任意角的三角函数 (2)

任意角的三角函数 教学设计 山西省教育科学研究院 薛红霞 一 内容与内容解析一 内容与内容解析 三角函数是函数的一个特例 是函数概念的下位概念 与指数函数 对数函数具有相同的地位 但 是在具体的定义方式上又有所不同 应该按照概念的体系将之纳入到原有的认知结构中 揭示彼此之间的 关系 认识新概念的本质属性 因此本课时的教学重点是 通过概念的同化与精致过程 帮助学生理解任意角三角函数 正弦 余弦 正切 的定义 并在这 个过程中突出单位圆的作用 二 目标和目标解析二 目标和目标解析 1 借助单位圆理解任意角的三角函数 正弦 余弦 正切 的定义 能根据任意角的三角函数 的定义求出具体的角的各三角函数值 能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号 2 在定义的学习过程中渗透数形结合的思想 根据角的终边与单位圆的交点的坐标写出角的各 三角函数值 及各三角函数的定义域 利用单位圆的几何特征写出正弦 余弦的值域 3 在概念同化和精致的过程中发展学生研究问题的能力 知道概念所在的体系 知道任意角的 三角函数与锐角三角函数 函数 指 对数函数等之间的关系 利用单位圆的几何特征研究三角函数的方 法 三 教学问题诊断分析三 教学问题诊断分析 在概念教学过程中要注意学生已有知识经验的作用 发挥其正迁移 防止其负迁移 本课时研究的 是任意角的三角函数 学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数 其研究范围是锐角 其研究方法是几何 的 没有坐标系的参与 其研究目的是为解直角三角形服务 以上三点都是与本课时不同的 因此在教学 过程中要发展学生的已有认知经验 发挥其正迁移 具体而言要做到 明确研究范围的变化 开阔学生的 视野 并揭示由此带来的新问题 激发学生的学习兴趣 借助单位圆在坐标系中进行研究 要先将锐角的 三角函数问题置于坐标系中 帮助学生利用坐标系借助单位圆重新认识锐角三角函数 这样做激活了学生 的已有知识经验 并且用新的视角认识已有知识经验 复习了旧知识 同时为新的研究内容做好铺垫 第 三 由于研究范围的改变 更加突出了任意角的三角函数是为研究客观世界中大量存在的周期性现象服务 的 这些都是在本课时的学习之后应该取得的认知方面的进步 认识一个函数 关键是认识函数的三要素 在学生学习过的函数中 一次 二次 反比例或者用图 表表示的对应法则的函数 其三要素是比较容易找到的 指 对函数的学习就需要一定的基础 同样在任 意角的三角函数学习过程中也可能在自变量和对应法则上出现问题 应该注意明确任意角的三角函数的三 要素 比如正弦函数y sin 中自变量是角 并且 R 对应法则是一个角与其正弦值对应 至于这 个值怎么计算 在此处是规定为角 终边与单位圆交点的纵坐标 通过例 2 可以看出 也可以利用比值 定义 对于一次函数 二次函数也需要将自变量的值进行计算得到函数值 这一点本质上是统一的 要引 导学生类比理解 此外 由于学生对角度制的应用已经很熟练 而对弧度制的应用比较陌生 所以在理解函数的定义 域是实数集时可能会出现问题 这需要教师的引导 同时也需要时间适应 综合上述分析 本课时的教学难点是 引导学生将任意角的三角函数的定义同化 帮助学生真正理解定义 四 教学支持条件分析四 教学支持条件分析 利用几何画板改变角的位置 认识角的终边位于不同象限时如何定义角的三角函数值 充实学生的 直观感知材料 帮助学生形成比较全面的认知 五 教学过程设计五 教学过程设计 问题问题 1 1 本章研究的问题是三角函数 函数的研究离不开平面直角坐标系 这在第一节中已经有所感 受 现在请你回忆初中学过的锐角三角函数的定义 并思考一个问题 如果将锐角置于平面直角坐标系中 如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表示锐角三角函数呢 设计意图设计意图 将已有知识坐标化 将已有知识坐标化 分化难点 分化难点 用新的观点再认识学生的已有知识经验 发挥其正迁 移作用 同时使本课时的学习与学生的已有知识经验紧密联系 使知识有一个熟悉的起点 扎实的固着点 预计的回答预计的回答 学生可以回忆出初中学过的锐角三角函数的定义 但是在用坐标语言表述时可能会出 现困难 即使将角置于坐标系中但是仍然习惯用三角形边的比值表示锐角三角函数 需要教师引导学生 将之转换为用终边上的点的坐标表示锐角三角函数 解答过程解答过程 1 1 再现锐角三角函数的定义 再现锐角三角函数的定义 如图 1 在直角 POM中 M是直角 那么 2 2 坐标化 坐标化 如图 2 建立平面直角坐标系 设点 P 的坐标为 x y 那么 于是 问题问题 2 2 回忆弧度制中 1 弧度角的几何解释 它是借助于单位圆给出的 能否从中得到启示将上述定 义的形式化简 化简的依据是什么 写出最简单的形式 设计意图 引入单位圆 设计意图 引入单位圆 深化对单位圆作用的认识 用数学的简洁美引导学生进行研究 为定义 的拓展奠定基础 该问题与问题该问题与问题 1 1 结合 分步推进 降低难度 基本尊重教材的处理方式 结合 分步推进 降低难度 基本尊重教材的处理方式 预计的困难预计的困难 由于学生只接触过一次单位圆 对它所能起的作用只有一般的了解 所以需要教师的 引导 也可以引导学生从形式上对上述定义化简 使得分母为 1 之后通过分母的几何意义将之与单位圆 结合起来 解答过程 解答过程 单位圆中定义锐角三角函数 单位圆中定义锐角三角函数 如图 3 线段 OP 1 点 P 的坐标为 x y 那么锐角 的三角函 数可以用坐标表示为 说明 单位圆的定义建议在弧度制一节中给出 依据 依据 三角形相似 比值与具体的点的位置没有关系 问题问题 3 3 上述定义是借助于单位圆 利用角的终边与单位圆的交点的坐标给出的 它可以推广到任 意角的三角函数 请你写出任意角的三角函数的定义 分小组分别写出角 的终边位于第二 三 四象 限和x轴 y轴上时的三角函数 设计意图 具体认识任意角的三角函数 突现本课时的研究重点 设计意图 具体认识任意角的三角函数 突现本课时的研究重点 如果问题太一般化 如设计为 上述定义可以推广到任意角的三角函数 请写出任意角的三角函数的定义 那么学生不知道 上述定义 是指哪个 而且不明白任意角该如何取 所以在问题设计中再次强调要借助于单位圆 利用坐标 限定学 生的思维 以免太发散 再者在一般要求 写出任意角的三角函数 之后 又提出具体的活动方式 分小 组针对不同位置的角分别写出其三角函数 这样将问题具体化 学生容易着手解决 写出定义的过程也是 巩固推广的过程 而且这样做尽可能避免出现学生用计算器算 cos 的现象 活动形式 活动形式 由学生分组独立完成之后再展示交流 形成具体而全面的认识 学生可能会在写出任意 角的三角函数的定义时出现困难 教师的帮助不要具体 而是在思维上引导 用坐标表示 并引导学生 正确认识三角函数的定义域 预计的答案 如图 4 针对其中的图 1 2 3 学生写出 针对其中的图 4 学生写出 针对其中的图 5 学生写出 tan 无意义 结论 结论 给出三角函数的定义 略 问题问题 4 4 根据上述过程 你能写出三角函数的定义域吗 你能用函数的定义对三角函数进行分析吗 设计意图 设计意图 顺势而为形成定义 并将三角函数的定义进行同化 通过这样的活动强化学生对任意 角三角函数定义的理解 达到对概念的初步精致 预计的困难预计的困难 学生对三角函数的自变量认识可能会存在问题 教师的引导教师的引导 引导学生利用单位圆的几何意义解释正弦 余弦的值域 预计的答案预计的答案 设 是一个任意角 它的终边与单位圆交于点 P x y 例例 1 1 求的正弦 余弦和正切值 设计意图 巩固对定义的理解 分析 根据定义求解 先利用锐角三角函数知识求出点 P 的坐标 再根据定义求解 解 如图 5 可知在 RT OPC 中 OPC 30o 所以 OC CP 所以点 P 的坐标是 根据定义可得 练习 练习 P15 练习 3 完成下列表格中的前两列 例 2 已知角 的终边经过点P 3 4 求角 的正弦 余弦和正切值 设计意图 通过问题的转化 进一步加深对定义的理解 分析 通过相似求出角 的终边与单位圆的交点坐标 之后再根据定义求解 解 如图 6 由已知可得 OP0 设角 的终边与单位圆交于点 P x y 分别过点 P 和 P0作x轴的垂线 MP M 0P0 则 又 OP 1 根据 可得 即 所以 所以 说明 说明 上述书写过程基本与例 1 统一 这样可以将该题目的求解思路同化 降低学习难度 问题问题 5 5 通过本课时的学习你有哪些收获 请从知识 思想方法经验等方面进行小结 此外你还有哪 些需要质疑之处 设计意图 设计意图 引导学生小结 并进一步思考 通过质疑引导学生全面认识三角函数 虽然在课堂上 不研究其他 3 个三角函数 但是可以让学生有一个全面的认识 培养思维的严谨性 通过三角函数定义的 一般化 引导学生用辩证的观点认识事物 理解三角函数 小结 知识 略 思想方法 略 经验 用函数的观点认识三角函数 用单位圆的几何特征研究三角函数 拓展 1 3 个数可以形成 6 个比值 为什么只对其中的三个比值进行定义和研究 其他 3 个比值又 能对应什么函数呢 有兴趣的同学可以自己查阅资料进行研究 拓展 2 通过求解例 2 你能发现还可以怎么定义任意角的三角函数呢 请阅读教材的旁白 这是 三角函数定义的等价定义 六 目标检测设计六 目标检测设计 1 P15 练习 1 2 3 设计意图设计意图 初步应用定义和等价定义 2 习题 1 2A 组 2 设计意图设计意图 培养学生类比 对比解决问题能力 3 完成教材 P13 的探究 之后完成 P15 练习 4 6 把结果填在书上 设计意图设计意图 将作业作为课堂教学的延伸 培养学生自主学习的能力和习惯 七 设计思路七 设计思路 1 突出单位圆的作用 具体表现在三个方面 第一是将锐角三角函数坐标化 引入单位圆 第二是 利用单位圆写出任意角的三角函数 第三是利用单位圆写出定义域及正弦 余弦的值域 第四是在例 2 的 解决过程中建立单位圆与一般定义的关系 2 用函数同化三角函数 给出任意角的三角函数的定义之后 用函数的定义对三角函数进行分析 将之纳入到已有的认知结构中 并使得原有认知结构发生顺应变化 3 力求在数学的自然 必要和学生的认知之间寻找平衡点 根据听课时出现的问题 在本教学设计中采取了下列处理方式 1 先坐标化再引入单位圆 降低认知台阶 从锐角三角函数到任意角三角函数这一段的处理基本尊重教材 这是因为在听课过程中发现如果将 坐标化 与 单位圆 两个问题同时抛给学生 虽然能体现出做这两个工作的必要性 但是跨度较大 学生感到困难 解决问题的过程费时费力 不但不能使学生感受到学习的必要性 反而制约了学生的思维 2 将问题分解 具体化 通过具体认识一般 在形成任意角的三角函数的定义时将问题解剖 并采取分组合作的组织方式 旨在将抽象的问题具 体化 降低难度 让学生根据角的不同位置写出定义 特别是对于象限角也进行了相同的处理办法 这是 因为学生的思维从具体问题开始 而且要形成 初始效应 在新概念学习伊始就使得它植根于学生的已 有认知结构中 并形成强烈的意识 用新定义解决问题 而不再用计算器或其他办法 3