幂函数与函数图像变换

幂函数与函数图像变换幂函数与函数图像变换 考纲导读考纲导读 1 了解幂函数的概念 结合函数 了解幂函数的概念 结合函数 yx 2 yx 3 yx 1 y x 的图像了解它们的变化情况 的图像了解它们的变化情况 1 2 yx 2 掌握初等函数图像变换的常用方法 掌握初等函数图像变换的常用方法 一 定义 形如一 定义 形如 R yx 是常数的函数 二 图像 二 图像 a aQ yx a a 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 类型类型双曲线双曲线直线直线抛物线抛物线直线直线抛物线抛物线 第第 象限象限 其它部分的图像由定义域及奇偶性 对称确定 其它部分的图像由定义域及奇偶性 对称确定 注意 作出注意 作出在第一象限的图像 在第一象限的图像 11 1 1 1 1 2 3 23 3 2 利用性质补齐第二或三象限的图像 利用性质补齐第二或三象限的图像 三 三 性质 结合图像 性质 结合图像 1 1 过定点 过定点 2 2 单调性 单调性 3 3 奇偶性 奇偶性 4 4 渐近线 渐近线 5 5 幂函数图像的分布 幂函数图像的分布 21012 21012 01 1 xxxxxx xxxxxx 当时 当时 分数指数可以分数指数可以 加塞儿加塞儿 四 例题分析四 例题分析 例例 1 1 利用函数性质比较大小 利用函数性质比较大小 111 362 2 3 6 解析 解析 例例 2 2 已知幂函数 已知幂函数的图像过点 的图像过点 2 2 试求此函数的 试求此函数的 yf x 2 2 解析式 并作出图像 判断奇偶性 单调性 解析式 并作出图像 判断奇偶性 单调性 解析 解析 例例 3 3 设 设 m Nm N 已知函数 已知函数在在 0 0 上是增函数 上是增函数 2 2234 2 mm f xmmx 1 1 求函数 求函数 f x f x 的解析式的解析式 2 2 设 设 试讨论 试讨论 g x g x 在在 0 0 上的单调性 上的单调性 22 0 f x g x f x 是常数 并求并求 g x g x 在区间在区间 0 0 上的最值 上的最值 解析 解析 1 1 2 2 评注 本题综合考查幂函数的定义 函数的单调性定义及单调区间 评注 本题综合考查幂函数的定义 函数的单调性定义及单调区间 求函数最值以及分类讨论的思想等 综合性较强 求函数最值以及分类讨论的思想等 综合性较强 五 初等函数图像变换五 初等函数图像变换 基本初等函数包含以下九种函数 正比例函数 反比例函数 基本初等函数包含以下九种函数 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 幂函数 指数函数 对数函数 一次函数 二次函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数待讲 三角函数 反三角函数待讲 由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数 由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数 问题 问题 的图像变换 的图像变换 2 f xx 22 1 1 yxyx 22 2 yxyx 1 1 平移变换 平移变换 y y f f x x y y f f x x a a 图像左 图像左 右 右 平移 平移0a 0a y y f f x x y y f f x x b b 图像上 图像上 下 下 平移 平移b0 b0 2 2 对称变换 对称变换 y y f f x x y y f f x x 图像关于图像关于y y轴对称轴对称 y y f f x x y y f f x x 图像关于图像关于x x轴对称轴对称 y y f f x x y y f f x x 图像关于原点对称图像关于原点对称 y y f f x x 图像关于直线图像关于直线y y x x对称对称 1 yfx 3 3 翻折变换 翻折变换 y f x y f x 把把 y 轴右边的图像保留 然后将轴右边的图像保留 然后将 y 轴左边部分轴左边部分 关于关于 y 轴对称 轴对称 注意 它是一个偶函数 注意 它是一个偶函数 y f x y f x 把把 x 轴上方的图像保留 轴上方的图像保留 x 轴下方的图像轴下方的图像 关于关于 x 轴对称轴对称 一个重要结论 一个重要结论 若若 f a x f a x 则函数 则函数 y f x 的图像