【步步高】2014届高三数学一轮 4.3 三角函数的图像与性质课时检测 理 （含解析）北师大版

1 4 34 3 三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质 一 选择题 1 函数f x 2sin xcos x是 A 最小正周期为 2 的奇函数 B 最小正周期为 2 的偶函数 C 最小正周期为 的奇函数 D 最小正周期为 的偶函数 解析 f x 2sin xcos x sin 2x f x 是最小正周期为 的奇函数 答案 C 2 已知 0 0 直线 4 x和 4 5 x是函数f x sin x 图像的两条相 邻的对称轴 则 A B C D 4 3 2 3 4 解析 因为 4 x和 4 5 x是函数图像中相邻的对称轴 所以 即 答案 A 3 函数f x 1 tan x cos x的最小正周期为 3 A 2 B C D 3 2 2 解析 依题意 得f x cos x sin x 2sin 故最小正周期为 2 3 x 6 答案 A 4 函数y sin在区间上 x 4 0 2 A 单调递增且有最大值 B 单调递增但无最大值 C 单调递减且有最大值 D 单调递减但无最大值 解析 由 x 得 x 2 4 2 4 3 4 2 则函数y sin在区间上是增函数 x 4 4 3 4 又 所以函数在上是增函数 且有最大值 故选 A 0 2 4 3 4 0 2 2 2 答案 A 5 已知函数f x sin x R 下面结论错误的是 x 2 A 函数f x 的最小正周期为 2 B 函数f x 在区间上是增函数 0 2 C 函数f x 的图像关于直线x 0 对称 D 函数f x 是奇函数 解析 y sin cos x T 2 在上是增函数 图像关于y轴对称 x 2 0 2 为偶函数 答案 D 6 函数y sin2x sin x 1 的值域为 A 1 1 B 5 4 1 C D 5 4 1 1 5 4 解析 数形结合法 y sin2x sin x 1 令 sin x t 则有y t2 t 1 t 1 1 画出函数图像如图所示 从图像可以看出 当t 及t 1 时 函数取最值 代入 1 2 y t2 t 1 可得y 5 4 1 答案 C 点评 本题采用换元法转化为关于新元的二次函数问题 再用数形结合来解决 但换元 后注意新元的范围 7 已知函数f x 2sin x x R 其中 0 若f x 的最小正 周期为 6 且当x 时 f x 取得最大值 则 2 A f x 在区间 2 0 上是增函数 B f x 在区间 3 上是增函数 3 C f x 在区间 3 5 上是减函数 D f x 在区间 4 6 上是减函数 解析 f x 的最小正周期为 6 1 3 当x 时 f x 有最大值 2 2k k Z 2k 1 3 2 2 3 3 f x 2sin 由此函数图像易得 在区间 2 0 上是增函数 而在区间 x 3 3 3 或 3 5 上均没单调性 在区间 4 6 上是单调增函数 答案 A 二 填空题 8 定义在 R 上的函数f x 既是偶函数又是周期函数 若f x 的最小正周期是 且当 x 0 时 f x sin x 则f的值为 2 5 3 解析 f f f sin 5 3 3 3 3 3 2 答案 3 2 9 已知函数f x sin x cos x 是偶函数 则 的值为 3 2 2 解析 回顾检验法 据已知可得f x 2sin 若函数为偶函数 则必有 x 3 k k Z 又由于 故有 解得 经代入检 3 2 2 2 3 2 6 验符合题意 答案 6 点评 本题根据条件直接求出 的值 应将 再代入已知函数式检验一下 10 函数f x 的最大值为M 最小值为m 则M m 2sin x 4 2x2 x 2x2 cos x 解析 构造法 根据分子和分母同次的特点 把分子展开 得到部分分式 f x 1 f x 1 为奇函数 则m 1 M 1 所以M m 2 x sin x 2x2 cos x 4 答案 2 点评 整体思考 联想奇函数 利用其对称性简化求解 这是整体观念与构造思维的一 种应用 注意到分式类函数的结构特征 借助分式类函数最值的处理方法 部分分式法 变 形发现辅助函数为奇函数 整体处理最大值和最小值的问题以使问题简单化 这种构造特 殊函数模型的方法来源于对函数性质应用的深刻理解 11 关于函数f x 4sin x R 有下列命题 2x 3 由f x1 f x2 0 可得x1 x2必是 的整数倍 y f x 的表达式可改写为y 4cos 2x 6 y f x 的图像关于点对称 6 0 y f x 的图像关于直线x 对称 6 其中正确命题的序号是 把你认为正确的命题序号都填上 解析 函数f x 4sin的最小正周期T 由相邻两个零点的横坐标间的距离 2x 3 是 知 错 T 2 2 利用诱导公式得f x 4cos 2 2x 3 4cos 4cos 知 正确 6 2x 2x 6 由于曲线f x 与x轴的每个交点都是它的对称中心 将x 代入得f x 4sin 6 4sin 0 0 2 6 3 因此点是f x 图像的一个对称中心 故命题 正确 曲线f x 的对称轴必经过 6 0 图像的最高点或最低点 且与y轴平行 而x 时y 0 点不是最高点也不 6 6 0 是最低点 故直线x 不是图像的对称轴 因此命题 不正确 6 答案 12 给出下列命题 正切函数的图像的对称中心是唯一的 y sinx y tanx 的最小正周期分别为 2 若x1 x2 则 sinx1 sinx2 5 若f x 是 R 上的奇函数 它的最小正周期为T 则f 0 T 2 其中正确命题的序号是 解析 正切函数的对称中心是 k Z y sinx y tanx 的最小正周期都 k 2 0 是 正弦函数在定义域 R 上不是单调函数 f f f f 故 T 2 T 2 T T 2 T 2 f 0 T 2 答案 三 解答题 13 已知函数f x 2sinxcosx 2sin2x 1 1 求函数f x 的最小正周期及值域 2 求f x 的单调递增区间 解析 1 f x sin2x cos2x sin 2 2x 4 则函数f x 的最小正周期是 函数f x 的值域是 2 2 2 依题意得 2k 2x 2k k Z 2 4 2 则k x k k Z 3 8 8 即f x 的单调递增区间是 k Z k 3 8 k 8 14 已知f x sin x sin 2 x 1 若 0 且 sin 2 求f 的值 1 3 2 若x 0 求f x 的单调递增区间 解析 1 由题设知 f sin cos sin 2 2sin cos 0 0 1 3 sin cos 0 0 2 由 sin cos 2 1 2sin cos 4 3 得 sin cos f 2 3 3 2 3 3 2 f x sin 又 0 x 2 x 4 f x 的单调递增区间为 0 4 15 设函数f x sin 2x 0 y f x 图像的一条对称轴是直线x 8 6 1 求 2 求函数y f x 的单调增区间 解析 1 令 2 k k Z 8 2 k k Z 4 又 0 则 k k Z 5 4 1 4 k 1 则 3 4 2 由 1 得 f x sin 2x 3 4 令 2k 2x 2k k Z 2 3 4 2 可解得 k x k k Z 8 5 8 因此y f x 的单调增区间为 k Z 8 k 5 8 k 16 已知a 0 函数f x 2asin 2a b 当x 时 5 f x 1 2x 6 0 2 1 求常数a b的值 2 设g x f且 lg g x 0 求g x 的单调区间 x 2 解析 1 x 2x 0 2 6 6 7 6 sin 2x 6 1 2 1 2asin 2a a 2x 6 f x b 3a b 又 5 f x 1 b 5 3a b 1 因此a 2 b 5 2 由 1 得a 2 b 5 f x 4sin 1 2x 6 g x f 4sin 1 x 2 2x 7 6 7 4sin 1 2x 6 又由 lg g x 0 得g x 1 4sin 1 1 2x 6 si