数值分析试卷及其答案3

给定的数据如下 分 又因为 且设 所以 分 故 分 由于 插值多项式 的三次 解 先求出满足 使得次的代数多项式求一个次数不超过分 分故 分 则令 则有令 分为所以可知牛顿迭代公式 分 的单根 又因为为方程 所以解 因为 的值式求的迭代公式 并用此公 导出求应用牛顿法于方程分 分所以就有 分分分 分分解 消元法列主元分 4 33 4 1 1 4 1 2 4 1 A12 11111 00000 1 2123 2 1 2321 1 0 21110001010 111000 12 1110004 3 7 1 723805 10115 272380529 1072280522 1073208918 1065217391 1010 345 230 115 2 3 2 1 2 2 1 2 2 1 11501 27 1 0 1 1 2 1 0 4 13 000 25200 104730 30012 1 2 1 2 2 1 00 25200 104730 30012 1 25200 2 1 2 2 1 00 104730 30012 1 25200 2 9 03 2 3 0 104730 30012 2 25200 104730 30321 30012 25200 104730 30321 30012 25200 104730 3032 3002 17 2 2 2 22 44 33 44 33 44 2 2 34 222 3 22 111 22 111 11 10 01 0 1113 1 0103 33 33 4 44 4444 43210 2 1 3 3 3 2 1 3 2 2 4 3 2 1 4321 4321 4321 4321 A xxxxxxx xxxx xxxxxxx xxxlxxxgxxxlxxxlxh xxx xx xx xlxgxhx fffffxgfxgfxhfxhx Hermite xP xxxxx x x xa xax aa axx x x a x a x xf xf xx x a xfxfax x a xf a x a xf x x x x xxxx xxxx xxxx xxxx Gauss k k k kk kk kkkk 分 分 差商表由图中所给出数据构造 分 插值多项式为故 分 分 分 分解 的三次牛顿插值多项式写出 项式的三次拉格朗日插值多写出 给定的函数值如下 分 332 5 1 2 3 1 21 5 5 1 05 3 1 3 4 3 4 25 13 3 1 03 21 3 35 42 1 23 34 2 02 13 2 232 15 1 52 3 2 53 2 1 532 30 1 132 30 1 053525 032 152 6 1 530323 502 153 6 1 523202 530 1532 30 1 503020 532 1 2 1 25 43 32 10 414 02132101021001003 3210 321210 322110 332211003 032313 021 3 320212 310 2 312101 320 1 302010 321 0 3 3 xxxxxx xxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxN xxxxf xxxfxxxf xxfxxfxxf xxxxxxxxxxxx xlxfxlxfxlxfxlxfxLLagrange xxx xxx xxxxxx xxxxxx xl xxx xxx xxxxxx xxxxxx xl xxx x xxx xxxxxx xxxxxx xl xxx xxx xxxxxx xxxxxx xl xNxf xLxf ffff 分有唯一跟在收敛方程 分 分 即 解 其收敛阶对于收敛函数的迭代求 性在所给的区间上的收敛 试讨论已知迭代函数分 1 2 1 0 2 1 0 2 2 1 0 1 4 1 2 1 2 2 1 0 2 1 0 5 2 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 5 5 10 2 1 xgxxgxx xL x xg xxggxggx xgxx x xg nn def nn 分为的最佳平方逼近多项式故所求 分 故方程组的解为 分 定义内积项式为解 设最佳平方逼近多 的最佳平方逼近 上求关于 在分 1 128 105 64 105 128 15 2 128 105 64 105 128 15 3 1 2 1 1 9 2 7 2 5 2 7 2 5 2 3 2 5 2 3 2 2 5 3 1 2 1 11 9 2 7 2 5 2 5 2 1 3 2 1 21 1 111 6 8 42 210 2 1 0 0 1 5 1 0 5 1 1 44 0 1 3 1 0 3 1 1 22 0 1 1 0 1 1 1 1 844 1 1 64222 1 1 44 1 1 2 1 1 4 2 2 10 42 xxxSxf aaa a a a dxxdxxdxxxxfdxxdxxdxxxxf xdxxdxdxxfdxxxx dxxxxxxdxxxdxxx fgdxgfxaxaaxS xxspanxxf 分位有效数字具有故得 分 分 解 有几位有效数字 确定它的近似值设分 2403 20 4 2 2105 01000157 0 22102003 0 03 2003157 20 7 6 22 2 xllm xxmx xx 分 故 分而时 则 作变换分公式为点上的 解 由于区间 公式点的 构造计算积分给定积分分 23 62 3 6223 3 222 3 3 222222 2 22 1 1 22 2 3 3 3 3 211 2 8 6 1 1 1 1 abba f abba f ababba f ab abba f ab dt ab t abba fdxxffI t abba fxftbaxt abba x ffdxxfGauss GaussfIdxxffI b a b a 分具有三次代数精度右边 故所求求积公式 左边右边左边 时 带入则故求积公式成立 但当 分代入公式有再用 分有两次代数精度 故原求积公式至少具解得 分代入公式中有解 分别用 所具有的代数精度名所构造出的求积公式代数精度尽量高 并指 使其求积公式中的待定参数确定分 2 3 2 5 2 0 1 3 0 3 4 3 0 1 3 4 3 3 3 2 0 2 1 0 9 7 554 43 3 3 101 3 011 32 1 2 1 11 101 2 101 hhdxx xxfdxxdxxf h h hh h hfAfAhfAxxf hA h AA hhAhA hAhA hAAA xxxf hfAfAhfAdxxf h h h h h h h h 分 用辛普森公式计算 分 分 复合梯形公式 和辛普森公式计算分别用复合梯形公式的分 31115718 0 1240 68 1 82 31114024 0 2 01836066 01643836 01423488 0 1176471 0090566 0 0615385 0 0311284 0 20 2 120 2 1 8 1 8 01 81 8 4 107 7 1 7 0 2 18 7 1 8 1 0 2 fxfxff h Shn h fxff h Thn ndx x x i i i i i i 分时 雅克比迭代收敛即当 解得故由收敛条件知分解得 分雅克比迭代矩阵为 分正定故 时 证 当 是收敛的 代只对是正定的 而雅克比迭对于证明矩阵分 2 2 1 2 1 2 1 12 22 2 2 0 0 0 3 0121 1 1 1 1 1 1 01 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 119 321 2 2 3 2 21 a aaBaa aa aa aa aa BI aa aa aa B A aa aa aa aa Aa a a AAa aa aa aa aa A J J 公式点 分个 故所给求积公式为积节点只有次代数精度 但由于求故所给公式具有 分右边 左边右边左边 时 但当分右边时 左边 同理可证 当 分右边 左边右边时当 分右边 左边 右边时 证 当 是高斯求积公式证明分 Gauss dxx xxfxxxxxf dxxxxf fffdxxfxf fffdxxf 3 135 2 25 6 5 3 508 5 3 5 9 1 7 2 2 10 5 3 508 5 3 5 9 1 0 12 5 3 508 5 3 5 9 1 21 5 3 508 5 3 5 9 1 127 6 6 6 1 1 6 6432 5 5 5 1 1 55 1 1 1 1 分 上述问题的近似解为取 分库塔法迭代公式为 解 经典的龙格 题库塔法求解下列初值问 用四阶经典的龙格取分 分 计算结果为代入 分欧拉公式为 保留到小数点后四位计算到取步长题用欧拉方法求解初值问分 分 带入计算公式 得 将 分得 代入 将 分解 改进欧拉方法 计算到取步长值问题用改进欧拉方法求解初分 243650273 3 0 1 22625104165 2 8 0 044212913 2 6 0 583635920 1 4 0 242800000 1 2 0 2 0 10 5 2 2 2 2 22 6 10 10 2 0 157 30050 0 3 0 0010 0 2 0 0000 0 1 00 12 1 0 100 3 0 1 0 00 100 144 3050144388 0 3 0 021927500 02 0 005500 0 1 01 00 1 111 22 1 2 2 3 0 1 0 00 136 0 34 23 12 1 43211 3 210 22 1