2011年高考数学 考前最后押题

用心 爱心 专心1 数学是 教会年轻人思考 的科学 针对代数推理型问题 我们不但要寻求它的解法 是什么 还要思考有没有其它的解法 更要反思为什么要这样解 不这样解行吗 我们通过 典型的问题 解析代数推理题的解题思路 方法和技巧 在解题思维的过程中 既重视通 性通法的演练 又注意特殊技巧的作用 同时将函数与方程 数形结合 分类与讨论 等 价与化归等数学思想方法贯穿于整个的解题训练过程当中 例例 1 1 设函数1 3 4 4 2 xxgxxaxf 已知 0 4 x 时恒有 xgxf 求a的取值范围 讲解讲解 由得实施移项技巧 xgxf 1 3 4 4 1 3 4 4 22 axyLxxyCaxxx 令 从而只要求直线 L 不在半圆 C 下方时 直线 L 的 y 截距的最小值 当直线与半圆相切时 易求得 3 5 5 aa舍去 故 5xgxfa 时 本例的求解在于 实施移项技巧 关键在于构造新的函数 进而通过解几模型进行推理 解题 当中 渗透着数形结合的数学思想方法 显示了解题思维转换的灵活性和流畅性 还须指出的是 数形结合未必一定要画出图形 但图形早已在你的心中了 这也许是 解题能力的提升 还请三思而后行 例例 2 2 已知不等式 3 2 1 log 12 1 2 1 2 1 1 1 a nnn a 对于大于 1 的正整数n 恒成立 试确定a的取值范围 讲解讲解 构造函数 nnn nf 2 1 2 1 1 1 易证 请思考 用什么方法证明呢 nf为增函数 n 是大于 1 的 正整数 12 7 2 fnf 3 2 1 log 12 1 2 1 2 1 1 1 a nnn a 要使对一切大于 1 的正整数恒成立 必 须 12 7 3 2 1 log 12 1 a a 即 2 51 1 1 1 log aa a 解得 这里的构造函数和例 1 属于同类型 学习解题就应当在解题活动的过程中不断的逐类 旁通 举一反三 总结一些解题的小结论 针对恒成立的问题 函数最值解法似乎是一种 非常有效的同法 请提炼你的小结论 用心 爱心 专心2 例例 3 3 已知函数 0 4 9 433 22 bbxxxf在区间 b 1 b 上的最大值为 25 求 b 的值 讲解讲解 由已知二次函数配方 得 34 2 1 3 22 bxxf 2 3 2 1 1 2 1 1 bbb即当 时 xf的最大值为 4b2 3 25 2 3 2 1 4 25 2 矛盾与 bb 1 2 1 0 2 1 2 bbxfbb 在时即当 上递增 25 2 3 2 bbf 1 2 3 1 2 1 3 bbxfbb 在时 即当 上递增 2 5 25 4 15 96 1 2 bbbf解得 关于二次函数问题是历年高考的热门话题 值得读者在复课时重点强化训练 针对 抛物线顶点横坐标 2 1 在不在区间 b 1 b 自然引出解题形态的三种情况 这显示了 分类讨论的数学思想在解题当中的充分运用 该分就分 该合就合 这种辨证的统一完全 依具体的数学问题而定 需要在解题时灵活把握 例例 4 4 已知 1 1 x x x xf 1 xf求的单调区间 2 若 4 3 1 0 cfaf bba cba求证 讲讲解解 1 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 得 1 1 1 x xf 1 1 上分别单调递增和在区间 xf 2 首先证明任意 0yfxfyxfyx 有 事实上 1111 yxxyf yxxy yxxy yxxy yxxyxy y y x x yfxf 而 1 yxfyxxyfyxyxxy 知由 用心 爱心 专心3 yxfyfxf 0 4 2 1 1 2 2 a bba bba c 3 4 22 2 a aa ca 4 3 3 fcafcfaf 函 数 与 不 等 式 证 明 的 综 合 题 在 高 考 中 常 考 常 新 是 既 考 知 识 又 考 能 力 的 好 题 型 在 高 考 备 考 中 有 较 高 的 训 练 价 值 针对本例的求解 你能够想到证明 任意 0yfxfyxfyx 有采用逆向分析法 给出你的想法 例例5 5 已知函数f x aa a x x 1 证明函数f x 的图象关于点P 2 1 2 1 对称 2 令an 1 nf nfa 对一切自然数n 先猜想使an 成立的最小自然数a 并证 明之 3 求证 nnnn lg3lg 1 4 1 讲解讲解 1 关于函数的图象关于定点P对称 可采用解几中的坐标证法 设M x y 是f x 图象上任一点 则M关于P 2 1 2 1 的对称点为 M yxf aa a aa a y aa a aaa a aa a xx x xxx x 1 1 11 1 1 1 x 1 y 亦在f x 的图象上 故函数f x 的图象关于点P 2 1 2 1 对称 2 将f n f 1 n 的表达式代入an的表达式 化简可得an 猜a 3 即 3 下面用数学归纳法证明 设n k k 时 3 那么n k 1 3 用心 爱心 专心4 又 3k 2 1 2 3 3 令k 1 2 n 得n个同向不等式 并相加得 lg 3lg 1 4 21lg 23lg 2 1 nn n n nn 故 函数与数列综合型问题在高考中频频出现 是历年高考试题中的一道亮丽的风景线 针 对本例 你能够猜想出最小自然数 a 3 吗 试试你的数学猜想能力 例例 6 6 已知二次函数 0 1 2 aRbabxaxxf 设方程xxf 的两个实根 为x1和x2 1 如果42 21 xx 若函数 xf的对称轴为x x0 求证 x0 1 2 如果2 2 121 xxx 求 b 的取值范围 讲解讲解 1 设01 1 2 axbaxxxfxg且 由42 21 xx得 0 4 0 2 gg且 即 8 1 2 2 1 4 4 3 2 2 1 4 4 3 03416 0124 aaaaba ba ba 得由 aa b a4 1 1 28 3 2 故 1 8 1 4 1 1 2 0 a b x 2 由 0 1 01 1 21 2 a xxxbaxxg可知 21 x x 同号 若0124 2 22 2 20 12121 bagxxxxx则 又0 1 1 124 4 1 2 2 2 2 12 aba aa b xx得 负根舍去 代入上式得 bb231 1 2 2 解得 4 1 b 若 0 2 22 02 121 gxxx则 即 4a 2b 3 0 同理可求得 4 7 b 用心 爱心 专心5 故当 4 7 02 4 1 20 11 bxbx时当时 对你而言 本例解题思维的障碍点在哪里 找找看 如何排除 下一次遇到同类问题 你会很顺利的克服吗 我们力求做到学一题会一类 不断提高逻辑推理能力 例例 7 7 对于函数 xf 若存在 000 xxfRx 使成立 则称 0 xfx 为的不动点 如 果函数 2 Ncb cbx ax xf 有且只有两个不动点 0 2 且 2 1 2 f 1 求函数 xf的解析式 2 已知各项不为零的数列1 1 4 n nn a fSa满足 求数列通项 n a 3 如果数列 n a满足 4 11nn afaa 求证 当2 n时 恒有3 n a成立 讲解讲解 依题意有x cbx ax 2 化简为 0 1 2 acxxb由违达定理 得 1 02 1 02 b a b c 解得 2 1 0 c b a 代入表达式 cx c x xf 2 1 2 由 2 1 1 2 2 c f 得 xxfbcNbNcc 1 0 3则若又不止有两个不动点 1 1 2 2 2 2 x x x xfbc故 2 由题设得 2 1 1 1 2 1 4 2 2 nnn n n n aaS a a S 得 且 2 111 2 1 1 nnnn aaSnna得代以 由 与 两式相减得 0 1 2 11 2 1 2 1 nnnnnnnnn aaaaaaaaa即 用心 爱心 专心6 2 1 1 2 11111 aaanaaaa nnnn 得代入以或 解得0 1 a 舍去 或1 1 a 由1 1 a 若 1 21 aaa nn 得这与1 n a矛盾 1 1 nn aa 即 n a是以 1 为首项 1 为公差的等差数列 nan 3 采用反证法 假设 2 3 nan则由 1 知 22 2 1 n n nn a a afa 2 1 4 3 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 Nnnaa aa a a a nn nn n n n 即 有 21 aaa nn 而当 3 3 3 8 28 16 22 2 1 2 1 2 n a a a an时这与假设 矛盾 故假设不成立 3 n a 关于本例的第 3 题 我们还可给出直接证法 事实上 由 2 1 2 1 2 11 2 1 22 2 1 2 11 nnn n nnn aaa a aafa得得 1 n at 3 试求满足f t t 的整数 t 的个数 并说明理由 讲解讲解 1 为求 f 1 的值 需令 1 0 0 fyx得 令2 1 2 2 1 ffyx 令1 1 1 1 0 1 1 ffffyx即 2 令2 1 2 1 1 yyfyfyyfyfx即 0 1 yfyfNy有时当 由0 1 1 1 yfyfyfyf都有对一切正整数可知 111 2 1 yyyfyyfyfNy时当 于是对于一切大于 1 的正整数 t 恒有f t t 3 由 及 1 可知1 4 1 3 ff 用心 爱心 专心8 下面证明当整数ttft 4时 由 02 2 4 tt 得 0 2 1 ttftf 即 0 5 6 0 4 5 ffff同理 0 1 0 2 1 tftftftf 将诸不等式相加得 ttftftf 4 41 4 综上 满足条件的整数只有 t 1 2 本题的求解显示了对函数方程f x y f x f y xy 1 中的 x y 取特殊值的技巧 这 种赋值法在 2002 年全国高考第 21 题中得到了很好的考查 例例 1010 已知函数 f x 在 1 1 上有定义 1 2 1 f且满足 x y 1 1 有 1 xy yx fyfxf 1 证明 f x 在 1 1 上为奇函数 2 对数列 1 2 2 1 2 11 n n n x x xx 求 n xf 3 求证 2 52 1 1 1 21 n n xfxfxf n 讲解讲解 1 令 0 yx则 0 0 0 0 2 fff 令 xy 则 0 0 xfxffxfxf 为奇函数 2 1 2 1 1 fxf 2 1 1 2 2 1nnn nn nn n n n xfxfxf xx xx f x x fxf 2 1 n n n xf xf xf