5曲线的位置关系是高中数学的重要内容（内江三中何荣忠）

1 解析几何复习建议解析几何复习建议 内江三中 何荣忠 高考命题分析高考命题分析 综合新课标近三年来的各地高考试题 我们发现高考命题在本章呈现以 下规律 1 从考查知识点上看 直线 圆 椭圆 双曲线 抛物线的概念以及直线与圆锥曲 线的位置关系是每年必考的重点内容 考查形式多样 既有选择题 填空题 也有解答题 一般在选择题 填空题上突出考查圆锥曲线的概念与性质的 应用 题量一般为 1 2 个小题 选择题 填空题 和 1 个解答题 分值在 17 23 分之间 2 从命题思路上看 知识运用 综合应用性问题和探索性问题都有涉及 但是 命题时仍然以基础知识和基本方法为主 在考查知识和命题角度上更加注重 知识的基础性和应用性 以应用立意 以基础立本 这个命题思路正符合了 新课标的理念 所以掌握直线 圆锥曲线的又关概念及性质 在此基础上灵 活运用圆锥曲线的知识和解析法来处理问题重点 3 纵观近三年来得新课标地区的试题 我们可以看出 只要加强对圆锥曲线的 有关概念及性质等基础知识的掌握 才能处理综合问题 尤其表现在解答问 题中的解题方法 不仅仅考查圆锥曲线的基础知识 基本方法而且考查学生 分析问题 解决问题的能力 考查学生灵活应用知识的能力 本部分内容充 分体现了解析几何的基本思想和方法 且灵活多变 是考查学生思维品质 数学意识 解决问题的能力的有效途径 直线与圆锥曲线结合 直线 圆锥曲 线与函数 不等式 三角 平面向量等形成知识交汇 形成 应用性问题 和 探 索性问题 高考命题特点高考命题特点 1 直线与圆的方程 圆锥曲线的定义 标准方程 几何性质等是支撑解析几何的基石 也是高考命题的基本元素 高考十分注重对这些基础知识的考查 有的是求圆锥曲线的 标准方程 有的是直接考查圆锥曲线的离心率 有的是对直线与圆锥曲线的位置关系进 行考查等 2 试题在考查相应基础知识的同时 着重考查基本数学思想和方法 如分类讨论思想 数形结合思想 除此之外 许多试卷都非常重视对考生思维能力和思维品质的考查 3 解析几何是高中数学的重点内容 它的特点是用代数的方法研究解决几何问题 重点 是用 数形结合 的思想把几何问题转化为代数问题 这类试题涉及面广 综合性强 题目新颖 灵活多样 解题对能力要求较高 2 高考动向透视高考动向透视 1 圆的方程 对于圆的方程 要熟练运用与圆相关的基本问题的求解方法 如求解圆的方程的待 定系数法 求圆的圆心与半径的配方法 求圆的弦心距的构造直角三角形法 判断直线 与圆 圆与圆的位置关系的代数法与几何法 求圆的切线的基本方法等 这些方法是解 决与圆有关问题的常用方法 必须认真领会 熟练运用 在 2012 的高考中 有 10 个省 考察了该部分 以直线与圆交汇问题为主 其中直线与圆的位置关系是一个主要命题方 向 方法 1 代数法 解题步骤 通过消元得到关于 x 的一元二次方程 根据方程的个数对各个选项 进行讨论 适用情况能转化为直线与圆的方程组的问题 方法 2 几何法 解题步骤 求出圆心到直线的距离和圆的半径的大小 判断二者的大小 大于半径相离 等于半径相切 小于半径相交 适用情况通过圆的几何性质能求出圆心到直线的距离和圆的半径的大小 例 2012 年高考 天津理 设 若直线与圆mnR 1 1 2 0mxny 相切 则的取值范围是 22 1 y 1 1x m n 分析 直线与圆相切 圆心到直线的 1 1 2 0mxny 22 1 y 1 1x 1 1 距离为 所以 设 22 1 1 2 1 1 1 mn d mn 2 1 2 mn mnmn t mn 则 解得 2 1 1 4 tt 22 2 2 2 2 t 2 圆锥曲线的定义 标准方程 1 圆锥曲线的定义是高考考查的重点之一 对于圆锥曲线定义的考查 一般涉及焦点 3 长轴 短轴 焦距之间的关系 属于基础知识 基本运算的考查 解题时要注意恒等变 形 进行合理转化与化归 在 2012 的高考中 有十多个省考查了该部分 在求解有关圆锥曲线的最值问题时 通常是利用函数的观点 建立函数表达式进行 求解 但是 一味的强调函数观点 有时会使思维陷入僵局 这时 若能考虑用圆锥曲 线的定义来求解 问题就显得特别的简单 下面就列举一些例子加以说明 例 1 如图 如果 M 是以 A B 为焦点的椭圆 22 1 43 xy 上任一点 若点 M 到点 1 1 2 C 与点 B 的距离之差为 S 则 S 的最值是多少 分析 连结 MA 由椭圆的第一定义可得 22MBMCaMAMCaMAMC 当且仅当 A M C 三点共 线时取得最大 最小值 如上图所示 对于抛物线和双曲线 也有类似的结论 例 2 2012 年高考 四川理 已知抛物线关于轴对称 它的顶点在坐标原点 并xO 且经过点 若点到该抛物线焦点的距离为 则 0 2 MyM3 OM A B C D 2 22 342 5 2 圆锥曲线的标准方程在新课标高考中占有十分重要的地位 一般地 求圆锥曲 线的标准方程是作为解答题中考查 直线与圆锥曲线 的第一小问的 这一问至关重要 因为只有求出了曲线方程 才能进行下一步的运算 求曲线方程的方法很多 其中 待 定系数法 最为常见 在 2012 的高考中 有 13 个省大题第一问求圆锥曲线的标准方程 三个省考选择题 示例 1 2012 年高考 山东理 已知椭圆 4 的离心学率为 双曲线的渐近线与椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 3 2 22 1xy 有四个交点 以这四个焦点为顶点的四边形的面积为 16 则椭圆的方程为 CC A B C D 22 1 82 xy 22 1 126 xy 22 1 164 xy 22 1 205 xy 示例 2 2012 年高考 湖南理 已知双曲线 C 1 的焦距为 10 点 P 2 2 x a 2 2 y b 2 1 在 C 的渐近线上 则 C 的方程为 A 1B 1C 1D 1 2 20 x 2 5 y 2 5 x 2 20 y 2 80 x 2 20 y 2 20 x 2 80 y 示例 3 2012 年高考 大纲理 椭圆的中心在原点 焦距为 4 一条准线为 则4x 该椭圆的方程为 A B C D 22 1 1612 xy 22 1 168 xy 22 1 84 xy 22 1 124 xy 3 圆锥曲线的离心率 离心率是高考对圆锥曲线考查的又一个重点 求离心率取值范围问题是解析几何中常见 的问题 求解时 可根据题意列出关于 a b c 的相应等式 并把等式中的 a b c 转 化为只含有 a c 的齐次式 再转化为含 e 的等式 最后求出 e 该类题型较为基础 简单 一般以填空题 选择题或解答题的第一问的形式出现 是送分题 只要我们熟练掌握圆 锥曲线的几何性质 就可以顺利解题 在 2012 的高考中 有 8 个省出现了离心率有关的 题 多数是以填空题 选择题或解答题的第一问的形式出现 示例 1 2012 年高考 新课标理 设 12 FF是椭圆的左 22 22 1 0 xy Eab ab 右焦点 为直线 3 2 a x 上一点 21 F PF是底角为30 的等腰三角形 则的离心率 P E A B C D 1 2 2 3 5 解析 选 21 F PF是底角为30 的等腰三角形C 221 33 2 2 24 c PFF Facce a 示例 2 2012 年高考 江西理 椭圆 a b 0 的左 右顶点分别是 A B 22 22 1 xy ab 左 右焦点分别是 F1 F2 若 AF1 F1F2 F1B 成等比数列 则此椭圆的离心率为 利用椭圆及等比数列的性质解题 由椭圆的性质可知 1 AFac 12 2FFc 又已知 成等比数列 故 即 1 FBac 1 AF 12 FF 1 FB 2 2 ac acc 则 故 即椭圆的离心率为 222 4acc 22 5ac 5 5 c e a 5 5 4 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系是高中数学的重要内容 也是高考数学试题的热点之一 我们对它的认识是 高中数学教材在第八童第三单元抛物线部分用两道例题引入直线与 抛物线的位置关系 在本章小结部分有一道直线与抛物线关系的例题 在复习参考题八 列出了直线与椭圆 双曲线 抛物线的练习题若干 结论是课文将该部分内容只在例题 和复习题中体现 高考大纲没有单列对该项的要求 但是直线与圆锥曲线的关系每年的 出题率是 此类试题一般为高考的压轴题 主要考查圆锥曲线的标准方程 直线100 与圆锥曲线的位置关系 高考经常设计探究是否存在的问题 也经常考查与平面向量知 识的综合运用 处理此类问题 主要是在 算 上下工夫 即利用向量坐标关系及方程 的思想 借助根与系数的关系解决问题 解题时 也要特别注意特殊情况 如斜率不存在 的情况 的处理 直线与圆锥曲线的位置关系确定途径 一是联立方程组 消元 用二次方程判别式的正 负来确定 二是通过直线恒过某定点 该定点与圆锥曲线的关系来确定 如 直线 与的位置关系是 A 相离 B 相交 C 相切 D 不确定 20axya 22 9xy 解析 看准直线恒过定点 圆心到点的距离 2 小于半径 3 则点 2 0 0 0 2 0 在圆内 直线恒于圆相交 选 B 直线与圆锥曲线只有一个交点的问题 应全面考虑 如与圆或椭圆只有一个交点 可以从相切角度入手 计算斜率的方法注意用判别式为零或对其求导数两种方法 直线 与双曲线只有一个交点有两种可能 即直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行 而直线与抛物线只有一个交点的两种可能 分别是相切和直线平行抛物线的对称轴 圆锥曲线的弦的有关问题是高考命题的热点之一 主要涉及两大类题型 弦长问题 和弦的中点问题 如椭圆的弦长公式 222 2 121212 1 ABxxyyxxk 中点弦问题常用的 点差法 等 都要求学生熟练掌握 2 2 1212 41 xxx xk 6 示例 1 2012 年高考 浙江理 如图 椭圆 C a b 0 的离心率为 其左 22 22 1 xy ab 1 2 焦点到点P 2 1 的距离为 不过原点O的直线l与 C 相交于A B两点 且线段AB被10 直线OP平分 求椭圆 C 的方程 求ABP的面积取最大时直线l的方程 解析 由题 1 1 2 c e a 左焦点 c 0 到点P 2 1 的距离为 2 22 2 1dc 10 由 1 2 可解得 222 431abc 所求椭圆 C 的方程为 22 1 43 xy 易得直线OP的方程 y x 设A xA yA B xB yB R x0 y0 其中y0 x0 1 2 1 2 A B在椭圆上 22 0 22 0 1 2333 43 44 22 1 43 AA ABAB AB ABAB BB xy xyyxx k xxyyy xy 设直线AB的方程为l y m 0 3 2 xm 代入椭圆 22 22 1 43 3330 3 2 xy xmxm yxm 显然 222 3 4 3 3 3 12 0mmm m 且m 0 1212 由上又有 m AB xx AB yy 2 3 3 m AB 1 AB k AB xx 1 AB k 2 4 ABAB xxx x 39 6 2 12m 点P 2 1 到直线l的距离为 822 4 1313 mm d S ABP d AB 1 2 3 6 其中 m 且 22 4 12 mm 1212 7 m 0 利用导数解 令 22 4 12 u mmm 则 2 4 4 26 4 4 17 17 u mmmmmmm 当m 时 有 S ABP max 17 此时直线l的方程 322 720 xy 答案 22 1 43 xy 322 720 xy 高考预测高考预测 1 考查圆锥曲线中的弦长问题 直线与圆锥曲线方程的联立 根与系数的关系 整体代 入和设而不求的思想 2 高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行 考查函数 方程 不等式 平面 向量等在解决问题中的综合运用 复习时 应从 数 与 形 两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系 会判断已知 直线与曲线的位置关系 或交点个数 会求直线与曲线相交的弦长 中点 最值 定值 点的轨迹 参数问题及相关的不等式与等式的证明问题 备考策略备考策略 根据近三年的高考命题特点和规律 复习本章时 要注意以下几个方面 1 切实掌握直线倾斜角 斜率的概念 直线方程的几种形式 特别是直线方程各种形式的 适用条件 掌握两直线的平行于垂直所满足的条件 点到直线的距离公式等 会求在不 同条件下的直线方程 2 掌握直线与圆 圆与圆的位