141正弦函数、余弦函数的图象（平行班教学设计）

1 4 1 正弦函数 余弦函数的图象正弦函数 余弦函数的图象 课题 正弦函数 余弦函数的图象 方案二 方案二 设计与执教者 广州六中 江玉军 gzjyj 教学时间 1 课时 学情分析 本节课之前已经学习过了正弦线 余弦线 诱导公式 以及正 余弦函数 的一些性质 但这些知识往往是比较分散 没有形成系统 本节课利用正弦线画出了正弦 曲线 再利用诱导公式画出余弦曲线 这为后面学习正弦函数和余弦函数的性质打下了坚 实的基础 学生在学习诱导公式时 已经体会到了三角函数线的作用 本节课学生可以进 一步加深对三角函数线的理解 在得到了正弦曲线和余弦曲线后 还可以通过它们的图象 反向推导一些诱导公式 体会数学知识之间广泛而深刻的联系 形成知识网络 教学目标 1 了解正弦曲线的画法及原理 理解余弦曲线与正弦曲线的联系 2 观察 y sinx x 0 2 的图象 归纳出 五点法 并推广到余弦函数以及 复合函数的图象的画法 3 通过本节课的学习 感受数形结合 图象变换等数学思想方法的重要作用 教学重点 五点法 教学难点 正余弦曲线间的联系 数形结合 图象变换的思想方法 教学突破点 根据诱导公式确定正余弦曲线间的联系 并强调学生自主体会诱导公式 数 与图象变换 形 之间的联系 教法 学法设计 讲授法 多媒体辅助教学 观察归纳法 小组讨论法 课前准备 课件 教学过程设计 教学 环节 教学活动设计意图 一 复习 引入 复习三角形函数线 复习三角形函数线 正弦线 余弦线 设任意角 的 终边与单位圆相交于点 P x y 过 P 作 x 轴的垂线 垂足为 M 则有 MP r y sin 有向线段 MP 叫OM r x cos 做角 的正弦线 有向线段 OM 叫做角 的余弦线 教师讲述 教师讲述 遇到一个新的函数 非常自然的是画出它的图象 观察图象的 形状 看看有什么特殊点 并借助图象研究它的性质 如 值 域 单调性 奇偶性等 特别的 从前面所学的三角函数诱导 公式中 我们已经看到 三角函数值具有 周而复始 的变化 规律 下面我们首先来研究正弦函数和余弦函数的图象 复习三角函数线的有关知 识 为画正弦曲线做了必 要的准备 教师讲述本课研究的内容 和目的 让学生明确本节 课的学习任务和所学知识 在整个知识体系中的作用 二 新授 课 学生阅读课本中有关简谐运动图象的内容 学生阅读课本中有关简谐运动图象的内容 教师利用课件边演示边讲述利用正弦线画比较精确的正弦函数教师利用课件边演示边讲述利用正弦线画比较精确的正弦函数 图象的方法 图象的方法 1 1 y sinx 0 x 2 y x 2 2 3 3 2 2 2 2 1 如上图 将圆 12 等分 每一等分都是 得到 12 6 个角 不妨称为角 x 的终边 2 作出 12 个中每一个角的正弦线 3 将 x 轴从 0 到 2 这一段分成 12 等份 4 把角 x 的正弦线向右平移 使它的起点与 x 轴上的点 x 重合 5 将平移后的正弦线的终点用光滑的曲线连接起来 得到 函数 y sinx x 0 2 的图象 建立单位圆中的三角 函数线与三角函数图象之 间的联系 引出利用正弦 线作正弦函数图象的方法 实际授课时 当完成 前 4 步操作后 可利用几 何画板课件增加等分分数 使得点越来越多 最终得 到正弦曲线 这样学生可 以更形象地看到正弦线的 形成过程 另一方面 为 了让学生经历手工操作的 过程 教师也要演示如何 用光滑的曲线连结 13 个点 特别是要讲清楚曲线的 走势 这样学生画图 时就不会画成各种奇怪的 形状了 教师提问教师提问 y sinx 的定义域为 R 那么如何根据 y sinx x 0 2 的图象得到 y sinx 的图象呢 学生代表回答 教师补充完整学生代表回答 教师补充完整 由于终边相同的三角函数值相 等 所以 y sinx x 2k 2 k 1 kZ 且 k 0 的 图象与 y sinx x 0 2 的图象形状完全一致 因此我们 只需将函数 y sinx x 0 2 的图象向左 或右 平移 每次平移 2 个单位 就可以得到正弦函数 y sinx xR 的图象 教师用电脑演示教师用电脑演示 y sinx xR 的图象的图象 1 1 y x 6 5 6 5 4 3 2 0 4 3 2 f x sin x 教师引导学生利用正 弦函数 周而复始 的变 化规律作图 也可以引导 学生利用诱导公式作图 教师提问 教师提问 由诱导公式我们可以知道 正弦函数与余弦函数存 在着联系 那么如何根据诱导公式 以正弦函数为基础 通过 适当的图象变换得到余弦函数的图象呢 学生操作 小组讨论后得到结论学生操作 小组讨论后得到结论 由诱导公式可知 y cosx sin x 因此函数 y cosx 的图 2 象可看作是由 y sinx 的图象向左平移个单位而得到 2 1 1 y x 6 5 6 5 4 3 2 0 4 3 2 f x cos x 教师给出概念教师给出概念 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正 弦曲线和余弦曲线 让学生从函数解析式 之间的关系得到函数图象 之间的关系 体会数形结 合的思想方法 教师提问教师提问 上面的画正弦曲线的方法略显繁琐 在画图要求不 高的情况下能否进一步简化作图方法呢 这就象画简笔画一样 要抓住其中的特征线 关键点 那么正弦曲线有哪些关键点呢 学生观察后回答学生观察后回答 在函数 y sinx x 0 2 的图象上 起关键作的点有以下 五个 0 0 1 0 1 2 0 2 2 3 教师一边讲述 一边列表 描点 连线教师一边讲述 一边列表 描点 连线 事实上 描出以上五点之后 函数 y sinx x 0 2 的图 象就基本确定了 因此 在精确度要求不高时 我们常常先找 出这五个关键点 再用光滑的曲线将它们连接起来 就得到函 数的简图 这种方法称为 五点 画图 法 让学生从整体的角度 观察图象 抓住其中的关 键点 进而引出 五点法 实际授课时 教师也 可以利用课件减少等分圆 的分数 让学生体会为什 么恰好选择五点 多了不 必要 少了不行 教师提问 教师提问 类似地 你能否用五点法画出函数的简图呢 学生操作 教师用投影仪演示学生的作品可让学生到黑板上画学生操作 教师用投影仪演示学生的作品可让学生到黑板上画 图演示 图演示 类比正弦函数 学会 五点法 作余弦函数的 简图 三 例题 与练 习 教师讲解例教师讲解例 1 画出下列函数的简图 1 y 1 sinx x 0 2 2 y cosx x 0 2 教师重点讲解教师重点讲解 从函数图象变换的角度来看 函数 y 1 sinx 的图象可看作是由 函数 y sinx 的图象向上平移 1 个单位而得到 函数 y cosx 的图象可由函数 y cosx 的图象沿 x 轴翻折而得到 学生练习 学生练习 课本 P38 页第 2 题 观察两个函数图象的关系 并 思考为什么它们是这种关系 一方面巩固 五点法 另一方面继续让学生从 图象变换的角度认识函数 之间的关系 四 课堂 练习 说出下列函数图象之间的关系 1 y sinx y cosx 2 y sinx y sinx 3 y sinx y 2 sinx 解 1 函数 y cosx 的图象可看作是由函数 y sinx 的图象 向左平移个单位而得到 2 2 函数 y sinx 的图象可看作是由函数 y sinx 的图象向 沿着 x 轴翻折而得到 3 函数 y 2 sinx 的图象可看作是由函数 y sinx 的图象向 上平移 2 个单位而得到 巩固所学内容 并在 此基础上引导学生总结函 数解析式变换与函数图象 变换之间的关系 五 小结 本节课我们学习了用单位圆中的正弦线正弦函数的图象 用五 点法作正弦函数和余弦函数的简图