高一数学必修二复习资料

1 高中数学必修二复习资料高中数学必修二复习资料 基本概念基本概念 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上的所有的点都在这个平面 内 公理 2 如果两个平面有一个公共点 那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线 公理 3 过不在同一条直线上的三个点 有且只有一个平面 推论 1 经过一条直线和这条直线外一点 有且只有一个平面 推论 2 经过两条相交直线 有且只有一个平面 推论 3 经过两条平行直线 有且只有一个平面 公理 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同 那么这两个角相 等 空间两直线的位置关系 空间两直线的位置关系 空间两条直线只有三种位置关系 平行 相交 异面 1 按是否共面可分为两类 1 共面 平行 相交 2 异面 异面直线的定义 不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交 异面直线判定定理 用平面内一点与平面外一点的直线 与平面内不经过该点的直线是异 面直线 两异面直线所成的角 范围为 0 90 esp 空间向量法 两异面直线间距离 公垂线段 有且只有一条 esp 空间向量法 2 若从有无公共点的角度看可分为两类 1 有且仅有一个公共点 相交直线 2 没有公共点 平行或异面 直线和平面的位置关系 直线和平面的位置关系 直线和平面只有三种位置关系 在平面内 与平面相交 与平面平行 直线在平面内 有无数个公共点 直线和平面相交 有且只有一个公共点 直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角 esp 空间向量法 找平面的法向量 规定 a 直线与平面垂直时 所成的角为直角 b 直线与平面平行或在平面内 所成的 角为 0 角 由此得直线和平面所成角的取值范围为 0 90 最小角定理 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角 三垂线定理及逆定理 如果平面内的一条直线 与这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它 也与这条斜线垂直 esp 直线和平面垂直 2 直线和平面垂直的定义 如果一条直线 a 和一个平面 内的任意一条直线都垂直 我们就 说直线 a 和平面 互相垂直 直线 a 叫做平面 的垂线 平面 叫做直线 a 的垂面 直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那么这 条直线垂直于这个平面 直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面 那么这两条直线平行 直线和平面平行 没有公共点 直线和平面平行的定义 如果一条直线和一个平面没有公共点 那么我们就说这条直线和 这个平面平行 直线和平面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行 那么这 条直线和这个平面平行 直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个 平面相交 那么这条直线和交线平行 两个平面的位置关系 两个平面的位置关系 1 两个平面互相平行的定义 空间两平面没有公共点 2 两个平面的位置关系 两个平面平行 没有公共点 两个平面相交 有一条公共直线 a 平行 两个平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 那么这 两个平面平行 两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 那么交线平行 b 相交 二面角 1 半平面 平面内的一条直线把这个平面分成两个部分 其中每一个部分叫做半平面 2 二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 二面角的取值范 围为 0 180 3 二面角的棱 这一条直线叫做二面角的棱 4 二面角的面 这两个半平面叫做二面角的面 5 二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 6 直二面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角 esp 两平面垂直 两平面垂直的定义 两平面相交 如果所成的角是直二面角 就说这两个平面互相垂直 记为 两平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相 垂直 两个平面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直 那么在一个平面内垂直于交线的直线 垂直于另一个平面 Attention 3 二面角求法 直接法 作出平面角 三垂线定理及逆定理 面积射影定理 空间向量之 法向量法 注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系 多面体 棱柱 棱柱的定义 有两个面互相平行 其余各面都是四边形 并且每两个四边形的公共边都互 相平行 这些面围成的几何体叫做棱柱 棱柱的性质 1 侧棱都相等 侧面是平行四边形 2 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形 3 过不相邻的两条侧棱的截面 对角面 是平行四边形 棱锥 棱锥的定义 有一个面是多边形 其余各面都是有一个公共顶点的三角形 这些面围成的 几何体叫做棱锥 棱锥的性质 1 侧棱交于一点 侧面都是三角形 2 平行于底面的截面与底面是相似的多边形 且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱 锥高的比的平方 正棱锥 正棱锥的定义 如果一个棱锥底面是正多边形 并且顶点在底面内的射影是底面的中心 这样的棱锥叫做正棱锥 正棱锥的性质 1 各侧棱交于一点且相等 各侧面都是全等的等腰三角形 各等腰三角形底边上的高 相等 它叫做正棱锥的斜高 3 多个特殊的直角三角形 esp a 相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥 由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形 的垂心 b 四面体中有三对异面直线 若有两对互相垂直 则可得第三对也互相垂直 且顶点在 底面的射影为底面三角形的垂心 直线与方程直线与方程 1 直线的倾斜角 定义 x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角 特别地 当直线与 x 轴平 行或重合时 我们规定它的倾斜角为 0 度 因此 倾斜角的取值范围是 0 180 2 直线的斜率 定义 倾斜角不是 90 的直线 它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率 直线的斜率常 4 用 k 表示 即 斜率反映直线与轴的倾斜程度 tank 当时 90 0 0 k 当时 180 90 0 k 当时 不存在 90 k 过两点的直线的斜率公式 21 12 12 xx xx yy k 注意下面四点 1 当时 公式右边无意义 直线的斜率不存在 倾斜角为 90 21 xx 2 k 与 P1 P2的顺序无关 3 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得 4 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到 3 直线方程 点斜式 直线斜率 k 且过点 11 xxkyy 11 y x 注意 当直线的斜率为 0 时 k 0 直线的方程是 y y1 当直线的斜率为 90 时 直线的斜率不存在 它的方程不能用点斜式表示 但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1 所以它的方程是 x x1 斜截式 直线斜率为k 直线在y轴上的截距为bbkxy 两点式 直线两点 11 2121 yyxx yyxx 1212 xxyy 11 y x 22 y x 截矩式 1 xy ab 其中直线与轴交于点 与轴交于点 即与轴 轴的截距截距分别为 lx 0 ay 0 blxy a b 一般式 A B 不全为 0 0 CByAx 注意 各式的适用范围 1 特殊的方程如 平行于 x 轴的直线 b 为常数 2 by 平行于 y 轴的直线 a 为常数 ax 4 直线系方程 即具有某一共同性质的直线 一 平行直线系 平行于已知直线 是不全为 0 的常数 的直线系 0 000 CyBxA 00 B A C 为常数 0 00 CyBxA 二 垂直直线系 垂直于已知直线 是不全为 0 的常数 的直线系 0 000 CyBxA 00 B A C 为常数 0 00 CyAxB 三 过定点的直线系 斜率为 k 的直线系 直线过定点 00 xxkyy 00 y x 过两条直线 的交点的直线系方程0 1111 CyBxAl0 2222 CyBxAl 为 为参数 其中直线不在直线系中 0 222111 CyBxACyBxA 2 l 5 两直线平行与垂直 当 时 111 bxkyl 222 bxkyl 212121 bbkkll 1 2121 kkll 5 注意 利用斜率判断直线的平行与垂直时 要注意斜率的存在与否 6 两条直线的交点 相交0 1111 CyBxAl0 2222 CyBxAl 交点坐标即方程组的一组解 0 0 222 111 CyBxA CyBxA 方程组无解 方程组有无数解与重合 21 l l 1 l 2 l 7 两点间距离公式 设是平面直角坐标系中的两个点 1122 A x yB xy 则 22 2121 ABxxyy 8 点到直线距离公式 一点到直线的距离 00 y xP0 1 CByAxl 22 00 BA CByAx d 9 两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点 再转化为点到直线的距离进行求解 圆的方程圆的方程 1 标准方程 圆心 半径为 r 2 22 rbyax ba 2 一般方程0 22 FEyDxyx 当时 方程表示圆 此时圆心为 半径为04 22 FED 2 2 ED FEDr4 2 1 22 当时 表示一个点 当时 方程不表示任何图04 22 FED04 22 FED 形 3 求圆方程的方法 一般都采用待定系数法 先设后求 确定一个圆需要三个独立条件 若利用圆的标准方 程 需求出 a b r 若利用一般方程 需要求出 D E F 另外要注意多利用圆的几何性质 如弦的中垂线必经过原点 以此来确定圆心的位置 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有相离 相切 相交三种情况 1 设直线 圆 圆心到 l 的距离0 CByAxl 2 22 rbyaxC baC 为 则有 22 BA CBbAa d 相离与Clrd 相切与Clrd 相交与Clrd 2 过圆外一点的切线 k 不存在 验证是否成立 k 存在 设点斜式方程 用圆心到 该直线距离 半径 求解 k 得到方程 一定两解 3 过圆上一点的切线方程 圆 x a 2 y b 2 r2 圆上一点为 x0 y0 则过此点的切线方程 为 x0 a x a y0 b y b r2 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 通过两圆半径的和 差 与圆心距 d 之间的大小比较来确定 6 设圆 2 2 1 2 11 rbyaxC 2 2 2 2 22 RbyaxC 两圆的位置关