立体几何中的外接内切球

A B C D 立体几何中的外接内切球 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上 那么称这个多面体是球的 内接多面体 这个球称为多面体的外接球 有关多面体外接球的问题 是立体 几何的一个重点 也是高考考查的一个热点 考查学生的空间想象能力及归纳 能力 研究多面体的外接球问题 既要运用多面体的知识 又要运用球的知识 并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系 而多面体外 接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作业 本专题主要讨论补形法 和轴截面法 补形法补形法 情况一 若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直 且其长度分别为 则就可以将这个三棱锥补成一个长方体 于是长方体的体对角线的abc 长就是该三棱锥的外接球的直径 设其外接球的半径为 则有R 222 2Rabc 情况二 若出现对边相等 一般也是构造长方体 再利用 222 2Rabc 此类题重点要找出三边 cba 例 1 已知点 A B C D 在同一个球面上 则外接球的体积是 8 132 6 ADACABDCBCBCDAB若平面 解析 如图 易得 22 2 13 64BC 则此球内接长 22 862 7BD 12CD 方体三条棱长为 AB BC CD CD 的对边与 CD 等长 从而球外接圆的直径为 222 264 12 8R 即 4 R 例 2 如图 已知球 O 点面上四点 A B C D DA平面 ABC ABBC DA AB BC 则球 O 的体积等于 3 解析 本小题主要考查球的内接几何体体积计算问题 其关键是找出球 心 从而确定球的半径 由题意 三角形 DAC 三角形 DBC 都是直 角三角形 且有公共斜边 所以 DC 边的中点就是球心 到 D A C B 四点距离相等 所以球的半径就是线段 DC 长度的一半 例 3 在正三棱锥中 分别是棱 的中点 且ABCS MNSCBC 若侧棱 则正三棱锥外接球的表面积是 AMMN 32 SAABCS A B C D 12 32 36 48 解析 正三棱锥对棱互相垂直 即 又SB MN 且 SBAC AMMN 从而 以为顶点 将三棱锥补成AMSB SACSB面 90BSAS 一个正方体 故球的直径 即 SAR 323 R 364 2 RS 例 4 在四面体中 则四面体ABCD6 4 5ABCDACBDADBC 的外接球的表面积为 ABCD 答案 解析 构造一个长方体 使得它的三条面对角线分别为 4 5 6 设 长方体的三条边分别为 则 而长方体的外接球就是四 x y z 222 77 2 xyz 面体的外接球 所以 2 77 4 2 SR 练习题 1 一个三棱锥 P ABC 的三条侧棱 PA PB PC 两两互相垂直 且长度分别为 1 3 则这个三棱锥的外接球的表面积为 6 A 16 B 32 C 36 D 64 答案 A 2 在三棱锥 A BCD 中 侧棱 AB AC AD 两两垂直 ABC ACD ADB 的面 积分别为 则三棱锥 A BCD 的外接球的体积为 2 6 2 3 2 2 3 三棱锥 P ABC 中 PA PB PC 两两垂直 如果此三棱锥外接球的表面积为 9 那么 PA PB PA PC PB PC 的最大值为 A B C 9 D 18 4 9 2 9 轴轴截截面面法法 我们选择最佳角度找出含有找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截 面面圆 于是该圆的半径就是所求的半径 把立体几何问题转化为平面几 何问题来研究 这种等价转化的思想是我们应该研究的重点 例 1 已知四面体正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为 点 2 S A B C D都在同一个球面上 则该球的体积为 审题导引 如图所示 根据对称性 只要在四棱锥的高线SE上找到一个点O 使得OA OS 则四棱锥的五个顶点就在同一个球面上 规范解答 如图所示 在 Rt SEA中 SA AE 1 故SE 1 设球 2 的半径为r 则OA OS r OE 1 r 在 Rt OAE中 r2 1 r 2 1 解得 r 1 即点O即为球心 故这个球的体积是 4 3 例 2 已知四面体在同一球面上 且 当四面体ABCD2 BCAB2 AC 的体积最大时且为 求球的表面积 ABCD 3 2 解析 2 2ABBCAC ABC 是直角三角形 ABC 的外接圆的 圆心是边 AC 的中点 O1 如图所示 若使四面体 ABCD 体积的最大值只需使点 D 到 平面 ABC 的距离最大 又 1 OO 平面 ABC 所以点 D 是直线 1 OO与球的交点 设 球的半径为 R 则由体积公式有 1 2O D 在 1 Rt AOO 中 22 1 2 RR 解得 5 4 R 25 4 O S 球的表面积 故选 C 1 已知球 O 点面上四点 A B C D DA平面 ABC ABBC DA AB BC 3 则球 O 的体积等于 2 已知四棱锥 V ABCD 的顶点都在同一球面上 底面ABCD 为矩形 AC BD G VG 平面 ABCD AB 则该球的33 体积为 36 A 9 B 312 C 3 4 D 内切圆 内切圆 等体积法等体积法 例 1 设棱锥的底面是正方形 且 如果ABCDM MDMA ABMA 的面积为 1 试求能够放入这个棱锥的最大球的半径 AMD 解 解 平面 ABMAABADAB MAD 由此 面面 记是的中点 MADACEAD 从而 平面 ADME MEACEFME 设球是与平面 平面 平面都相切的球 如图OMADACMBC 2 得截面图及内切圆MEF O 不妨设平面 于是是的内心 OMEFOMEF 设球的半径为 则 设 Or MFEMEF S r MEF 2 aEFAD 1 AMD S 2 2 2 2 a aMF a EM12 222 2 22 2 2 2 a a a a r 当且仅当 即时 等号成立 a a 2 2 a 当时 满足条件的球最大半径为 2 MEAD12 练习 1 一个正四面体内切球的表面积为 求正四面体的棱长 答案为 3 2 2 2 在底面半径为 3 高为 4 2的圆柱形有盖容器内 放入一个半径为33 的大球后 再放入与球面 圆柱侧面及上底面均相切的小球 则放入小球 的个数最多为 A 4 B 5 C 6 D 7 作业 作业 1 1 已知三棱柱 ABC A1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上 若 AB 3 AC 4 AB AC AA1 12 则球 O 的半径为 A B C D 3 17 2 2 10 13 2 3 10 2 2 将一个气球的半径扩大 1 倍 它的体积扩大到原来的 A 2 倍B 4 倍C 8 倍D 16 倍 3 3 用与球心距离为 1 的平面去截球 所得的截面面积为 则球的体积为 A B C D 图 2 4 4 球的表面积与它的内接正方体的全面积之比为 A B C D 1 5 5 将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球 则这个球的表面积为 A 2 B 4 C 8 D 16 6 6 已知三棱柱 ABC A1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上 若 AB 3 AC 4 AB AC AA1 12 则球 O 的半径为 A B C D 7 7 已知三棱锥P ABC中 PA PB PC两两垂直 PA PB 2PC 2a 且三棱 锥外接球的表面积为S 9 则实数a的值为 A 1 B 2C D 2 1 2 8 8 半径为 5的球面上有三个点A B C 若AB 6 BC 8 AC 10 经过 2 这 3 个点作截面 那么球心到截面的距离为 A 4 B 4 C 5 D 9 2 9 9 已知三棱锥的三视图如图所示 则它的外接球表面积为 A 16 B 8 C 4 D 2 1010 已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上 ABC 是边长为 1 的正 三角形 SC 为球 O 的直径 且 SC 2 则此棱锥的体积为 A B C D 2 6 3 6 2 3 2 2 二 填空题二 填空题 1 1 如图 已知球 O 的面上四点 A B C D DA 平面 ABC AB BC DA AB BC 则球 O 的体积等于 2 2 已知点A B C在球心为O的球面上 ABC的内角A B C所对边的长分 别为a b c 且a2 b2 c2 bc a 球心O到截面ABC的距离为 32 则该球的表面积为 3 3 过正四面体外接球球心的平面截正四面体所得截面如图所示 图中三角形面 积为 2 则正四面体棱长为 2 4 4 给出下列命题 一个球与棱长为的正方体的所有棱都相切 则此球的体积为 2 4 3 若 2 则实数a 1 lim n 1 a an 1 1 a 2 2 已知函数f x ln x2 1 则方程f x 0 在 1 2 内必有实根 圆 x 2 2 y2 2 外的点M对该圆的视角为 90 时 则点M的轨迹方程是 x 2 2 y2 4 其中正确的命题序号是 5 5 过半径为 2 的球O表面上一点A 作球O的截面 若OA与该截面所成的角 为 30 则该截面的面积为 6 6 已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面边长AB 6 侧棱长AA1 2 它的外 7 接球的球心为O 点E是AB的中点 点P是球O的球面上任意一点 有以下判 断 1 PE长的最大值