北京四中2013届高三数学上学期期中测验试题 文 新人教B版

1 北京四中北京四中 2012 20132012 2013 年度第一学期高三年级期中数学试题年度第一学期高三年级期中数学试题 试卷满分为试卷满分为 150150 分 考试时间为分 考试时间为 120120 分钟 考生务必将答案写在答题纸上 在试卷上作分钟 考生务必将答案写在答题纸上 在试卷上作 答无效 答无效 第一部分 选择题 共第一部分 选择题 共 4040 分 分 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求 的一项的一项 1 已知集合 则 A B C D 答案 B 解析 所以 3 0 03 Px x xxx 2 22 Qx xxx 选 B 02 0 2 PQxx 2 是 的 A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由 得或 所以 是 1 cos 2 2 3 k 2 3 kkZ 的充分不必要条件 选 B 3 是等差数列的前项和 若 则 A 15 B 18 C 9 D 12 答案 D 解析 在等差数列中 所以 所以 153 53 5 5 2 520 22 aaa Sa 3 4a 选 D 2343 312aaaa 4 设为两个平面 为两条直线 且 有如下两个命题 若 若 那么 A 是真命题 是假命题 B 是假命题 是真命题 C 都是真命题 D 都是假命题 2 答案 D 解析 若 则或异面 所以 错误 同理 也错误 所以选 D lm l m 5 若是所在平面内的一点 且满足 则一 0BOOCOCOA A 定是 A 等边三角形 B 等腰直角三角形 C 直角三角形 D 斜三角形 答案 C 解析 由得 即 所以 所 0BOOCOCOA A 0BC AC ABCAC 90C 以三角形为直角三角形 选 C 6 将函数的图象按向量平移后得到图象对应的函数解析式是 A B C D 答案 D 解析 图象按向量平移 相当于先向右平移个单位 然后在向上平移 1 个单位 2 图象向右平移个单位 得到 然后向上平移 1 2 sin2 sin 2 sin2 2 yxxx 个单位得到 选 D sin21yx 7 已知函数的部分图象如图所示 则 函数的解析式为 A B C D 答案 B 3 解析 由图象可知 即 又 所以 3 2 2 222 T A 4T 2 4T 所以函数 又 即 1 2 1 2sin 2 f xx 1 2sin 2 222 f 即 即 因为 sin 1 4 2 42 kkZ 3 2 4 kkZ 所以 所以函数为 选 B 3 4 13 2sin 24 f xx 8 已知函数 给出下列四个说法 若 则 的最小正周期是 在区间上是增函数 的图象关于直线对称 其中正确说法的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 B 解析 函数 若 即 1 sin cossin2 2 f xxxx 12 f xf x 所以 即 所以 12 11 sin2 sin2 22 xx 12 sin2 sin2xx 12 sin2 sin 2 xx 或 所以 错误 所以周期 12 2 22xxk 12 2 22 xxkkZ 2 所以 错误 当时 函数递增 所以 正确 2 T 44 x 2 22 x 当时 为最小值 所以 正确 所以正确 3 4 x 313131 sin 2 sin 424222 f 的有 2 个 选 B 第二部分 非选择题 共第二部分 非选择题 共 110110 分 分 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 9 函数的递增区间是 答案 3 4 解析 令 则函数在定义域上单调递减 由 2 23txx 1 2 logyt 得 或 当时 单调递减 根据复 2 230txx 1x 3x 3x 2 23txx 合函数的单调性可知 此时函数单调递增 所以函数的递增区间 为 3 10 向量 满足 且 则 夹角的等于 2 4abab A 答案 120 解析 由得 即 所以 2 4abab A 22 24aa bb A 4a b A 所以 41 cos 2 42 a b a b a b A 120a b 11 已知函数的最小正周期是 则正数 答案 2 解析 因为的周期为 而绝对值的周期减半 即 sin 6 yx 2 T 的周期为 由 得 sin 6 yx T 2 T 2 12 湖面上漂着一个小球 湖水结冰后将球取出 冰面上留下了一个直径为 12 cm 深 2 cm 的空穴 则该球的半径是 cm 表面积是 cm 答案 10 400 解析 设球的半径为r 画出球与水面的位置关系图 如图 由勾股定理可知 解得r 10 所以 表面积为 2 44100400r 5 13 某几何体的三视图如图所示 该几何体的体积是 答案 解析 由三视图可知 该几何体为直三棱柱 所以体积为 3 11 22 aaaa 14 如上页图 一条螺旋线是用以下方法画成 是边长为 1 的正三角形 曲线 分别以为圆心 为半径画的弧 曲线称为 螺旋线旋转一圈 然后又以为圆心为半径画弧 这样画到第圈 则所得整条螺 旋线的长度 用表示即可 答案 31 nn 解析 设第n段弧的弧长为 由弧长公式 可得 数列是以为首项 为公差的等差数列 画到第n圈 有3n段弧 故所得整条螺旋线的长度 6 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题满分 13 分 在中 求角 设 求的面积 16 本小题 13 分 已知函数 求函数图象的对称轴方程 求的单调增区间 当时 求函数的最大值 最小值 17 本小题满分 13 分 如图 正三棱柱中 D是BC的中点 求证 求证 求三棱锥的体积 18 本小题满分 13 分 7 已知各项都不相等的等差数列的前六项和为 60 且的等比中项 求数列的通项公式 若数列的前项和 19 本小题满分 14 分 已知函数处取得极值 求的值 若当恒成立 求的取值范围 对任意的是否恒成立 如果成立 给出证明 如果不成立 请说明理由 20 本小题满分 14 分 设数列的首项R 且 若 若 证明 若 求所有的正整数 使得对于任意 均有成立 参考答案参考答案 第一部分 选择题 共第一部分 选择题 共 4040 分 分 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 分 1 B 2 B 3 D 4 D 5 C 6 D 7 B 8 B 第二部分 非选择题 共第二部分 非选择题 共 110110 分 分 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 9 10 11 2 12 10 400 13 14 n 3n 1 120 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 分 15 本小题满分 13 分 解 由 得 8 所以 3 分 6 分 且 故 7 分 解 据正弦定理得 10 分 所以的面积为 13 分 16 本小题 13 分 解 I 3 分 令 函数图象的对称轴方程是 5 分 II 故的单调增区间为 8 分 III 10 分 11 分 当时 函数 最小值为 9 13 分 17 本小题满分 13 分 证明 ABC A1B1C1是正三棱柱 BB1 平面 ABC BD 是 B1D 在平面 ABC 上的射影 在正 ABC 中 D 是 BC 的中点 AD BD 根据三垂线定理得 AD B1D 解 连接 A1B 设 A1B AB1 E 连接 DE AA1 AB 四边形 A1ABB1是正方形 E 是 A1B 的中点 又 D 是 BC 的中点 DE A1C 7 分 DE平面 AB1D A1C平面 AB1D A1C 平面 AB1D 9 分 13 分 18 本小题满分 13 分 解 设等差数列的公差为 则 1 分 又 2 分 解得 4 分 5 分 6 分 由 10 9 分 13 分 19 本小题满分 14 分 解 f x x3 x2 bx c f x 3x2 x b 2 分 f x 在x 1 处取得极值 f 1 3 1 b 0 b 2 3 分 经检验 符合题意 4 分 f x x3 x2 2x c f x 3x2 x 2 3x 2 x 1 5 分 x 1 1 2 2 f x 0 0 f x 7 分 当x 时 f x 有极大值 c 11 又 x 1 2 时 f x 最大值为f 2 2 c 8 分 c2 2 c c2 10 分 对任意的恒成立 由 可知 当x 1 时 f x 有极小值 又 12 分 x 1 2 时 f x 最小值为 故结论成立 14 分 20 本小题满分 14 分 解 因为 所以a2 a1 4 a 4 且a2 3 4 所以a3 a2 3 a 1 且a3 0 1 所以a4 a3 4 a 3 且a4