函数最值问题应用题例举

函数最值问题应用题例举函数最值问题应用题例举 例 1 2004 江苏卷 19 制订投资计划时 不仅要考虑可能获得的盈利 而且要考虑可能出现的亏损 某投资人打算投资甲 乙两个项目 根据预测 甲 乙项目可能的最大盈 利率分别为 100 和 50 可能的最大亏损率分别为 30 和 10 投资人计划 投资金额不超过 10 万元 要求确保可能的资金亏损不超过 1 8 万元 问投资人 对甲 乙两个项目各投资多少万元 才能使可能的盈利最大 考查目的 本题主要考查简单线性规划的基本知识 以及运用数学知识解决实际问题 的能力 例题详解 设投资人分别用万元投资甲 乙两个项目 yx万元 由题意知 0 0 5 11 03 0 10 y x yx yx 目标函数yxz5 0 上述不等式组表示的平面区域如图所示 阴影部分 含边界 是可行域 作直线的一组直线与可行 00 05 0 lyxl关作平行于直线 5 0Rzzy 域相交 其中有一条直线经过可行域上的 M 点 此时纵截距最大 这里点 M 是直线 8 11 03 010 yyx和的交点 解方程组 8 11 03 0 10 yx yx 得 6 4 yx 此时 万元 765 04 z 时取得最大值 6 4 yx当z 答 投资人用 4 万元投资甲项目 6 万元投资乙项目 才能在确保可能的 亏损不超过 1 8 万元的前提下 使可能的盈利最大 特别提示 1 有关用料最省 成本最低 利润最大等问题 可考虑建立目标函数 转 化为求函数的最值 2 本题的条件是一组二元一次不等式组 所求目标函数是二元一次线性函 数 所以考虑应用线性规划的知识来求解最值 3 应用线性规划求解最值 关键是目标函数相应的直线的倾角的大小 角 的大小不一样 直线经过可行域上的最大值点就不一样 例 2 2003 北京卷 理 19 有三个新兴城镇 分别位于 A B C 三点 且今计划俣建一个中心医院 为同时方便三镇居民就医 2 bBCaACAB 准备建在的垂直平分线上的处 建立坐标系如图 BCP 1 若希望点到三镇距离的平方和为最小 点应位于何处 PP 2 若希望点到三镇的最远距离为最小 点 P 位于何处 P 考查目的 本题主要考查二次函数 分段函数的最值 不等式等基本知识 考查运用 数学知识分析问题和解决问题的能力 考查分数讨论 数形结合等数学思想方 法 例题详解 1 由题设可知 设点的坐标为 则 22 0bahba 记Py 0 点至三镇距离的平方和为P 222 2 yhybyf 2 3 2 3 3 222 bh h y 当时 函数取得最小值 3 h y yf 点的坐标是 P 22 3 1 0ba 2 解法一 至三镇的最远距离为P 时 当 时 当 yhybyh yhybyb yg 22 2222 由 h bh yyhyb 2 22 22 解得 记则 2 22 h bh y 时当 时 当 yyyh yyyb yg 22 当即时 0 2 22 h bh ybh 在上是增函数 22 yb y 而在上是减函数 yh y 由此可知 当时 函数取得最小值 yy yg b 当即时 0 2 22 h bh ybh 函数在上先减后增 当时 取得最小值 而 22 yb y0 yb byh 可见 当时 函数取得最小值0 y yg b 当时 点 P 的坐标为 bh 2 2 0 22 22 ba ba 当时 点的坐标为 0 0 其中 bh P 22 bah 解法二 点至三镇的最远距离为P 时当 时 当 yhybyh yhybyb yg 22 2222 由 2 2 222 22 h bh y h bh yyhyb 记解得 于是 时 当 时 当 yyyh yyyb yg 22 当的图象如图 1 所示 0ygzbhy 时 即 当时 函数取得最小值 yy yg 当的图象如图 2 所示 0ygzbgy 时 即 当时 函数取得最小值 0 y yg 当时 点的坐标为 bh P 2 2 0 22 22 ba ba 当点的坐标为 0 0 其中时 bh P 22 bah 特别提示 1 有关涉及用料最省 成本最低 利润最大 距离和最大 小 等应用问 题 可考虑建立目标函数 转化为求函数最值问题来解决 2 解决第 2 问首先要理解 点到三镇的最远距离 的含义 才能分P 两种情形列式 yhybyhya 2222 和 3 函数的单调性在求最值中有着重要作用 运用函数的单调性求函数的最 值 是函数中常用的技巧之一 4 第 2 问的解法二 借助图象比较大小 直观有效 新颖别致 望加以 体会 例 3 如图 四边形是一块边长为 4km 的正方形地域 地域内有一条ABCD 河流 其经过的路线是以中点为顶点且开口向右的抛物线 河流宽MDABM 度忽略不计 新长城公司准备投资建一个大型炬形游乐园 如图所示 PQCN 问如何施工才能使游乐园面积最大 并求出最大面积 考查目的 本题考查解析几何 函数最值以及导数应用等基本知识 考查建模解模的 能力 考查数形结合的数学思想方法 例题详解 以为原点 AB 所在直线为 y 轴建立直角坐标系 依题意可设抛物线方M 程 pxy2 2 四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形 M 为 AB 中点 点 D 坐标为 4 2 由此得 4 2 4p 2 1 p 抛物线方程为 40 2 xxy 设是曲线 MD 上任一点 则 20 2 yyyP 2 4 2yPNyPQ 矩形游乐园面积 S PQyyyyyPN428 4 2 232 对 S 求导 得 443 2 yyS 令 得0 S 0443 2 yy 解之得 或 3 2 y2 y 20 y 3 2 y 当时 函数为增函数 3 2 0 y0 S 当时 函数为减函数 2 3 2 y0 s 所以当时 S 有最大值 3