锐角三角函数教案

锐角三角函数锐角三角函数 一 知识框架一 知识框架 二 二 知识概念知识概念 1 正弦 余弦 正切的概念 正弦 余弦 正切的概念 如图 在中 1 sinA c a ABCRt 2 cosA c b 3 tanA b a 2 asinacosatana 30 1 2 3 2 3 3 45 2 2 2 2 1 60 3 2 1 2 3 2 坡度 坡比 的概念及表示形式坡度 坡比 的概念及表示形式 如图所示 我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度 l 的比叫做坡度 或坡比 坡度常 用字母 i 表示 斜坡的坡度 阳坡角的正切值有如下关系 即坡度是坡角的正切i l h i tan 值 1 正切与梯子的倾斜程度的关系 的值越大 梯子越陡 Atan 注意 梯子的倾斜程度与梯子和地面的夹角的大小有关 夹角越大说明梯子越倾斜 2 正弦 余弦与梯子的倾斜程度的关系 的值越大 梯子越陡 的值越AsinAcos 小 梯子越陡 3 解直角解直角三角形 三角形 锐角的正弦 余弦和正切都是 的三角函数 直角三角形中 除直角外 共 5 个AA 元素 3 条边和 2 个角 除直角外只要知道其中 2 个元素 至少有 1 个是边 就可利用以 上关系求出另外 3 个元素 4 仰角 俯角仰角 俯角 当从低处观测高处的目标时 视线与水平线所成的锐角 如图所示 为仰角 俯角 当从高处观测低处的目标时 仰角 视线与水平线所成的锐角 如图所示 为俯角 例题 例题 题型一 三角函数的定义题型一 三角函数的定义 例例 1 2015 崇左 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AB 13 BC 12 则下列三角函数表 示正确的是 A A sinA B cosA C tanA D tanB 例例 2 2015 庆阳 在 ABC 中 若角 A B 满足 cosA 1 tanB 2 0 则 C 的大小 是 D A 45 B 60 C 75 D 105 例例 3 2015 牡丹江 在 ABC 中 AB 12 AC 13 cos B 则 BC 边长为 D A 7B 8C 8 或 17D 7 或 17 解答 解 cos B B 45 当 ABC 为钝角三角形时 如图 1 AB 12 B 45 AD BD 12 AC 13 由勾股定理得 CD 5 BC BD CD 12 5 7 当 ABC 为锐角三角形时 如图 2 BC BD CD 12 5 17 故选 D 题型分析 1 对于利用三角函数求线段长度的问题 一般要把这条线段放在一个直角三 角形中来解决 因此必须先构造出以该条线段为边的直角三角形 2 在构造直角三角形时 要善于联系已知 使题目中已知的条件能尽量转化到同一 直角三角形中 并且尽量构造出含特殊角的直角三角形 另外还需注意基本的几何模型 补全基本的几何模型 也是我们作辅助线的一个常用策略 3 对于一个直角三角形 如果知道除直角的另外两个元素 至少含一边 则可以求 出其他三个元素 题型二 坡度的实际应用题型二 坡度的实际应用 例例 1 2014 德州 如图是拦水坝的横断面 斜坡 AB 的水平宽度为 12 米 斜面坡度为 1 2 则斜坡 AB 的长为 B A 4米B 6米C 12米D 24 米 例例 2 2015 巴彦淖尔 如图 一渔船由西往东航行 在 A 点测得海岛 C 位于北偏东 60 的方向 前进 40 海里到达 B 点 此时 测得海岛 C 位于北偏东 30 的方向 则海里 C 到 航线 AB 的距离 CD 是 C A 20 海里B 40 海里C 20海里D 40海里 解答 解 根据题意可知 CAD 30 CBD 60 CBD CAD ACB CAD 30 ACB AB BC 40 海里 在 Rt CBD 中 BDC 90 DBC 60 sin DBC sin60 CD 40 sin60 40 20 海里 故选 C 题型三 利用三角函数求高题型三 利用三角函数求高 例例 1 如图 小山岗的斜坡的坡度是 在与山脚距离的点处测AC 4 3 tan Cm200D 得山顶的仰角为 求小山岗的高 结果取整数 参考数据 A o 6 26AB o 6 26sin 50 0 6 26tan 89 0 6 26cos 45 0 o 分析 设小山岗的高为 则 又在中 AB mx BC AB tan 4 3 ABDRt 而 所以可得关于的方程 解之即可求得 6 26tan BD AB o BCBD200 x AB 解 设小山岗的高为在中 AB mxABCRt 3 4 4 3 tanxBC BC x BC AB 3 4 200 xBCDCBD 在中 ABDRt 6 26tantan BD AB ADB 而 tan26 6 0 50 解得50 0 3 4 200 x x 300 x 答 小山岗的高为AB 300m 点拨 在直角三角形中根据已知的边 角求未知的边 角时 一般要借助锐角三角函数 本题中正确理解坡度 仰角的概念是关键 课堂小测课堂小测 1 2015 余姚市模拟 如图 ABC 的顶点都是正方形网格中的格点 则 cos ABC 等于 A B C D 2 2015 大庆模拟 如图 延长 RT ABC 斜边 AB 到点 D 使 BD AB 连接 CD 若 tan BCD 则 tanA A B 1C D 解答 解 过 B 作 BE AC 交 CD 于 E AC BC BE BC CBE 90 BE AC AB BD AC 2BE 又 tan BCD 设 BE x 则 AC 2x tanA 故选 A 3 2015 滨海县一模 如图 在平面直角坐标系中 P 是 1 的边 OA 上一点 点 P 的坐 标为 3 4 则 sin 1 的值为 C A B C D 4 2015 贵港一模 若一个三角形三个内角度数的比为 1 2 3 那么这个三角形最小角 的正切值为 C A B C D 5 2015 荆门 如图 在 ABC 中 BAC 90 AB AC 点 D 为边 AC 的中点 DE BC 于点 E 连接 BD 则 tan DBC 的值为 A B 1 C 2 D 考点 解直角三角形 等腰直角三角形 菁优网版权所有 分析 利用等腰直角三角形的判定与性质推知 BC AC DE EC DC 然后通过解 直角 DBE 来求 tan DBC 的值 解答 解 在 ABC 中 BAC 90 AB AC ABC C 45 BC AC 又 点 D 为边 AC 的中点 AD DC AC DE BC 于点 E CDE C 45 DE EC DC AC tan DBC 故选 A 点评 本题考查了解直角三角形的应用 等腰直角三角形的性质 通过解直角三角形 可求出相关的边长或角的度数或三角函数值 6 2014 衡阳 如图 一河坝的横断面为等腰梯形 ABCD 坝顶宽 10 米 坝高 12 米 斜 坡 AB 的坡度 i 1 1 5 则坝底 AD 的长度为 D A 26 米B 28 米C 30 米D 46 米 7 2015 衡阳 如图 为了测得电视塔的高度 AB 在 D 处用高为 1 米的测角仪 CD 测 得电视塔顶端 A 的仰角为 30 再向电视塔方向前进 100 米达到 F 处 又测得电视塔顶端 A 的仰角为 60 则这个电视塔的高度 AB 单位 米 为 A 50B 51C 50 1D 101 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 设 AG x 分别在 Rt AEG 和 Rt ACG 中 表示出 CG 和 GE 的长度 然后根据 DF 100m 求出 x 的值 继而可求出电视塔的高度 AH 解答 解 设 AG x 在 Rt AEG 中 tan AEG EG x 在 Rt ACG 中 tan ACG CG x x x 100 解得 x 50 则 AB 50 1 米 故选 C 点评 本题考查了解直角三角形的应用 关键是根据仰角构造直角三角形 利用三角函 数求解 注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法 8 2016 宝山区一模 计算 考点 特殊角的三角函数值 菁优网版权所有 分析 将特殊角的三角函数值代入求解 解答 解 原式 点评 本题考查了特殊角的三角函数值 解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数 值 9 2016 重庆模拟 如图 在锐角三角形 ABC 中 AB 10 AC 2 sinB 1 求 tanC 2 求线段 BC 的长 考点 解直角三角形 勾股定理 菁优网版权所有 分析 1 过点 A 作 AD BC 于 D 根据已知条件可得出 AD 再利用勾股定理得出 CD 进而得出 tanC 2 在 Rt ABD 中 利用勾股定理求出 BD 8 结合 CD 的长度 即可得出 BC 的长 解答 解 1 如图 过点 A 作 AD BC 于 D 在 Rt ABD 中 AB 10 sinB AD 6 在 Rt ACD 中 由勾股定理得 CD2 AC2 AD2 CD2 2 2 62 16 CD 4 tanC 2 在 Rt ABD 中 AB 10 AD 6 由勾股定理得 BD 8 由 1 得 CD 4 BC BD CD 12 点评 本题考查了解直角三角形以及勾股定理 要熟练掌握好边角之间的关系 课后小测 1 2014 杭州模拟 如图 将宽为 1cm 的纸条沿 BC 折叠 使 CAB 45 则折叠后重叠 部分的面积为 A cm2B cm2C cm2D cm2 解答 解 如图 由题可知 ABC 是一个顶角为 45 的等腰三角形 即 A 45 AC AB 作 CD AB 垂足为 D 则 CD 1 sin A AB S ABC AB CD 折叠后重叠部分的面积为cm2 故选 D 2 2016 徐汇区一模 计算 4sin45 2tan30 cos30 解答 解 原式 4 2 2 1 2 2 1 3 2016 奉贤区一模 计算 sin45 cos230 2sin60 考点 特殊角的三角函数值 菁优网版权所有 分析 先把各特殊角的三角函数值代入 再根据二次根式混合运算的法则进行计算即 可 解答 解 原式 2 2 1 点评 本题考查的是特殊角的三角函数值 熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的 关键 4 2015 湖北 如图 AD 是 ABC 的中线 tanB cosC AC 求 1 BC 的长 2 sin ADC 的值 考点 解直角三角形 菁优网版权所有 分析 1 过点 A 作 AE BC 于点 E 根据 cosC 求出 C 45 求出 AE CE 1 根据 tanB 求出 BE 的长即可 2 根据 AD 是 ABC 的中线 求出 BD 的长 得到 DE 的长 得到答案 解答 解 过点 A 作 AE BC 于点 E cosC C 45 在 Rt ACE 中 CE AC cosC 1 AE CE 1 在 Rt ABE 中 tanB 即 BE 3AE 3 BC BE CE 4 2 AD 是 ABC 的中线 CD BC 2 DE CD CE 1 AE BC DE AE ADC 45 sin ADC 点评 本题考查的是解直角三角形的知识 正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关 键 注意锐角三角函数的概念的正确应用 5 中考题 如图 在 ABC 中 BAC 60 ABC 90 直线 l1 l2 l3 l1与 l2之间距离 是 1 l2与 l3之间距离是 2 且 l1 l2 l3分别经过点 A B C 则边 AC 的长为 考点 相似三角形的判定与性质 平行线之间的距离 勾股定理 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 过点 B 作 EF l2 交 l1于 E 交 l3于 F 在 Rt ABC 中运用三角函数可得 易证 AEB BFC 运用相似三角形的性质可求出 FC 然后在 Rt BFC 中运用 勾股定理可求出 BC 再在 Rt ABC 中运用三角函数就可求出 AC 的值 解答 解 如图 过点 B 作 EF l2 交 l1于 E 交 l3于 F 如图 BAC 60 ABC 90 tan BAC 直线 l1 l2 l3 EF l1 EF l3 AEB BFC 90 ABC 90 EAB 90 ABE FBC BFC AEB EB 1 FC 在 Rt BFC 中 BC 在 Rt ABC 中 sin BAC AC 故答案为 战术指导 解题方法解题方法 1 求三角函数时先确定合适的直角三角形 然后再根据三角函数求对应边的比 2 数形结合思想 已知锐角的一个三角函数值求其它三角函数值 一般要画出图形 设未知数 再根据定义求解 当已知中没有直角三角形时 一般通过做辅助线将斜三角形 转化为直角三角形 再求三角函数 3 用三角函数解题时 若题中没有直角三角形 则要先构造直角三角形 4 比较同名三角函数值的大小时 可以利用三角函数的增减性来比较 当为A 锐角时 随的增大而增大 随的增大而增大 随的增大而AtanA AsinA AcosA 减小 总结 1 2015 日照 如图 在直角 BAD 中 延长斜边 BD 到点 C 使 DC BD 连接 AC 若 tanB 则 tan CAD 的值 A B C D 考点 解直角三角形 菁优网版权所有 分析 延长 AD 过点 C 作 CE AD 垂足为 E 由 tanB 即 设 AD 5x 则 AB 3x 然后可证明 CDE BDA 然后相似三角形的对应边成比例可得 进而可得 CE x DE 从而可求 tan CAD 解答 解 如图 延长 AD 过点 C 作 CE AD 垂足为 E tanB 即 设 AD 5x 则 AB 3x CDE BDA CED BAD CDE BDA CE x DE AE tan CAD 故选 D 点评 本题考查了锐角三角函数的定义 相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性 质 是基础知识要熟练掌握 解题的关键是 正确添加辅助线 将 CAD 放在直角三角形 中 2 2015 济宁 如图 斜面 AC 的坡度 CD 与 AD 的比 为 1 2 AC 3米 坡顶有 旗杆 BC 旗杆顶端 B 点与 A 点有一条彩带相连 若 AB 10 米 则旗杆 BC 的高度为 A 5 米 B 6 米 C 8 米 D 3 米 考点 解直角三角形的应用 坡度坡角问题 菁优网版权所有 分析 设 CD x 则 AD 2x 根据勾股定理求出 AC 的长 从而求出 CD AC 的长 然 后根据勾股定理求出 BD 的长 即可求出 BC 的长 解答 解 设 CD x 则 AD 2x 由勾股定理可得 AC x AC 3米 x 3 x 3 米 CD 3 米 AD 2 3 6 米 在 Rt ABD 中 BD 8 米 BC 8 3 5 米 故选 A 点评 本题考查了解直角三角形的应用 坡度坡角问题 找到合适的直角三角形 熟练运 用勾股定理是解题的关键 3 2014 安顺 如图 在 Rt ABC 中 C 90 A 30 E 为 AB 上一点且 AE EB 4 1 EF AC 于 F 连接 FB 则 tan CFB 的值等于 A B C D 考点 锐角三角函数的定义 菁优网版权所有 分析 tan CFB 的值就是直角 BCF 中 BC 与 CF 的比值 设 BC x 则 BC 与 CF 就可 以用 x 表示出来 就可以求解 解答 解 根据题意 在 Rt ABC 中 C 90 A 30 EF AC EF BC AE EB 4 1 5 设 AB 2x 则 BC x AC x 在 Rt CFB 中有 CF x BC x 则 tan CFB 故选 C 点评 本题考查锐角三角函数的概念 在直角三角形中 正弦等于对比斜 余弦等于邻 边比斜边 正切等于对边比邻边 4 2014 深圳 小明去爬山 在山脚看山顶角度为 30 小明在坡比为 5 12 的山坡上走 1300 米 此时小明看山顶的角度为 60 求山高 A 600 250米 B 600 250 米 C 350 350米 D 500米 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 解直角三角形的应用 坡度坡角问题 菁优网版权所有 专题 几何图形问题 分析 构造两个直角三角形 ABE 与 BDF 分别求解可得 DF 与 EB 的值 再利用图形 关系 进而可求出答案 解答 解 BE AE 5 12 13 BE AE AB 5 12 13 AB 1300 米 AE 1200 米 BE 500 米 设 EC x 米 DBF 60 DF x 米 又 DAC 30 AC CD 即 1200 x 500 x 解得 x 600 250 DF x 600 750 CD DF CF 600 250 米 答 山高 CD 为 600 250 米 故选 B 点评 本题考查俯角 仰角的定义 要求学生能借助坡比 仰角构造直角三角形并结合 图形利用三角函数解直角三角形 5 2014 绵阳 如图 一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 30 方向 距离灯塔 80 海里的 A 处 它沿正南方向航行一段时间后 到达位于灯塔 P 的南偏东 45 方向上的 B 处 这时 海轮 所在的 B 处与灯塔 P 的距离为 A 40海里B 40海里C 80 海里D 40海里 考点 解直角三角形的应用 方向角问题 菁优网版权所有 专题 几何图形问题 分析 过点 P 作垂直于 AB 的辅助线 PC 利三角函数解三角形 即可得出答案 解答 解 过点 P 作 PC AB 于点 C 由题意可得出 A 30 B 45 AP 80 海里 故 CP AP 40 海里 则 PB 40 海里 故选 A 点评 此题主要考查了方向角问题以及锐角三角函数关系等知识 得出各角度数是解题 关键 6 2013 德阳 如图 热气球的探测器显示 从热气球 A 看一栋高楼顶部 B 的仰角为 30 看这栋高楼底部 C 的俯角为 60 热气球 A 与高楼的水平距离为 120m 这栋高楼 BC 的高 度为 A B C D 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 菁优网版权所有 分析 过 A 作 AD BC 垂足为 D 在直角 ABD 与直角 ACD 中 根据三角函数的定 义求得 BD 和 CD 再根据 BC BD CD 即可求解 解答 解 过 A 作 AD BC 垂足为 D 在 Rt ABD 中 BAD 30 AD 120m BD AD tan30 120 40m 在 Rt ACD 中 CAD 60 AD 120m CD AD tan60 120 120m BC BD CD 40 120 160m 故选 D 点评 本题主要考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题 难度适中 对于一般三角形 的计算 常用的方法是利用作高线转化为直角三角形的计算 7 2013 聊城 河堤横断面如图所示 堤高 BC 6 米 迎水坡 AB 的坡比为 1 则 AB 的长为 A 12 米B 4米C 5米D 6米 考点 解直角三角形的应用 坡度坡角问题 菁优网版权所有 分析 根据迎水坡 AB 的坡比为 1 可得 1 即可求得 AC 的长度 然后 根据勾股定理求得 AB 的长度 解答 解 Rt ABC 中 BC 6 米