二维或三维曲线图形 可以方便地实现数学计算的结果可视化 从中掌握函数的性质和变化趋势 从而求出模型的最优解 本模型将首先计算出虑投掷 距离与初速度 出手高度和出手角度之间的函数关系式 接着在初速度 出手高度一定 的情况下 找出投掷距离与出手角度之间的关系 然后给出一组具体的初速度和出手高 度 利用 MATLAB 作图工具绘制出投掷距离和出手角度的关系图 从曲线中掌握函数的 变化趋势 最终求出最优解 再对出手角度与出手速度都未知求它们与最远距离的关系 以及出手角度与出手速度的对最远距离的影响关系 3 模型的假设 3 1 模型假设 1 标枪运行的过程中没有任何阻力 2 可以将标枪看作一个质点 数学与统计学院课程设计报告 第 3 页 3 投射角度与投射初速度 是两个相互独立的量 4 设当地的重力加速度为 且取值为 9 8m s 并在投掷的任意点都相等 g 5 标枪运动轨迹在同一平面内 且地面处处水平 6 不考虑标枪的旋转 3 2 符号说明 标枪初速度 在水平方向上的分量 x v 在竖直方向上的分量 y v 重力加速度 g 投射高度 h 出手角度 标枪运行的时间 t 标枪在水平方向的位移 即为投掷距离 x 标枪在竖直方向的位移 y 4 模型的建立与求解 一 在确定的 下计算最佳出手角度 h 由题目所示 再根据物理知识可得 标枪投掷轨迹为一抛物线 且初速度 和出手高 度 一定 因此可以建立一个平面直角坐标系 分别对水平和竖直两个方向进行分析 标h 枪投掷出去后 它在水平方向作匀速直线运动 在竖直方向受重力影响作竖直上抛运动 加速度为 所以标枪的运动轨迹为两个运动的叠加 图像如图 1 所示 g h x y 图 4 1 标枪投掷轨迹图 数学与统计学院课程设计报告 第 4 页 出手时的速度 可以分解为 水平方向 cos x 垂直方向 sin y 则有水平位移和竖直位移分别为 2 cos 1 sin 2 xt yhtgt 消去 有t hxx g y tan cos2 2 22 令方程中的为 0 有 y 2222 2 1 sin2sin22cos 22 h x ggg 2222 2 2 sin2sin22cos 22 h x ggg 舍去负根 有 2222 2 sin2sin22cos 22 h x ggg 取 1 8m 10m s 利用 MATLAB 作图工具绘制出投掷距离和出手角度的关系图 h a 0 0 01 1 57 x 25 sin 2 a 19 6 sqrt 25 sin 2 a 19 6 25 sin 2 a 19 6 360 cos a cos a 9 8 plot a x title 标枪投掷距离与出手角度的关系 xlabel 出手角度 ylabel 投掷距离 grid 结果如图4 2所示 数学与统计学院课程设计报告 第 5 页 图 4 2 标枪投掷距离与出手角度的关系图 由图可知 最大值的坐标为 0 40 6 50 二 研究不同的出手速度 下最佳的出手角度 当 和一定时 研究 的变化对出手角度的影响 便为关于的函数 即 vhv x 2222 2 sin2sin22cos 22 h x ggg 则对求一阶导数为 x 1 242222 2 2 2 cos21sin2 cos22sin2sin22cos 22 vv hh x ggggg 令 有 0 x 4422322422 222 15cos 2 416 cos 2 41516 cos 2 4cos240 ghghg hgh ghg h 解得 2 1 arccos 2 gh ghv 所以在给定出手高度 对于不同的出手速度 为最佳出手角度 2 1 arccos 2 gh ghv 将上式代入 数学与统计学院课程设计报告 第 6 页 2222 2 sin2sin22cos 22 h x ggg 中 得 2 max 2xgh g MatlabMatlab 命令 命令 1 在给定出手速度 v 下要达到最大射程时对应的角度 函数文件 function f fun sv v f 0 5 acos 1 8 9 8 1 8 9 8 v v pi 180 绘出图像 fplot fun sv 0 100 xlabel 速度 V m s ylabel 角度 title v 不同得到最大投掷距离时对应的角度曲线 axis 0 50 0 60 结果如图 4 3 所示 图 4 3 出手速度不同时得到最大投掷距离对应的角度曲线 数学与统计学院课程设计报告 第 7 页 5 模型结果 5 1 模型的评价 标枪的投掷模型在运动员训练比赛中经常能够遇到 在运动员身体条件大致相当的 情况下 该模型具有一定的参考价值结合实际情况对问题进行求解 使得模型具有很好 的通用性和推广性 而且模型的最终计算方法简便 计算过程简单 最终得到结果与理 论基本相符 但是由于条件限制 本模型考虑得是标枪在没有任何阻力的情况下 而实 际情况中都会有一定的阻力 此外 标枪投掷的距离由很多因素决定 重力加速度也会 随地域的不同而变化 我们建立的模型只是简单地研究了这个问题 比起实际问题的复 杂程度 有很多因素没有考虑到 5 2 模型的推广 本模型不仅可以用于标枪投掷问题 还可以推广到其他运动中 运用该模型的目的 就是确定出手角度和最大投掷距离 此外 还可以根据此来引导运动员的一些运动习惯 从而在训练和比赛中队运动员和教练有一定的理论指导意义 结 论 标枪运动作为一个传统的比赛项目 对增强体质 特别是发展躯干和上下肢力量有 显著的作用 如何能够在比赛中取得更好的成绩 是个困扰很多运动员和教练的问题 因此 能够通过数学模型的知识解决这个问题是很有意义的 本模型首先建立了铅球投掷的轨迹图 然后根据物理知识 把该运动分为水平和竖直 两个方向来考虑 计算出虑投掷距离与初速度 出手高度和出手角度之间的函数关系式 接着在初速度 出手高度一定的情况下 找出投掷距离与出手角度之间的关系 然后给 出一组具体的初速度和出手高度 利用 MATLAB 作图工具绘制出投掷距离和出手角度的 关系图 从曲线中掌握函数的变化趋势 最终求出最优解 得到结论是 在 1 8m 10m s 时 出手的角度约为 0 40 约为 23 度 投掷距离h 约为 6 5m 当出手角度为时 标枪投得最远 由图 4 3 得 不同的出手速度 2 1 arccos 2 gh ghv 对应不同的最佳角度 速度不断增加的时候 角度趋于 45 根