2011高考数学二轮复习学案(12)数列 新人教A版

数列数列 学法导航学法导航 一 方法总结 1 求数列的通项通常有两种题型 一是根据所给的一列数 通过观察求通项 一是根据递推关系式求通 项 2 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题 对不等式的证明有比较法 放缩 放缩通常有化归等比 数列和可裂项的形式 3 数列是特殊的函数 而函数又是高中数学的一条主线 所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融 的题 这应是命题的一个方向 二 复习建议 在进行数列二轮复习时 建议可以具体从以下几个方面着手 1 运用基本量思想 方程思想 解决有关问题 2 注意等差 等比数列的性质的灵活运用 3 注意等差 等比数列的前 n 项和的特征在解题中的应用 4 注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式 5 根据递推公式 通过寻找规律 运用归纳思想 写出数列中的某一项或通项 主要需注意从等差 等 比 周期等方面进行归纳 6 掌握数列通项 an 与前 n 项和 Sn 之间的关系 7 根据递推关系 运用化归思想 将其转化为常见数列 8 掌握一些数列求和的方法 1 分解成特殊数列的和 2 裂项求和 3 错位相减 法求和 4 倒序相加法 5 公式法 9 以等差 等比数列的基本问题为主 突出数列与函数 数列与方程 数列与不等式 数列与几何等的 综合应用 专题综合专题综合 1 等差 等比数列的概念与性质 例 1 已知公差大于零的等差数列 n a的前n项和为 n S 且满足 22 117 5243 aaaa 1 求通项 n a 2 若数列 n b是等差数列 且 cn S b n n 求非零常数c 解 1 设数列 n a的公差为d 由题意得 2252 117 3 2 1 11 da dada 4 1 1 d a 或 4 21 1 d a 舍去 所以 34 nan 2 nn nn Sn 2 2 2 341 由于 cn Sn 是一等差数列 故ban cn Sn 对一切自然数n都成立 即 bcnbacanbancnnn 2 22 0 1 2 bc bac a 2 1 0 2 c b a 或 0 1 2 c b a 舍去 所以 2 1 c 点评 本题考查了等差数列的基本知识 第二问 判断数列是等差数列的条件 要抓住它的特征 充分应 用等差数列的判断条件 转化为恒成立问题 例 2 设数列 an 和 bn 满足a1 b1 6 a2 b2 4 a3 b3 3 且数列 an 1 an n N N 是等差数列 数列 bn 2 n N N 是等比数列 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 2 是否存在k N N 使ak bk 0 2 1 若存在 求出k 若不存在 说明理由 解 1 由题意得 1 1223121 aaaanaaaa nn 3 1 2 nn 所以 4 5 4 21 nnanaa nnn 9 2 7 2 1 2 4 2 1 6 4 5 0 1 2 6 4 5 0 1 2 2 1 nn nn nn nna 2 n 上式对1 n也成立 所以 9 2 7 2 1 2 nnan 311 1 2 1 2 1 4 2 4 2 2 2 2 nnn n b b bb 所以 3 2 1 2 n n b 2 32 3 2 2 1 7 2 7 2 1 2 1 29 2 7 2 1 k k kkk kkkkbac 当 3 2 1 k 时 0 k c 当4 k时 2 1 2 1 4 7 2 7 4 2 1 2 1 4 7 2 7 2 1 34232 k k kc 故不存在正整数k使 2 1 0 kk ba 2 2 求数列的通项与求和 例 3 2008 江苏 将全体正整数排成一个三角形数阵 按照以上排列的规律 第n行 3 n 从左向右的第 3 个数为 解 前 n 1 行共有正整数 1 2 n 1 个 即 2 2 nn 个 因此第 n 行第 3 个数是全体正整 数中第 2 2 nn 3 个 即为 2 6 2 nn 点评 本小题考查归纳推理和等差数列求和公式 难点在于求出数列的通项 解决此题需要一定的观 察能力和逻辑推理能力 例 4 2009 年广东卷文 已知点 1 3 1 是函数 0 aaxf x 且1 a 的图象上一点 等比数列 n a的前n项和为cnf 数列 n b 0 n b的首项为c 且前n项和 n S满足 n S 1 n S n S 1 n S 2n 1 求数列 n a和 n b的通项公式 2 若数列 1 1 nnb b 前n项和为 n T 问 n T 2009 1000 的最小正整数n是多少 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解 1 1 1 3 fa Q 1 3 x f x 1 1 1 3 afcc 2 21afcfc 2 9 3 2 32 27 afcfc 又数列 n a成等比数列 2 2 1 3 4 21 81 2 33 27 a ac a 所以 1c 又公比 2 1 1 3 a q a 所以 1 2 11 2 3 33 nn n a nN 1111nnnnnnnn SSSSSSSS Q 2n 又0 n b 0 n S 1 1 nn SS 数列 n S构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列 111 n Snn 2 n Sn 当2n 2 2 1 121 nnn bSSnnn 21 n bn nN 2 1 22 33 41 1111 n nn T bbb bb bb b L 1111 1 33 55 7 21 21nn K 111 111 11111 1 232 352 572 2121nn K 11 1 22121 n nn 由 1000 212009 n n T n 得 1000 9 n 满足 1000 2009 n T 的最小正整数为 112 3 数列与不等式的联系 例 5 届高三湖南益阳 已知等比数列 n a的首项为 3 1 1 a 公比q满足10 qq且 又已知 1 a 3 5a 5 9a成等差数列 1 求数列 n a的通项 2 令 n a n b 1 3 log 求证 对于任意nN 都有 1 22 31 1111 1 2 nn bbb bb b 1 解 315 2 59aaa 24 111 109a qaa q 42 91010qq 10 qq且 1 3 q 1 1 3 nn n aa q 2 证明 1 33 loglog 3 n an n bn 1 1111 1 1 nn b bn nnn 1 22 31 111111111 11 22311 nn bbb bb bnnn 1 22 31 1111 1 2 nn bbb bb b 点评 把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想 本题中的第 问 采用裂项相消法 法 求出数列之和 由 n 的范围证出不等式 例 2008 辽宁理 在数列 n a n b中 a1 2 b1 4 且 1nnn aba 成等差数列 11nnn bab 成等比数列 n N 1 求a2 a3 a4及b2 b3 b4 由此猜测 n a n b的通项公式 并证明你的结论 2 证明 1122 1115 12 nn ababab 解 由条件得 2 111 2 nnnnnn baaab b 由此可得 223344 6912162025ababab 猜测 2 1 1 nn an nbn 用数学归纳法证明 当n 1 时 由上可得结论成立 假设当n k时 结论成立 即 2 1 1 kk ak kbk 那么当n k 1 时 2 22 2 11 22 1 1 1 2 2 k kkkk k a abakk kkkbk b 所以当n k 1 时 结论也成立 由 可知 2 1 1 nn an nb n 对一切正整数都成立 2 11 115 612ab n 2 时 由 知 1 21 2 1 nn abnnnn 故 1122 11111111 62 2 33 4 1 nn abababn n 11 111111 62 23341nn 11 11115 62 216412n 综上 原不等式成立 点评 本小题主要考查等差数列 等比数列 数学归纳法 不等式等基础知识 考查综合运用数学知识进 行归纳 总结 推理 论证等能力 4 数列与函数 概率等的联系 例 7 江西理 将一骰子连续抛掷三次 它落地时向上的点数依次成等差数列的概 率为 解 一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个 其中为等差数列有三类 1 公差为 0 的 有 6 个 2 公差为 1 或 1 的有 8 个 3 公差为 2 或 2 的有 4 个 共有 18 个 成等差数列的概率为 选 B 点评 本题是以数列和概率的背景出现 题型新颖而别开生面 有采取分类讨论 分类时要做到不遗漏 不重复 例 8 已知数列 n a的前n项和为 n S 对一切正整数n 点 nn SnP都在函数xxxf2 2 的图像上 且过点 nn SnP的切线的斜率为 n k 1 求数列 n a的通项公式 2 若 n k n ab n 2 求数列 n b的前n项和 n T 3 设 2 NnaxxRNnkxxQ nn 等差数列 n c的任一项RQcn 其中 1 c是RQ 中的最小数 115110 10 c 求 n c的通项公式 解 1 点 nn SnP都在函数xxxf2 2 的图像上 2 2 n Snn nN 当n2 时 1 21 nnn aSSn 当 1 时 11 3aS 满足上式 所以数列 n a的通项公式为21 n an 2 由xxxf2 2 求导可得 22fxx 过点 nn SnP的切线的斜率为 n k 22 n kn 24 21 4 n kn nn ban 123 43445447421 4nn n T 4 由 4 得 2341 443445447421 4nn n T 4 得 231 34 3424421 4 nn n n T 4 21 1 4 1 4 34221 4 14 n n n 4 2 6116 4 99 n n n T 3 22 42 Qx xnnNRx xnnN QRR 又 n cQR 其中 1 c是RQ 中的最小数 1 6c n c 是公差是 4 的倍数 10 46 cmmN 又 10 110115c 11046115m mN 解得 27 所以 10 114c 设等差数列的公差为d 则 101 1146 12 1019 cc d 6 1 12126 n cnn 所以 n c的通项公式为126 n cn 专题突破专题突破 一 选择题 1 已知等差数列 n a的公差为2 若 431 aaa成等比数列 则 2 a A 4 B 6 C 8 D 10 2 设 n S是等差数列 n a的前 n 项和 若 5 9 3 5 9 5 S S a a 则 A 1 B 1 C 2 D 2 1 3 若 32lg 12lg 2lg xx 成等差数列 则x的值等于 A 1 B 0或32 C 32 D 5log2 4 已知三角形的三边构成等比数列 它们的公比为q 则q的取值范围是 A 15 0 2 B 15 1 2 C 15 1 2 D 2 51 2 51 5 在ABC 中 tan A是以4 为第三项 4为第七项的等差数列的公差 tan B是以 1 3 为第三项 9为第 六项的等比数列的公比 则这个三角形是 A 钝角三角形 B 锐角三角形 C 等腰直角三角形 D 以上都不对 6 在等差数列 n a中 设 n aaaS 211 nnn aaaS 2212 nnn aaaS 322123 则 321 SSS关系为 A 等差数列 B 等比数列 C 等差数列或等比数列 D 都不对 7 已知等差数列 an 的前n项和为Sn 若OCaOAaOB 2001 且A B C三点共线 该直线不过原点 O 则 S200 A 100 B 101 C 200 D 201 8 在等比数列 n a中 1 2a 前n项和为 n S 若数列 1 n a 也是等比数列 则 n S等于 A 1 22 n B 3n C 2n D 31 n 9 设 4710310 22222 n f nnN 则 f n等于 A 2 81 7 n B 1 2 81 7 n C 3 2 81 7 n D 4 2 81 7 n 10 弹子跳棋共有 60 棵大小相同的球形弹子 现在棋盘上将它叠成正四面体球垛 使剩下的弹子尽可能 的少 那么剩下的弹子有 A 3 B 4 C 8 D 9 11 设数列 n a的前 n 项和为 n S 令 12n n SSS T n 称 n T为数列 1 a 2 a n a的 理想数 已知数列 1 a 2 a 500 a的 理想数 为 2004 那么数列 2 1 a 2 a 500 a的 理想数 为 A 2002 B 2004 C 2006 D 2008 12 已知数列 n a对任意的 pq N 满足 p qpq aaa 且 2 6a 那么 10 a等于 A 165 B 33 C 30 D 21 二 填空题 13 等差数列 an 的前n项和为Sn 且a4 a2 8 a3 a5 26 记Tn 如果存在正整数M 使得对一 Sn n2 切正整数n Tn M都成立 则M的最小值是 14 无穷等比数列 an 中 a1 1 q 1 且除 a1外其余各项之和不大于 a1的一半 则 q 的取值范围是 15 已知 x 0 y 0 x a b y 成等差数列 x c d y 成等比数列 则的最小值是 a b 2 cd 16 在等差数列 n a中 公差 2 1 d 前100项的和45 100 S 则 99531 aaaa 三 解答题 17 设为等比数列 Tnananaaa nnn 1231 122 已知TT 12 14 1 求数列 an 的首项和公比 2 求数列的通项公式 18 已知数列 n a的前n项和 n S满足1 1 2 naS n nn 1 写出数列 n a的前三项 321 aaa 2 求证数列 n n a 1 3 2 为等比数列 并求出 n a的通项公式 19 数列 an 的前n项和记为Sn 已知a1 1 an 1 n n2 Sn n 1 2 3 证明 1 数列 n Sn 是等比数列 2 Sn 1 4an 20 设数列 n a的前n项和为 n S 已知 1 1 a 1 42 nn Sa 1 设 1 2 nnn baa 证明数列 n b是等比数列 2 求数列 n a的通项公式 21 已知数列 an 中 a1 2 an 1 1 an 2 n 1 2 3 2 1 求 an 的通项公式 2 若数列 an 中 b1 2 bn 1 n 1 2 3 证明 bn a4n 3 n 1 2 3 3bn 4 2bn 32 22 已知数列 n a满足0 n a且对一切 Nn 有 233 2 3 1nn Saaa 21nn Saaa 1 求证 对一切 nnn SaaNn2 1 2 1 有 2 求数列 n a通项公式 3 求证 3 321 22 3 2 2 2 1 n a n aaa 专题突破参考答案 一 选择题 1 B 22 14322222 2 4 2 212 6a aaaaaaa 2 A 95 53 995 1 559 Sa Sa 3 D 2 lg2lg 23 2lg 21 2 23 21 xxxx 2 2 2 4 250 25 log 5 xxx x 4 D 设三边为 2 a aq aq则 2 2 2 aaqaq aaqaq aqaqa 即 2 2 2 10 10 10 qq qq qq 得 1515 22 1515 22 q qR qq 或 即 1515 22 q 5 B 37 4 4 2 tan2 aadA 36 1 9 3 tan3 3 bbqB tantan 1CAB A B C都是锐角 6 A 122332232 nnnnnnnnnn SSSSSSSSSSSSS 成等差数列 7 A 依题意 a1 a200 1 故选 A 8 C 因数列 n a为等比 则 1 2 n n aq 因数列 1 n a 也是等比数列 则 22 12112221 2 1 1 1 22 12 01 nnnnnnnnnnnn n aaaaaa aaaaaa aqqq 即2 n a 所以2 n Sn 故选择答案 C 9 D f n 3 1 4 3 2 12 2 81 127 n n 选 D 10 B 正四面体的特征和题设构造过程 第 k 层为 k 个连续自然数的和 化简通项再裂项用公式求和 依题设第 k 层正四面体为 kkkk k 22 1 321 2 则前 k 层共有 60 6 21 21 2 1 21 2 1 222 kkk kkL k 最大为 6 剩 4 选 B 11 A 认识信息 理解理想数的意义有 2002 501 4984995002501 500 498499500 2004 500321500321 aaaaaaaa 选 A 12 C 由已知 4 a 2 a 2 a 12 8 a 4 a 4 a 24 10 a 8 a 2 a 30 选 C 二 填空题 13 2 解析 由a4 a2 8 可得公差d 4 再由a3 a5 26 可得a1 1 故Sn n 2n n 1 2n2 n Tn 要使得Tn M 只需M 2 即可 故M的最小值为 2 答案 2 2n 1 n 2 1 n 14 1 0 0 1 3 解析 q 但 q 1 且 q 0 故 q 1 0 0 a1q 1 q a1 2 1 3 1 3 15 4 解析 4 a b 2 cd x y 2 xy 16 10解析 100110011001991100 100 45 0 9 0 4 2 Saaaaaaaad 199 5050 0 410 22 Saa 三 解答题 17 解 1 又为等比数列 故 故 2 得 18 解 1 在1 1 2 naS n nn 中分别令3 2 1 n 得 12 12 12 3321 221 11 aaaa aaa aa 解得 2 0 1 3 2 1 a a a 2 由1 1 2 naS n nn 得 2 1 2 1 11 naS n nn 两式相减得 2 1 2 1 2 1 1 naaa n n n nn 即 2 1 22 1 naa n nn nn n nn nn aaa 1 3 2 1 3 4 2 1 3 2 1 3 4 2 1 11 2 1 3 2 2 1 3 2 1 1 naa n n n n 故数列 n n a 1 3 2 是以 3 1 3 2 1 a为首项 公比为 2 的等比数列 所以 1 2 3 1 1 3 2 nn n a nn n a 1 3 2 2 3 1 1 19 解 1 由 nn S n n a 2 1 得 nnn S n n SS 2 1 即 nn S n n S 22 1 所以 n S n S nn 1 1 所以数列 n Sn 是以 1 为首项 公比为 2 的等比数列 2 由 1 得 1 2 nn n S 1 2 n n nS n n nS2 1 1 所以 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 n n nn n n nn n nSS n a 所以 nn aS4 1 20 解 I 由 1 1 a 及 1 42 nn Sa 有 121 42 aaa 21121 325 23aabaa 由 1 42 nn Sa 则当2n 时 有 1 42 nn Sa 得 1111 44 22 2 nnnnnnn aaaaaaa 又 1 2 nnn baa 1 2 nn b