中考专题几何综合之旋转专题

文档鉴赏 第四讲 旋转专题 例题 1 点在同一直线上 点在直线的同侧 直线交于点 BCE AD CEAEBD F D ECB FA A F BC D E E DC B F A A F Q B C D E E D C B Q F A 1 如图 若 则 如图 若 则60BAC AFB 90BAC AFB 2 如图 若 则 用含的式子表示 BAC AFB 3 将图 中的绕点旋转 点不与点重合 得图 或图 在图 中 与ABC CFAB AFB 的数量关系是 在图 中 与的数量关系是 AFB 请你任选其中一个结论证明 思路点拨 从特殊到一般 在动态的旋转过程中 有两组不变的关系 ABC EDC 这是解本例的关键 BCD ACE 文档鉴赏 例 2 如图 1 是等腰直角三角形 四边形是正方形 分别在 边ABC ADEFDFABAC 上 此时 成立 BDCF BDCF 1 当正方形绕点逆时针旋转 时 如图 2 成立吗 若成立 ADEFA 090 BDCF 请证明 若不成立 请说明理由 2 当正方形绕点逆时针旋转时 如图 3 延长交于点 ADEFA45 BDCFG 求证 BDCF 当 时 求线段的长 4AB 2AD BG 文档鉴赏 例 3 在正方形的边上任取一点 作交于点 取的中点 连接ABCDABEEFAB BDFFDG 如图 易证且 EGCG EGCG EGCG 1 将绕点逆时针旋转 如图 则线段和有怎样的数量关系和位置关系 请BEF B90 EGCG 直接写出你的猜想 2 将绕点逆时针旋转 如图 则线段和有怎样的数量关系和位置关系 BEF B180 EGCG 请写出你的猜想 并加以证明 8 C B E F G D A AD G F E BC C B E F G DA 文档鉴赏 例 4 如图 在等边中 点是边的中点 点是线段上的动点 点与点不重ABC DACPDCPC 合 连接 将绕点按顺时针方向旋转角 得到 连接 BPABP P 0180 11 AB P 1 AA 射线分别交射线 射线于点 1 AAPB 1 B BEF 1 如图 当时 在角变化过程中 与始终存在 关系 填060 BEF AEP 相似 或 全等 并说明理由 2 如图 设 当时 有角变化过程中 是否存在与全ABP 60180 BEF AEP 等 若存在 求出与之间的数量关系 若不存在 请说明理 3 如图 当时 点与点重合 已知 设 的面积为 60 EF B4AB DPx 11 ABB S 求关于的函数关系式 Sx A1 B A DP C B1 F A1 E B B1 A DP C B B1 A1 ACP D F E 16 文档鉴赏 例 5 将两块全等的直角三角形纸片 ABC 和 DEF 叠放在一起 其中 ACB E 90 BC DE 6 AC FE 8 点 D 与边 AB 的中点重合 将 DEF 绕着点 D 旋转 1 如图 1 如果 EDF 的边 DE 经过点 C 另一边 DF 与边 AC 交于点 G 求 GC 的长 2 如图 2 如果 EDF 的边 DF DE 分别交边 BC 于点 M N 设 CN x BM y 求 y 关于 x 的函数 解析式 并求它的定义域 3 如图 3 如果 EDF 的边 DF DE 分别交边 AC 于点 M N 如果 DMN 是等腰三角形 求 AN 的 值 文档鉴赏 例 6 已知 直角三角形 ABC 中 C 90 点 D E 分别是边 AC AB 的中点 BC 6 1 如图 1 动点 P 从点 E 出发 沿直线 DE 方向向右运动 则当 EP 时 四边形 BCDP 是矩形 2 将点 B 绕点 E 逆时针旋转 如图 2 旋转到点 F 处 连接 AF BF EF 设 BEF 求证 ABF 是直角三角形 如图 3 旋转到点 G 处 连接 DG EG 已知 BEG 90 求 DEG 的面积 文档鉴赏 例 7 如图 1 点 O 为正方形 ABCD 的中心 1 将线段 OE 绕点 O 逆时针方向旋转 90 点 E 的对应点为点 F 连结 EF AE BF 请依题意补全图 1 2 根据图 1 中补全的图形 猜想并证明 AE 与 BF 的关系 3 如图 2 点 G 是 OA 中点 EGF 是等腰直角三角形 H 是 EF 的中点 EGF 90 AB 2 GE 2 EGF 绕 G 点逆时针方向旋转 角度 请直接写出旋转过程中 BH 的最大值 2 文档鉴赏 例 8 如图 1 在 ABC 中 CA CB ACB 90 D 是 ABC 内部一点 ADC 135 将线段 CD 绕 点 C 逆时针旋转 90 得到线段 CE 连接 DE 1 依题意补全图形 请判断 ADC 和 CDE 之间的数量关系 并直接写出答案 2 在 1 的条件下 连接 BE 过点 C 作 CM DE 请判断线段 CM AE 和 BE 之间的数量关系 并 说明理由 3 如图 2 在正方形 ABCD 中 AB 如果 PD 1 BPD 90 请直接写出点 A 到 BP 的距离 2 文档鉴赏 例 9 如图 1 在 ABC 中 AB AC 射线 BP 从 BA 所在位置开始绕点 B 顺时针旋转 旋转角为 0 180 1 当 BAC 60 时 将 BP 旋转到图 2 位置 点 D 在射线 BP 上 若 CDP 120 则 ACD ABD 填 线段 BD CD 与 AD 之间的数量关系是 2 当 BAC 120 时 将 BP 旋转到图 3 位置 点 D 在射线 BP 上 若 CDP 60 求证 BD CD AD 3 3 将图 3 中的 BP 继续旋转 当 30 180 时 点 D 是直线 BP 上一点 点 P 不在线段 BD 上 若 CDP 120 请直接写出线段 BD CD 与 AD 之间的数量关系 不必证明 文档鉴赏 例 10 已知 点 D 是等腰直角三角形 ABC 斜边 BC 所在直线上一点 不与点 B 重合 连接 AD 1 如图 1 当点 D 在线段 BC 上时 将线段 AD 绕点 A 逆时针方向旋转 90 得到线段 AE 连接 CE 求证 BD CE BD CE 2 如图 2 当点 D 在线段 BC 延长线上时 探究 AD BD CD 三条线段之间的数量关系 写出结论 并说明理由 3 若 BD CD 直接写出 BAD 的度数 3 文档鉴赏 例 11 如图 1 在 ABC 中 ACB 90 AC BC EAC 90 点 M 为射线 AE 上任意一点 不与 A 重合 连接 CM 将线段 CM 绕点 C 按顺时针方向旋转 90 得到线段 CN 直线 NB 分别交直线 CM 射 线 AE 于点 F D 1 直接写出 NDE 的度数 2 如图 2 图 3 当 EAC 为锐角或钝角时 其他条件不变 1 中的结论是否发生变化 如果不变 选取其中一种情况加以证明 如果变化 请说明理由 3 如图 4 若 EAC 15 ACM 60 直线 CM 与 AB 交于 G BD 其他条件不变 求 6 2 2 线段 AM 的长 文档鉴赏 例 12 已知正方形 ABCD 和正方形 EBGF 共顶点 B 连 AF H 为 AF 的中点 连 EH 正方形 EBGF 绕点 B 旋转 1 如图 1 当 F 点落在 BC 上时 求证 EH FC 1 2 2 如图 2 当点 E 落在 BC 上时 连 BH 若 AB 5 BG 2 求 BH 的长 3 当正方形 EBGF 绕点 B 旋转到如图 3 的位置时 求的值 文档鉴赏 例 13 已知正方形和等腰 按图甲放置 使点在ABCDRt BEF EFBE 90BEF F 上 取 的中点 连接 BCDFGEGCG 探索的数量关系和位置关系 并说明理由 EGCG 将图甲中绕点顺时针旋转得图乙 连接 取的中点 问 中的BEF B45 DFDFG 结论是否成立 并说明理由 将图甲中绕点转动任意角度 旋转角在到之间 得图丙 连接 取BEF B0 90 DF 的中点 问 中的结论是否成立 请说明理由 DFG G F EG F E G F E A BC DA BC DD CB A 文档鉴赏 例 14 如图 ABC 中 点 D 在 AC 上 点 E 在 BC 上 且 DE AB 将 CDE 绕点 C 按顺时针方向旋转得 到 CD E 使 BCE 180 连接 AD BE 设直线 BE 与 AC AD 分别交于点 O E 1 若 ABC 为等边三角形 则的值为 1 求 AFB 的度数 2 若 ABC 满足 ACB 60 AC BC 32 求的值和 AFB 的度数 若 E 为 BC 的中点 求 OBC 面积的最大值 文档鉴赏 例 15 已知 在中 过点的直线从与边重合的位置开始绕点按顺时针方ABC ABAC AaACA 向旋转角 直线交边于点 点不与点 点重合 的边始终在直线上 aBCPPBCBMN MNa 点在点的上方 且 连接 MNBMBN CN 1 当时 90BACMBN 如图 a 当时 的度数为 45 ANC 如图 b 当时 中的结论是否发生变化 说明理由 45 2 如图 c 当时 请直接写出与之间的数量关系 不必证90BACMBN ANC BAC 明 文档鉴赏 例 16 两个大小相同且含 30 角的三角板和如图 摆放 使直角顶点重合 将图 中ABCDEC 绕点逆时针旋转 30 得到图 点 分别是 与的交点 点是与DEC CFGCDDEABHDE 的交点 AC 1 不添加辅助线 写出图 中所有与全等的三角形 BCF 2 将图 中的绕点逆时针旋转 45 得 点 对应点分别为 DEC C 11 D E C FGH 1 F 1 G 如图 探究线段与之间的数量关系 并写出推理过程 1 H 11 D F 1 AH 3 在 2 的条件下 若与交于点 求证 11 D ECEI 1 G ICI 文档鉴赏 例 17 如图 1 在中 点为边中点 直线绕顶点旋转 若点 在直线的异侧 ABC PBCaABPa 直线于点 直线于点 连接 BMaMCNaNPMPN 1 延长交于点 如图 2 MPCNE 求证 BPMCPE 求证 PMPN 2 若直线绕点旋转到图 3 的位置时 点 在直线的同侧 其它条件不变 此时aABPa 还成立吗 若成立 请给予证明 若不成立 请说明理由 PMPN 3 若直线绕点旋转到与边平行的位置时 其它条件不变 请直接判断四边形的形状aABCMBCN 及此时还成立吗 不必说明理由 PMPN 文档鉴赏 例 18 已知是等腰直角三角形 是边上一动点 两点除外 将ABC 2ACBC DABAB 绕点按逆时针方向旋转角得到 其中点是点的对应点 点是点的对应CAD C CEF EAFD 点 1 如图 1 当时 是边上一点 且 连接 求证 90 GABBGAD GFGFACA 2 如图 2 当时 与相交于点 90180 AEDFM 当点与点 不重合时 连接 求的度数 MCDCMCMD 设为边的中点 当从变化到时 求点运动的路径长 DAB 90 180 M 文档鉴赏 例 19 已知正方形 ABCD 的边长为 4 一个以点 A 为顶点的 45 角绕点 A 旋转 角的两边分别与边 BC DC 的延长线交于点 E F 连接 EF 设 CE a CF b 1 如图 1 当 EAF 被对角线 AC 平分时 求 a b 的值 2 当 AEF 是直角三角形时 求 a b 的值 3 如图 3 探索 EAF 绕点 A 旋转的过程中 a b 满足的关系式 并说明理由 文档鉴赏 例 20 已知 点 P 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 所在直线上的一个动点 点 不与点 A C 重合 分别过点 A C 向直线 BP 作垂线 垂足分别为点 E F 点 O 为 AC 的中点 1 当点 P 与点 O 重合时如图 1 易证 OE OF 不需证明 2 直线 BP 绕点 B 逆时针方向旋转 当 OFE 30 时 如图 2 图 3 的位置 猜想线段 CF AE OE 之间有怎样的数量关系 请写出你对图 2 图 3 的猜想 并选择一种情况给予证明 文档鉴赏 例 21 在 ABC 中 AB AC A 60 点 D 是线段 BC 的中点 EDF 120 DE 与线段 AB 相交于点 E DF 与线段 AC 或 AC 的延长线 相交于点 F 1 如图 1 若 DF AC 垂足为 F AB 4 求 BE 的长 2 如图 2 将 1 中的 EDF 绕点 D 顺时针旋转一定的角度 DF 仍与线段 AC 相交于点 F 求证 BE CF AB 3 如图 3 将 2 中的 EDF 继续绕点 D 顺时针旋转一定的角度 使 DF 与线段 AC 的延长线相交于 点 F 作 DN AC 于点 N 若 DN AC 于点 N 若 DN FN 求证 BE CF BE CF 文档鉴赏 例 22 在 ABC 中 AB BC 2 ABC 90 BD 为斜边 AC 上的中线 将 ABD 绕点 D 顺时针旋转 0 180 得到 EFD 其中点 A 的对应点为点 E 点 B 的对应点为点 F BE 与 FC 相交于点 H 1 如图 1 直接写出 BE 与 FC 的数量关系 2 如图 2 M N 分别为 EF BC 的中点 求证 MN 3 连接 BF CE 如图 3 直接写出在此旋转过程中 线段 BF CE 与 AC 之间的数量关系 文档鉴赏 例 23 如图 1 在菱形 ABCD 中 AC 6 BD 6 AC BD 相交于点 O 1 求边 AB 的长 2 如图 2 将一个足够大的直角三角板 60 角的顶点放在菱形 ABCD 的顶点 A 处 绕点 A 左右旋转 其中三角板 60 角的两边分别于边 BC CD 相交于 E F 连接 EF 与 AC 相交于点 G 判断 AEF 是哪一种特殊三角形 并说明理由 旋转过程中是否存在线段 EF 最短 若存在 求出最小值 若不存在 请说明理由 文档鉴赏 例 24 在 Rt ABC 中 A 90 AC AB 4 D E 分别是边 AB AC 的中点 若等腰 Rt ADE 绕点 A 逆时针旋转 得到等腰 Rt AD1E1 设旋转角为 0 180 记直线 BD1与 CE1的交点为 P 1 如图 1 当 90 时 线段 BD1的长等于 线段 CE1的长等于 直接填写结果 2 如图 2 当 135 时 求证 BD1 CE1 且 BD1 CE1 3 求点 P 到 AB 所在直线的距离的最大值 直接写出结果 文档鉴赏 例 25 在正方形 ABCD 中 对角线 AC 与 BD 交于点 O 在 Rt PMN 中 MPN 90 1 如图 1 若点 P 与点 O 重合且 PM AD PN AB 分别交 AD AB 于点 E F 请直接写出 PE 与 PF 的数量关系 2 将图 1 中的 Rt PMN 绕点 O 顺时针旋转角度 0 45 如图 2 在旋转过程中 1 中的结论依然成立吗 若成立 请证明 若不成立 请说明理由 如图 2 在旋转过程中 当 DOM 15 时 连接 EF 若正方形的边长为 2 请直接写出线段 EF 的长 如图 3 旋转后 若 Rt PMN 的顶点 P 在线段 OB 上移动 不与点 O B 重合 当 BD 3BP 时 猜 想此时 PE 与 PF 的数量关系 并给出证明 当 BD m BP 时 请直接写出 PE 与 PF 的数量关系 文档鉴赏 例 26 如图 QPN 的顶点 P 在正方形 ABCD 两条对角线的交点处 QPN 将 QPN 绕点 P 旋转 旋转过程中 QPN 的两边分别与正方形 ABCD 的边 AD 和 CD 交于点 E 和点 F 点 F 与点 C D 不重合 1 如图 当 90 时 DE DF AD 之间满足的数量关系是 2 如图 将图 中的正方形 ABCD 改为 ADC 120 的菱形 其他条件不变 当 60 时 1 中 的结论变为 DE DF AD 请给出证明 3 在 2 的条件下 若旋转过程中 QPN 的边 PQ 与射线 AD 交于点 E 其他条件不变 探究在整个 运动变化过程中 DE DF AD 之间满足的数量关系 直接写出结论 不用加以证明 文档鉴赏 例 27 如图 1 在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中 点 A B E 在同一条直线上 P 是线段 DF 的中点 连 接 PG PC 若 ABC BEF 60 1 请直接写出线段 PG 与 PC 的位置关系及的值 2 若将图 1 中的菱形 BEFG 饶点 B 顺时针旋转 使菱形 BEFG 的对角线 BF 恰好与菱形 ABCD 的边 AB 在同一条直线上 原问题中的其他条件不变 如图 2 那么你在 1 中得到的结论是否发生变化 若 没变化 直接写出结论 若有变化 写出变化的结果 3 在图 1 中 若 ABC BEF 2 0 90 将菱形 BEFG 饶点 B 顺时针旋转任意角度 原问 题中的其他条件不变 请直接写出的值 用含 的式子表示 文档鉴赏 例 28 如图 所示 在和中 AB AC AD AE 且点 B A D 在一条ABCAADEABACDAE 直线上 连接 BE CD M N 分别为 BE CD 的中点 1 求证 BE CD AMN 是等腰三角形 2 在图 的基础上 将 ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转 180 其他条件不变 得到图 所示的图 形 请直接写出 1 中的两个结论是否仍然成立 3 在 2 的条件下 请你在图 中延长 ED 交线段 BC 于点 P 求证 PBD AMN 文档鉴赏 例 29 如图 1 和都是等腰直角三角形 点在线段ABC AED 90BACEAD B 上 点在线段上 AECAD 1 请直接写出线段与线段的关系 BECD 2 如图 2 将图 1 中的绕点顺时针旋转角 ABC A 0360 1 中的结论是否成立 若成立 请利用图 2 证明 若不成立 请说明理由 当时 探究在旋转的过程中 是否存在这样的角 使以 四点 1 2 ACED ABC ABCD 为顶点的四边形是平行四边形 若存在 请直接写出角的度数 若不存在 请说明理由 文档鉴赏 例 30 如图 在中 将直角三角板的直角顶点放在线RtABC 290ABACBAC EPFP 段的中点上 以点为旋转中心 转动三角板并使三角板的两直角边分别与相BCPPEPF ACAB 交于点 连 交于点 NM MNAP D F C P B N M D E A 1 求证 PNPM 2 设线段的长为 的面积为 求与的函数关系式 AMxPMN yyx 3 当三角板旋转到时 求的长 4 5 DM AM AM 文档鉴赏 例 31 如图 中 于点 点在上 且 ABC 45ABC AHBC HDAHDHCH 连结 BD 1 求证 BDAC 2 将绕点旋转 得到 点 分别与点 对应 连接 BHD HEHF BDEFAE 如图 当点落在上时 不与重合 若 求的长 FACFC4BC tan3C AE 如图 当是由绕点逆时针旋转得到时 设射线与相交于点 连EHF BHD H30 CFAEG 接 试探究线段与之间满足的等量关系 并说明理由 GHGHEF 文档鉴赏 例 32 如图 1 在四边形中 点 分别是 的中点 过点作的垂线 ABCDEFABCDEAB 过点作的垂线 两垂线交于点 连接 且 FCDGAGBGCGDGAGDBGC 1 求证 ADBC 2 求证 AGDEGF 3 如图 2 若 所在直线互相垂直 求的值 ADBC AD EF 文档鉴赏 例 33 已知是等腰直角三角形 ABC 90BAC 1 2 CDBC DECE DECE 连接 点是的中点 AEMAE 1 如图 1 若点在边上 连接 当时 求的长 DBCCM4AB CM 2 如图 2 若点在的内部 连接 点是中点 连接 求证 DABC BDNBDMNNE MNAE 3 如图 3 将图 2 中的绕点逆时针旋转 使 连接 点是中点 CDE C30BCD BDNBD 连接 探索的值并直接写出结果 MN MN AC 文档鉴赏 例 34 已知正方形 ABCD 中 E 为对角线 BD 上一点 过 E 点作 EF BD 交 BC 于 F 连接 DF G 为 DF 中点 连接 EG CG 1 求证 EG CG 2 将图 中 BEF 绕 B 点逆时针旋转 45 如图 所示 取 DF 中点 G 连接 EG CG 问 1 中的 结论是否仍然成立 若成立 请给出证明 若不成立 请说明理由 3 将图 中 BEF 绕 B 点旋转任意角度 如图 所示 再连接相应的线段 问 1 中的结论是否仍然 成立 通过观察你还能得出什么结论 均不要求证明 文档鉴赏 例 35 如图 四边形 ABCD 是正方形 ABE 是等边三角形 M 为对角线 BD 不含 B 点 上任意一点 将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60 得到 BN 连接 EN AM CM 1 求证 AMB ENB 2 当 M 点在何处时 AM CM 的值最小 当 M 点在何处时 AM BM CM 的值最小 并说明理由 3 当 AM BM CM 的最小值为时 求正方形的边长 文档鉴赏 例 36 如图甲 在 ABC 中 ACB 为锐角 点 D 为射线 BC 上一点 连接 AD 以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF 解答下列问题 1 如果 AB AC BAC 90 当点 D 在线段 BC 上时 与点 B 不重合 如图乙 线段 CF BD 之间的位置关系为 数量关系为 当点 D 在线段 BC 的延长线时 如图丙 中的结论是否仍然成立 为什么 2 如果 AB AC BAC 90 点 D 在线段 BC 上运动 试探究 当 ABC 满足一个什么条件时 CF BC 点 C F 重合除外 画出相应图形 并说明理由 画 图不写作法 3 若 AC 4 BC 3 在 2 的条件下 设正方形 ADEF 的边 DE 与线段 CF 相交于点 P 求线段 CP 长的最大值 文档鉴赏 例 37 已知 在 ABC 中 BC a AC b 以 AB 为边作等边三角形 ABD 探究下列问题 1 如图 1 当点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时 a b 3 且 ACB 60 则 CD 2 如图 2 当点 D 与点 C 位于直线 AB 的同侧时 a b 6 且 ACB 90 则 CD 3 如图 3 当 ACB 变化 且点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时 求 CD 的最大值及相应的 ACB 的 度数 文档鉴赏 例 38 在 ABC 中 点 D 在 AC 上 点 E 在 BC 上 且 DE AB 将 CDE 绕点 C 按顺时针方向旋转得到 CD E 使 BCE 180 连接 AD BE 设直线 BE 与 AC 交于点 O 1 如图 1 当 AC BC 时 AD BE 的值为 2 如图 2 当 AC 5 BC 4 时 求 AD BE 的值 3 在 2 的条件下 若 ACB 60 且 E 为 BC 的中点 求 OAB 面积的最小值 文档鉴赏 例 39 将绕点按逆时针方向旋转度 并使各边长变为原来的倍 得 即如图 ABC A nCBA 我们将这种变换记为 BBAn AC CA BC CB AB BA n 1 如图 对作变换 60 得 则 直线与直线ABC 3CBA ABCCBA SS BC 所夹的锐角为 度 CB A BC C B C B A A B 图 图 图 B C C B 2 如图 中 对作变换 得 使点ABC 9030ACBBACABC nCBA 在同一直线上 且四边形为矩形 求和的值 BC C CBAB n 3 如图 中 对作变换 得 ABC ACAB 36BAC1 BCABC nCBA 使点 在同一直线上 且四边形为平行四边形 求和的值 BC B CBAB n 文档鉴赏 例 40 已知 将一副三角板 和 如图 摆放 点 在一条直线上 ABCRt DEFRt EADB 且是的中点 将绕点顺时针方向旋转角 在旋转过程中 直DABDEFRt D 900 线 相交与点 直线 相交与点 分别过点 作直线的垂线 垂DEACMDFBCNMNAB 足 为 GH 1 当时 如图 求证 30 DHAG 2 当时 如图 1 中的结论是否成立 请写出你的结论并说明理由 60 3 当 0 时 1 中的结论是否成立 请写出你的结论 并根据图 说明理由 90