“弹性力学”期末试卷(2003)

华中科技大学土木工程与力学学院华中科技大学土木工程与力学学院 弹性力学弹性力学 试卷试卷 2003 2004 学年度第一学期 一 如图所示为两个平面受力体 试写出其应力边界条件 固定边不考虑 O q A x P o x h h P y B y y a b 二 已知等厚度板沿周边作用着均匀压力 x y q 若 O 点不能移动或转动 试求板内任意点 A x y 的位移分量 q x Y 三 如图所示简支梁 它仅承受本身的自重 材料的比重为 考察 Airy 应力函 数 yDxCyByyAx 23532 1 为使成为双调和函数 试确定系数 A B C D 之间的关系 2 写出本问题的边界条件 并求各系数及应力分量 x l 2 l 2 y 1 o h 四 如图所示一圆筒 内径为 a 外径为 b 在圆筒内孔紧套装一半径为 a 的刚 性圆柱体 圆筒的外表面受压力 q 的作用 试确定其应力 r q 四 五 如图所示单位厚度楔形体 两侧边承受按 qr2 q 为常数 分布的剪应力 作用 试利用应力函数 求应力分量 2cos4cos 4 2 4 4 rbrar O y qr2 qr2 x 六 设 试问它能否作为如图所示高为 27 4 3 1 2 2322 a xyx a yxmyxF a 的等边三角形杆的扭转应力函数 扭杆两端所受扭矩为 M 若能 求其应力分 量 提示 截面的边界方程是 3 a x 33 2 3 ax y x y 1 1 是非题 是非题 认为该题正确 在括号中打 该题错误 在括号中打 每小题 2 分 1 薄板小挠度弯曲时 体力可以由薄板单位面积内的横向荷载 q 来等代 2 对于常体力平面问题 若应力函数满足双调和方程 那么由 yx 0 22 确定的应力分量必然满足平衡微分方程 yx 3 在求解弹性力学问题时 要谨慎选择逆解法和半逆解法 因为解的方式不同 解的结 果会有所差别 4 如果弹性体几何形状是轴对称时 就可以按轴对称问题进行求解 5 无论是对于单连通杆还是多连通杆 其载面扭矩均满足如下等式 其中为扭转应力函数 dxdyyxFM 2 yxF 6 应变协调方程的几何意义是 物体在变形前是连续的 变形后也是连续的 7 平面应力问题和平面应变问题的应变协调方程相同 但应力协调方程不同 8 对于两种介质组成的弹性体 连续性假定不能满足 9 位移变分方程等价于以位移表示的平衡微分方程及以位移表示的静力边界条件 10 三个主应力方向一定是两两垂直的 2 2 填空题填空题 在每题的横线上填写必要的词语 以使该题句意完整 共 20 分 每小题 2 2a 3 a 32a 分 1 弹性力学是研究弹性体受外界因素作用而产生的 应力 应变和位移应力 应变和位移 的一门学科 2 平面应力问题的几何特征是 物体在物体在一个方向的尺寸远小于另两个方向的尺寸一个方向的尺寸远小于另两个方向的尺寸 3 平衡微分方程则表示物体 内部内部 的平衡 应力边界条件表示物体 边界边界 的平衡 4 在通过同一点的所有微分面中 最大正应力所在的平面一定是 主平面主平面 5 弹性力学求解过程中的逆解法和半逆解法的理论基础是 解的唯一性定律解的唯一性定律 6 应力函数如果能作为应力函数 其的关系应该是 4224 cyybxaxyx cba 033 cba 7 轴对称的位移对应的几何形状和受力几何形状和受力 一定是轴对称的 8 瑞利 里兹法的求解思路是 首先选择一组带有待定系数的 满足 位移边界条件或几位移边界条件或几 何可能何可能 的位移分量 由位移求出应变 应力 得到弹性体的总势能 再对总势能取极 值 9 克希霍夫的直法线假设是指 变形前垂直于薄板中面的直线段 法线 在变形后仍保持 为直线 并垂直于变形后的中面 且 长度不变长度不变 10 一般说来 经过简化后的平面问题的基本方程有 8 8 个 但其不为零的应力 应变和位 移分量有 9 9 个 3 3 分析题分析题 共 20 分 每题 10 分 1 曲梁的受力情况如图 1 所示 请写出其应力边界条件 固定端不必写 e a b q P y x M 图图 1 图 2 4 计算题计算题 共 40 分 1 图 2 中楔形体两侧受均布水平压力 q 作用 求其应力分量 体力为零 提示 设 应力函数为 10 分 2 cos rAB 2 如图 3 所示的悬臂梁结构 在自由端作用集中力 P 不计体力 弹性模量为 E 泊 松比为 应力函数可取 试求应力分量 15 分 323 DyCyBxyAxy 图 3 3 3 分析题分析题 共 20 分 每题 10 分 1 主要边界 q brrbrrarrarr 0 0 0 次要边界 b a b a r b a MPerdr Pdr Pdr sin cos sin 0 0 0 4 计算题计算题 共 40 分 1 解 极坐标下的应力分量为 2 22 2 2 11 cos2 2 cos 1 sin r r AB rrr AB r A r r 应力边界条件为 cos sin r q q 将应力分量代入边界条件 可解得 1 cos 2 AqBq 所以应力分量解答为 coscos cos2cos sin r r q q q 2 解 由题可知 体力 X 0 Y 0 且为弹性力学平面应力问题 1 本题所设应力函数满足双调和方程 a 0 22 2 应力分量为 b 2 2 2 2 2 2 3 0 626 AyB yx Yy x DyCAxyXx y xy y x 3 用应力边界条件求待定常数 A B C D 应力边界条件 在上 下表面处 必须精确满足 ay2 则有 0 0 22 ayxyayy d 012 2 AaB X 0 的左边界为次要边界 利用圣维南原理则有 X 方向力的等效 sin 2 2 0 Pdy a a xx 对 0 点的力矩等效 sin 2 2 0 Paydy a a xx Y 方向力的等效 cos 2 2 0 Pdy a a xxy 将式 b 代入上式得 e cos164 sin32 sin8 3 3 PAaBa PaDa PCa 联立式 d 和式 e 解得 sin 32 sin 8 cos 8 3 cos 32 23 a P D a P C a P B a P A 4 应力分量为 1 4 1 cos 8 3 0 4 3 1 sin 4 cos 16 3 2 23 y aa P y aa P xy a P xyyx 1 图 1 中楔形体顶端受水平集中力 P 作用 求其应力分量 体力为零 提示 设应力 函数为 20 分 cossin rAB 4 图 4 所示材料密度为 的三角形截面坝体 一侧受静水压力 水的密度为 1 另一侧自由 设坝中应力状态为平面应力状态 fyexdycxbyax xyyx 请利用平衡方程和边界条件确定常数和 20 分 edcba f 图 4图 5 1gy y x x y q 5 如图 5 所示的半无限平面 证明应力 2 sin 2sin 2 1 2sin 2 1 A BA BA r r r 为本问题的解答 20 分 1 解 极坐标下的应力分量为 2 22 2 2 112 cossin 0 1 0 r r BA rrrr r r r 两斜面应力边界条件为 自动满足 0 0 r 由隔离体平衡条件 0 cos0 0 sin0 r r Xrd YrdP 将应力分量代入上面二式 可解得 0 2sin2 P AB 所以应力分量解答为 2 sin 0 0 2sin2 rr P r 2 如图 2 所示的悬臂梁结构 在自由端有一个微小的垂直位移 不计体力 弹性模量为 E 泊松比为 应力函数可取 试求应力分量 20 分 BxyAxy 3 2 解 由题可知 体力 X 0 Y 0 且为平面应力问题 0 0 y x v 1 本题所设应力函数满足双调和方程 a 0 22 2 应力分量为 b 2 2 2 2 2 2 3 0 6 AyB yx Yy x AxyXx y xy y x 3 由物理方程得应变分量为 c 2 1 6 1 2 1 2 6 1 6 1 Ay E B EE xyA EE Axy EE xyxy xyy yxx 4 由几何方程得出位移分量为 d 2 1 6 1 2 6 6 Ay E B Ex v y u xyA Ey v Axy Ex u xy y x 由式 d 的前两式积分得 e 3 3 2 2 1 2 xfxyA E v yfyAx E u 将上式 e 代入式 d 的第三式 整理得 f B E Ay E yfAx E xf 1 2 2 3 3 2 1 2 2 欲使上式恒等地成立 只能令 g bAy E yf aAx E xf 2 1 2 2 2 3 3 其中 常数 a b 满足 h B E ba 1 2 解式 g 得 i 1 3 1 2 3 2 2 1 CbyAy E yf CaxAx E xf 则位移分量为 j 2 32 1 32 13 2 3 CaxAx E xyA E v CbyAy E yAx E u 5 由应力边界条件和位移边界条件求待定常数 A B C1 C2和 a b 应力边界条件 在上 下表面处 必须精确满足 2 h y k 0 0 22 h y xyh y y 则有 l 0 4 3 2 AhB 位移边界条件 则有 0 0 y x v0 0 y Lx u0 0 y Lx v0 0 y Lx x v m 0 3 0 1 0 2 3 1 2 aAL E aLAL E C C 联立解式 l 式 h 和式 m 得 n 21 3 222 3 2 3 0 4 2 3 2L 3 a 8 3 2 CC L hhL b L Eh B L E A 6 本题的应力分量 应力分量为 o 2 33 2 3 2 3 8 3 0 3 y L E L Eh xy L E xyyx 4 一 由平衡方程 1 0 0 g yx yx yyx yx x 得 2 0 0 gde fa 二 边界条件 3 yyyx xyxx fml fml 在边界上 0 x0 1 ml 故边界条件可写为 4 0 1 f gb 在边界上 xctgy sin cos ml 故边界条件可写为 5 0sin cos 0sincos ctgdxcxex exctgbxax 联合方程 2