数学分析12教学大纲

数学分析 12 课程教学大纲 一 课程说明 1 课程基本情况 课程名称 数学分析 12 英文名称 Mathematical Analysis 课程编号 2411204 开课专业 数学与应用数学专业 开课学期 第 2 学期 学分 周学时 6 6 课程类型 专业基础课 2 课程性质 本课程在该专业的地位作用 数学分析 12 是数学专业的基础学科 是数学与应用数学 信息与计算 科学 统计学三个专业的一门重要的核心课程 以不定积分 定积分 无穷级 数 反常积分 傅立叶级数与傅立叶变换为基本内容 是学生学习分析学系列 课程及其后继课程的重要基础 在第 2 学期开设 本课程的教学 对锻炼和提 高学生的思维能力 培养学生掌握分析问题和解决问题的思想方法有重要的意 义 它不仅关系到能否学好后续课程 对学生未来的发展也将产生重大影响 3 本课程的教学目的和任务 本课程是进一步学习复变函数论 微分方程 微分几何 实变函数论 概 率论 拓扑学 泛函分析等后继课程的阶梯 也为深入理解中学数学打下必要 的基础 与中学数学的许多内容 如实数系 函数 方程 不等式 极值 面 积 体积 弧长等有着密切的联系 通过本课程的学习 使学生掌握不定积分 定积分 无穷级数 反常积分 傅立叶级数与傅立叶变换等基本内容 为学习数学分析 3 及分析学系列课程 复变函数 实变函数 微分方程 泛函分析等 及其后继课程打好基础 并 自然地渗透对学生进行逻辑和数学抽象的特殊训练 达到如下目的 1 通过对贯穿数学分析始终的极限思想和方法的教学 使学生弄清不变与变 有限与无限 特殊与一般的辩证关系 进一步培养他们的辩证唯物主义观 2 使学生正确理解数学分析的基本概念 牢固地掌握数学分析中的基本理 论和基本方法 逐步提高他们抽象思维和逻辑推理的能力 培养他们熟练的演 算技能和初步应用的能力 为进一步学习其它课程打下基础 4 本课程与相关课程的关系 教材体系特点及具体要求 本课程是高等院校数学系的数学与应用数学专业的一门重要基础课 它的 任务是使学生获得不定积分 定积分 无穷级数 反常积分 傅立叶级数与傅 立叶变换等方面的系统知识 它一方面为后继课程如微分方程 复变函数 微分几何 实变函数 与泛 函分析 概率论等等基础课及有关选修课提供所需的基础 同时还为培养学生 的独立工作能力提供必要的训练 学生学好这门课程的基本内容和方法 对今 后的学习 研究和应用都具有关键性的作用 通过系统的学习与严格的训练 全面掌握数学分析的基本理论知识 培养 严格的逻辑思维能力与推理论证能力 具备熟练的运算能力与技巧 提高建立 数学模型 并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力 5 教学时数及课时分配 学时数 章 专题 主要内容 总学时理论习题 第六部分不定积分 12102 第七部分定积分 20164 第八部分定积分的应用及近似计算 12102 第九部分数项级数 20164 第十部分反常积分 12102 第十一部分函数项级数与幂级数 18162 第十二部分傅里叶级数和傅里叶变换 14122 合计 108 二 教材及主要参考书 1 复旦大学数学系陈传璋等编 数学分析 上 下册 第三版 高等教 育出版社 2007 年 4 月 2 华东师大数学系编 数学分析 上 下册 第三版 高等教育出版社 2001 年 6 月 3 刘玉琏等编 数学分析 上 下册 第五版 高等教育出版社 2008 年 4 月 4 菲赫金哥尔兹编 北京大学高等数学教研室译 微积分学教程 人民教 育出版社 1954 年 5 卢丁著 赵慈庚 蒋铎译 数学分析原理 高等教育出版社 1979 年 6 林源渠 方企勤编 数学分析解题指南 北京大学出版社 2003 年 11 月 7 吉米多维奇编 费定晖编审 郭大均主审 数学分析习题集题解 一 二 三 四 五 六 山东科学技术出版社 1980 年 12 月 8 苏维宜 近代分析引论 北京大学出版社 2000 年 1 月 三 教学方法和教学手段说明 本课程以讲授法为主 在理论讲授中应注重理论与实践的结合 要注重已 有的基础理论知识在设计算法中进行分析 改进的常用方法的传授 对较抽象 的理论知识传授要尽量做到深入浅出 微积分理论的产生离不开物理学 天文 学 几何学等学科的发展 具体在数学分析的教学中 应强化微积分与相邻学 科之间的联系 强调应用背景 充实理论的应用性内容 教学过程中除体现本 课程严格的逻辑体系外 也要反映现代数学的发展趋势 吸收和采用现代数学 的思想观点与先进的处理方法 提高学生的数学修养 另外 还可以采用多媒体教学手段 结合具体的应用实例 组织和指导学 生进行研究 讨论 探求最佳算法的学习方式 四 成绩考核办法 本课程是一门考试课程 考核以笔试为主 闭卷 主要考核学生对基础理论 基本概念的掌握程度 以及学生逻辑推理能力和计算能力 成绩考核办法按学 校教务处的相关规定执行 五 教学内容 第六部分 不定积分 12 学时 一 教学目的 1 理解基本概念 2 掌握各种积分方法和技巧 二 教学重点 换元积和分部积分法 三 教学难点 积分技巧 四 讲授要求 1 理解原函数与不定积分的概念及其关系 掌握不定积分的性质 掌握原 函数存在性定理 2 熟练掌握不定积分的基本公式 3 熟练掌握不定积分的第一换元法 掌握第二换元法 4 熟练掌握不定积分的分部积分法 5 会求简单有理函数的不定积分 五 讲授要点 1 不定积分的概念原函数与不定积分的定义 原函数存在定理 不定积分 的性质 2 基本积分公式 3 换元积分法第一换元法 第二换元法 4 分部积分法 5 一些简单的有理函数和可化为有理函数的积分 第七部分 定积分 20 学时 一 教学目的 1 熟练掌握定积分概念和性质 2 掌握可积性判断方法 变动上限定积分的定义和性质 3 较好运用牛顿 莱布尼兹公式 换元积分法和分部积分法计算一些 定积分 二 教学重点 函数可积性 微积分学基本定理 三 教学难点 函数可积性 微积分学基本定理 四 讲授要求 1 理解定积分的概念及其几何意义 掌握定积分的积分和 上和 下和的 概念 定积分可积的充分条件 必要条件和充要条件 2 掌握定积分的基本性质 3 掌握变上限定积分是变上限的函数 熟练掌握对变上限定积分的求导方 法 4 熟练掌握牛顿 莱布尼茨公式 5 熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法 五 讲授要点 1 定积分的概念 理解达布上和 达布下和的定义和性质 定积分的定义 及几何意义 可积的必要条件和充分条件 可积函数类 2 定积分的性质 3 微积分学基本定理 牛顿 莱布尼兹公式 变动上限定积分 4 换元积分法与分部积分法 5 泰勒公式的积分型余项 第八部分 定积分的应用及近似计算 12 学时 一 教学目的 1 掌握定积分的几何应用及在物理上的某些应用 在应用中逐渐掌握 微 元法 2 了解定积分在物理功 液体压力 重心及经济生活中平均值 利润函数 投资 资本形成的一些应用 二 教学重点 微元法 三 教学难点 微元法 四 讲授要求 1 掌握定积分在几何计算平面图形的面积 2 掌握旋转体的体积 曲线的弧长 旋转曲面的面积的计算 3 掌握定积分在物理上计算压力 功 重心等简单应用 五 讲授要点 1 掌握定积分在几何计算平面图形的面积 2 掌握定积分在几何计算旋转体的体积 曲线的弧长 旋转曲面的面积 3 掌握定积分在物理上计算压力 功 重心等简单应用 第九部分 数项级数 20 学时 一 教学目的 1 掌握数项级数收敛的定义 2 掌握正项数项级数及交错级数的收敛与发散的判断方法 3 了解收敛级数 绝对收敛级数与条件收敛级数的性质 4 掌握无穷级数敛散性及其判别法 二 教学重点 级数部分和极限以及正项级数收敛判别法 三 教学难点 级数部分和极限以及正项级数收敛判别法 四 讲授要求 1 掌握数项级数的概念 级数的收敛与发散 级数的基本知识 级数收敛 的必要条件 2 熟练掌握正项级数敛散性的比较判别法和比值判别法 3 掌握一般项级数 交错级数 绝对收敛 条件收敛的概念 4 掌握交错级数收敛的莱布尼兹判别法 了解任意项级数收敛的阿贝尔判 别法和狄里克莱判别法 五 讲授要点 1 数项级数的概念 级数的收敛与发散 级数的基本知识 级数收敛的必 要条件 2 正项级数敛散性判别法 比较判别法 比值判别法 3 一般项级数 交错级数 绝对收敛 条件收敛 莱布尼兹判别法 积分 判别法 阿贝尔判别法 狄里克莱判别法 第十部分 反常积分 12 学时 一 教学目的 1 掌握反常积分的定义 2 会用比较判别法 柯西判别法讨论反常积分的敛散性 3 了解狄利克雷判别法与阿贝尔判别法 4 掌握无穷积分和瑕积分的敛散性判别法 二 教学重点 反常积分 敛散性判别法 三 教学难点 反常积分 敛散性判别法 四 讲授要求 1 理解无穷积分和瑕积分的概念及几何意义 2 掌握非负函数无穷积分收敛性和比较判别法 了解阿贝尔和狄里克莱判 别法 3 掌握瑕积分收敛性判别法和无穷积分和瑕积分的敛散性判别法 了解阿 贝尔和狄里克莱判别法 五 讲授要点 1 反常积分的概念 2 无穷积分的收敛性与判别法 3 瑕积分的收敛性与判别法 第十一部分 函数项级数与幂级数 18 学时 一 教学目的 1 理解函数列 函数项级数的收敛及一致收敛的定义 关系和性质 2 掌握判别函数项级数一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法 了解一致收敛的 阿贝尔判别法和狄里克莱判别法 3 掌握收敛域 理解函数列的极限函数 函数项级数的和函数的分析性质 4 理解幂级数 泰勒级数的定义及性质 5 会求幂级数的收敛半径和收敛范围 6 熟练掌握一些初等函数的幂级数展开式 7 会用 直接 和 间接 的方法将某些函数展开成幂级数 会求某些幂 级数的和函数 8 了解幂级数在近似计算上的应用 二 教学重点 1 极限函数与和函数的分析性质 2 幂级数的求和 函数展为幂级数 三 教学难点 1 函数项级数一致收敛一致收敛概念 2 幂级数的求和 函数展为幂级数 四 讲授要求 1 掌握函数列及其一致收敛性概念 2 掌握函数项级数及其一致收敛性概念 3 掌握一致收敛性 M 判别法 了解阿贝尔判别法和狄里克莱判别法 4 掌握一致收敛函数列与函数项级数的性质 5 理解幂级数的概念 熟练掌握幂级数的收敛区间和收敛半径 6 掌握幂级数的性质 会幂级数的运算 7 掌握简单初等函数的幂级数的展开 五 讲授要点 1 函数列及其一致收敛性 2 函数项级数及其一致收敛性 3 函数项级数的一致收敛性判别法 4 一致收敛函数列与函数项级数的性质 5 幂级数的概念 幂级数的收敛区间和收敛半径 幂级数的展开 6 幂级数的性质 幂级数的运算 7 幂级数的展开 第十二部分 傅里叶级数和傅里叶变换 14 学时 一 教学目的 1 理解三角级数正交性 傅里叶级数的概念 掌握傅里叶系数的求法 2 了解傅里叶级数收敛定理 会将一些基本函数展开成傅里叶级数 3 对 Fourier 变换与 Fourier 积分有一个初步的了解 二 教学重点 将函数展为傅里叶级数 三 教学难点 Fourier 级数的收敛性定理的证明 四 讲授要求 1 了解三角级数 正交函数系 函数的傅里叶级数