13函数的基本性质

1 3 函数的基本性质函数的基本性质 教学目标教学目标 1 理解函数的单调性 初步掌握函数单调性的判别方法 2 理解函数的最大值 最小值及其几何意义 3 结合具体函数了解奇偶性的含义 4 能够运用函数图象理解和研究函数的性质 教学要求教学要求 讨论函数的基本性质 就是要研究函数的重要特征 函数的增与减 最大值与最小值 增长率与衰减率 增长 减少 的快与慢 对称性 奇偶性 函数的零点 函数值的循环 往复 周期性 等 引导学生通过观察 归纳 抽象 概括 自主建构单调增函数 单调减函数等概念 能运用函数单调性概念解决简单的问题 使学生领会数形结合的数学思想方法 培养学生 发现问题 分析问题 解决问题的能力 在函数单调性的学习过程中 使学生体验数学的科学价值和应用价值 培养学生善于 观察 勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度 教学重点教学重点 函数的单调性的概念 判断 证明函数的单调性 形成奇偶性的定义 教学难点教学难点 1 函数的单调性和奇偶性定义的形式化表达 2 利用增 减 函数的定义判断函数的单调性 教学时数教学时数 3 课时 教学过程教学过程 第一课时 1 3 1 单调性与最大 小 值 函数的单调性 新课导入新课导入 一 情景问题 如图为 2008 年北京奥运会奥林匹克公园场馆自动气象站某日一天 24 小时内的气温变 化图 24 时与 0 时气温相同为 32 C 观察这张气温变化图 问 该图形是否为函数图象 定义域是什么 问 如何用数学语言来刻画温度随时间变化而变化的趋势呢 由 函数在某个区间内随着自变量的增加函数值增大或减小 引入课题 函数的单 调性 二 观察函数图象 认识 上升 与 下降 请同学们画出函数和的图象 并观察图象的变化特征 说说自己xxf 2 xxf 的看法 呈现这两个函数的图象 课本第 27 页图 可观察到的图象特征 1 函数的图象由左至右是上升的 xxf 2 函数的图象在轴左侧是下降的 在轴右侧是上升的 也就是图象 2 xxf yy 在区间上 随着的增大 相应的随着减小 在区间上 随着的增 0 x xf 0 x 大 相应的也随着增大 xf 归纳 从上面的观察分析可以看出 不同的函数 其图象的变化趋势不同 同一函数 在不同区间上的变化趋势也不同 函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映 新课进展新课进展 一 函数的单调性 1 如何用函数解析式描述 随着的增大 相应的随着减小 随 2 xxf x xf 着的增大 相应的也随着增大 x xf 在区间上任取 x1 x2 函数值的大小变化与自变量的大小变化有何关系 如何用 0 数学符号语言来描述这种关系呢 对于函数 经过师生讨论得出 在区间上 任取两个 当 2 xxf 0 21 x x 时 有 这时 我们就说函数在区间上是增函 21 xx 21 xfxf 2 xxf 0 数 课堂练习 请你仿照刚才的描述 说明函数在区间上是减函数 2 xxf 0 2 增函数和减函数的定义 设函数的定义域为 xfI 1 如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值 当时 ID 21 x x 21 xx 都有 那么就说函数在区间上是增函数 increasing function 21 xfxf xfD 2 请你仿照增函数的定义给出函数在区间上是减函数的定义 xfD 如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值 当时 都有ID 21 x x 21 xx 那么就说函数在区间上是减函数 decreasing function 21 xfxf xfD 3 对定义要点分析 问 1 你能分析一下增函数定义的要点吗 2 你能分析一下减函数定义的要点吗 引导学生分析增 减 函数定义的数学表述 体会定义中 区间上的任意两个自变D 量都有 的含义 课堂例题 例 1 课本第 29 页例 1 课堂练习 课本第 39 页习题 1 3A 组第 4 题 课本第 32 页练习第 1 2 3 题 课堂例题 例 2 课本第 29 页例 2 课堂练习 课本第 32 页练习第 4 题 4 本课小结 1 增减函数的图象有什么特点 增减函数的图象从左自右是上升的 减函数的图象从左自右是下降的 2 用定义证明函数的单调性 需要抓住要点 在给定区间任意取两个自变量 去比 较它们的函数值的大小 3 如果函数在区间上是增函数或减函数 那么就说函数在这 xfy D xfy 一区间具有 严格的 单调性 区间叫做的单调区间 D xfy 5 布置作业 课本第 39 页习题 1 3A 组第 1 2 3 题 课本第 44 页复习参考题 A 组第 9 题 第二课时 1 3 1 单调性与最大 小 值 函数的最大 小 值 复习导入复习导入 通过提问复习上节课主要学习内容 问 如何判断函数的单调性 观察上节课例 1 中的图象 课本第 29 页 发现 函数图象在时 其函数值最2 x 小 而在时 其函数值最大 函数的图象有一个最低点 函数1 x 2 xxf 0 0 的图象有一个最高点 而函数的图象没有最低点 也没有最高 2 xxf 0 0 xxf 点 新课进展新课进展 二 函数的最大 小 值 1 函数的最大 小 值的定义 设函数的定义域为 如果存在实数满足 xfy IM 1 对于任意的 都有 Ix Mxf 2 存在 使得 Ix 0 Mxf 0 那么 我们称是函数的最大值 maximum value M xfy 请你仿照函数最大值的定义 给出函数的最小值的定义 xfy 设函数的定义域为 如果存在实数满足 xfy IM 1 对于任意的 都有 Ix Mxf 2 存在 使得 Ix 0 Mxf 0 那么 我们称是函数的最小值 minimum value M xfy 课堂例题 例 1 课本第 30 页例 3 说明 本例题是一个实际应用题 教学时应让学生体会问题的实际意义 例 2 课本第 30 页例 4 说明 本例题表明 高一阶段利用函数的单调性求函数的最大 小 值是常用的方 法 通过本例题的教学 再一次让学生体会用函数的单调性定义证明函数的单调性的方 法 课堂练习 课本第 32 页练习第 5 题 2 函数的最大 小 值与单调性的关系 从上面的例题可以看到 函数的最大 小 值与单调性有非常紧密的关系 我们再看 一个例子 例 3 观察下图 用函数的单调性研究以下问题 1 若函数的定义域为 求最大值和最小值 yf x xb e 2 若函数的定义域为 求最大值和最小值 yf x xa e 3 若函数的定义域为 求最大值和最小值 yf x xb d 解 解 1 在定义域上 函数在区间上是增函数 在区间上是 b e yf x b c c d 减函数 在区间上是增函数 且 则函数在上的最大 d e f ef c yf x b e 值为 最小值为 f c f d 2 在定义域上 函数在区间上是增函数 在区间上是减 a e yf x a c c d 函数 在区间上是增函数 且 则函数在上的最大值 d e f af d yf x a e 为 最小值为 f c f a 3 在定义域上 函数在区间上是增函数 在区间上是减 b d yf x b c c d 函数 由于函数在处没有定义 则函数在上的最大值为 没xd yf x b d f c 有最小值 思考 为什么要讨论 cfef 说明 从本例中可以看出 在求函数的最值时 除了注意单调区间的变化之外 还要 注意定义域的区间端点的函数值 3 本课小结 函数的最大 小 值是一个函数在一段区间或者整个定义域上的整体性质 一个函数 可能存在最大值也可能不存在最大值 最大值具有唯一性 对于最小值也一样 我们经常利用函数的单调性求函数的最大 小 值 4 布置作业 课本第 39 页习题 1 3A 组第 5 题 课本第 39 页习题 1 3B 组第 1 2 题 第三课时 1 3 2 奇偶性 创设情景 导入新课创设情景 导入新课 从对称的角度 观察下列函数的图象 函数 2 1 f xxg xx 这两个函数图象有什么共同的特征 请列出从 3 到 3 这一段区间上 两个函数的对应值表 并思考 自变量取值互为相反 数时 函数值如何变化 有怎样的等量关系 讨论结果 当自变量取值互为相反数时 函数值恰相等 反映在图象上 函数图象关 于轴对称 y 新课进展新课进展 三 函数的奇偶性 1 偶函数 如果函数的定义域内任意一个 都有那么函数就叫做偶偶 f xx fxf x f x 函数函数 even function 定义域关于坐标原点对称 请你举出偶函数的例子 等等 2 xxf 2 1 x xf 2 奇函数 观察函数和的图象 说一说这两个函数有什么共同特征 xxf x xf 1 1 图象看 它们都是关于坐标原点成中心对称 2 从定义域看 它们的定义域都是关于坐标原点对称 3 从函数值看 与的函数值的绝对值相等且符号相反 xx 如果函数的定义域内任意一个 都有则函数叫做奇函奇函 f xx fxf x f x 数数 old function 请你举出奇函数的例子 3 函数的奇偶性 奇函数和偶函数的这种性质叫做函数的奇偶性函数的奇偶性 1 具有奇偶性的函数的定义域具有对称性 即关于坐标原点对称 如果一个函数的 定义域关于坐标原点不对称 就不具有奇偶性 2 具有奇偶性的函数的图象具有对称性 偶函数的图象关于轴对称 奇函数的图y 象关于坐标原点对称 反之 如果一个函数的图象关于轴对称 那么 这个函数是偶函y 数 如果一个函数的图象关于坐标原点对称 那么 这个函数是奇函数 3 由于奇函数和偶函数的对称性质 我们在研究函数时 只要知道一半定义域上的 图象和性质 就可以得到另一半定义域上的图象和性质 课堂例题 例 1 课本第 35 页例 5 课堂练习 课本第 36 页练习第 1 1 4 第 2 题 4 本课小结 本节课学习了函数的奇偶性及其判断方法 我们可以把对称性和奇偶性结合起来思 考 定义域具有对称性 函数值具有对称性 图象具有对称性 由于奇函数和偶函数的对 称性质 我们在研究函