相似三角形专题讲义(二)

1 相似三角形专题讲义相似三角形专题讲义 教学目标教学目标 认识相似图形及相似三角形 教学重点教学重点 相似三角形的性质及判定 教学难点教学难点 相似三角形的性质及判定的应用 教学内容教学内容 第第 1 1 讲讲 线段的比及平行线分线段成比例定理线段的比及平行线分线段成比例定理 线段的比线段的比 一 两条线段的比 一 两条线段的比 同一长度单位下两条线段长度的比叫两条线段的比 二 比例尺 二 比例尺 在地图或工程图纸上 图上距离与实际距离的比 叫做这幅图的比例尺 三 成比例线段 三 成比例线段 1 比例线段 四条线段 a b c d 中 如果 那么这四条线段 a b c d 叫做成比例线段 简 d c b a 称比例线段 2 比例中项 如果 或 则 b 叫做 a c 的比例中项 c b b a acb 2 四 比例的性质 四 比例的性质 1 比例的基本性质 如果 那么 d c b a bcad 2 更比性质 如果 那么 d c b a d b c a 3 反比性质 如果 那么 d c b a c d a b 4 合 分 比性质 如果 那么 d c b a abcd bd 5 等比性质 如果 那么 0 acm bdn bdn acma bdnb 重难点高效突破重难点高效突破 例例 1 1 1 已知线段 AB 2 5m 线段 CD 400cm 则线段 AB 与 CD 的比为 2 已知 1 5 三个数 如果再添一个数 使之能与已知的三个数成比例 则这个数应该为多少 5 2 例例 2 2 1 在 1 50000 的地图上的 A B 两地的距离是 15cm 则 A B 两地的实际距离是 km 2 在比例尺为 1 n的某市地图上 规划出一块长 5cm 2cm 的矩形工业区 则该工业区的实际面积是 平方米 例例 3 3 1 已知 2 acabcd bdbd 求和 2 已知0 0 acabcd abcb bdabcd 且求证 例例 4 4 已知x y z 3 4 5 求的值 若x y z 6 求x y z z yx 例例 5 5 知一次函数 y kx 1 中 比例系数 k 满足 求直线 y kx 1 与 x 轴交点坐标 cab k abbcca 素质能力测试素质能力测试 A A 组组 一 选择题 每小题 3 分 共 30 分 1 已知一矩形的长a 1 35m 宽b 60cm 则a b的值为 A 9 400 B 9 40 C 9 4 D 90 4 2 下列线段能成比例线段的是 A 1cm 2cm 3cm 4cm B 1cm cm 2cm 2cm C cm cm cm 1cm D 2cm 5cm 3cm 4cm22253 3 如果线段a 4 b 16 c 8 那么a b c的第四比例项d为 A 8 B 16 C 24 D 32 4 已知 则的值为 3 2 b a b ba A B C D 2 3 3 4 3 5 5 3 5 在比例尺为 1 38000 的南京交通游览图上 玄武湖隧道长约为 7cm 它的实际长度约为 3 A 0 226km B 2 66km C 26 6km D 266km 6 某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度 在同一时刻 量得某一同学的身高是 1 5 米 影长是 1 米 旗杆的影长是 8 米 则旗杆的高度是 A 12 米 B 11 米 C 10 米 D 9 米 7 已知点 C 是 AB 的黄金分割点 AC BC 若 AB 4cm 则 AC 的长为 A 2 2 cm B 6 2 cm C 1 cm D 3 cm 5555 8 若 D E 分别是 ABC 的边 AB AC 上的点 且 那么下列各式中正确的是 AD AB AE AC A B C D AD DB DE BC AB AD AE AC DB EC AB AC AD DB AE AC 9 若 且a b c 0 则k的值为 222abbcca k cab A 1 B C 1 D 2 1 1 2 二 填空题 每小题 3 分 共 30 分 1 在x 6 5 x 2 中的x 2 若 则 1089 xyz zy zyx 3 若a 3 b 4 c 5 且a b c 6 则a b c 4 已知x y z 3 4 5 且x y z 12 那么x y z 5 若 则 4 3 f e d c b a fdb eca 6 已知x 4 y 5 z 6 则 x y z x y y z 7 若 则 3 22 y yx y x 8 已知 线段 2 cm cm 则线段a c的比例中项b是 a 23 c 三 解答题 每小题 8 分 共 40 分 1 已知 求下列各式的值 1 2 0 753 zyx y zyx zyx zyx 35 432 2 若 ABC 的三内角之比为 1 2 3 求 ABC 的三边之比 3 已知a b c为 ABC 的三边 且a b c 60cm a b c 3 4 5 求 ABC 的面积 4 平行线分线段成比例定理及其推论基本应用平行线分线段成比例定理及其推论基本应用 知识点梳理知识点梳理 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例 BC BC AB AB AC AB AC AB BC AB BC AB 基本图形 1 平行线分线段成比例定理的基本图形 型 型 AX ED C B A A B C D E F ED CB A 一招制胜 基本图形分离法 分离出基本图形 或者通过辅助线 构造基本图形 例题讲解 例题讲解 例例 1 如图 在 中 且 若 求的长 ABC DEBC DBAE 510ABAC AE E D C B A 例例 2 2 已知 在中 且ABC 12 AB6 AE4 EC EC AE DB AD 1 求的长 2 求证 AD AC EC AB DB CF 平移至过点 A CF 平移至过点 D 5 例例 3 3 如图 已知 若 求证 ABEFCDABa CDb EFc 111 cab F E D C B A 例例 4 4 如下图 BD DC 5 3 E 为 AD 的中点 求 BE EF 的值 例例 5 5 如图 延长正方形 ABCD 的一边 CB 至 E ED 与 AB 相交于点 F 过 F 作 FG BE 交 AE 于 G 求证 GF FB 课堂练习 平行线分线段成比例定理应用 题型一 三角形中直接观察寻找基本图形解决问题 1 已知 如图 求 BCDE 7 3 OCEO BC ED AB AE DC AD A E D B C O A E D B C O A E D B C A E D B C O 6 2 已知 在中 平分 与相交于点 交于点 ABC BDABC ACDBCDE ABE9 AE 求的长 12 BCBE 3 如图 在四边形中 与相交于点 直线 平行于 且与 ABCDACBDOlBDABDCBC 及的延长线分别相交于点 和 ADACMNRSP 求证 PSPRPNPM 4 已知 求证 BCEF DC BD GF EG A A B C D E A B C D E A B E D C l SRPNM O D C B A DB G A C E F 7 5 已知 为的中点 若 求CDAB FACFGDE 5 2 CD AB ED FG 6 已知 求证 CDEFAB CDABEF 111 题型二 三角形中构造基本图形解决问题 核心辅助线 平行线 1 已知中 求 ABC 2 1 BE CE 2 1 DB AD FD CF 2 在中 点 分别在边 上 且 直线和ABC DEABAC2 3 DBAD2 1 ECAEED A BC D E F A BC D E F E A C B D F G F A C B D E 8 的延长线交于点 求 1 2 CBFFCFB FEFD 3 如图 1 在中 是的中点 是上一点 且 ABC MACEABABAE 4 1 连接并延长 交的延长线于 则 EMBCD CD BC 2 如图 2 已知中 与相交于 则 ABC 3 1 EBAE1 2 DCBDADCEF 的值为 FD AF FC EF A B B C C D D 2 5 12 3 2 1 M E DC B A 2 F E DCB A F E D C B A 9 4 已知等腰直角中 分别为直角边 上的点 且 ABC EDBCACCDCE 过 分别作的垂线 交斜边于 EDAEABLK 求证 LKBL 家庭作业家庭作业 1 福州市中考题 已知 a b 3 1 且 a b 8 则 a b 2 常州市中考题 已知n m q p 3 2 n q 0 则 qn pm 3 一个三角形三边的比为 2 3 4 则这个三角边上的高的比为 4 线段 a 3 b 4 c 5 则 b a c 的第四比例项是 b c 的比例中项是 5 杭州市中考题 已知a 2 b 1 则ba ba 2 的值 A 5B 5C 4D 4 6 已知 3a 5b 下列各式的值在 2 与 3 之间的是 A a ba B b ba C b ba D ba ba 7 已知 如图 ABC 中 DE BC BE 与 CD 交于点 O AO 与 DE BC 分别交于点 N M 求证 1 AM AN OM ON 2 BM MC 且 DN NE A C B E D LK 10 A A B C D E B C D E 8 如图 AC BD AD 和 BC 相交于点 E EF AC 交 AB 于点 F 且 AC p BD q EF r 1 试证P 1 q 1 r 1 2 图中 AC 20 BD 80 试求 EF 的值 第第 2 2 讲讲相似三角形的判定 相似三角形的判定 1 1 基础知识精讲基础知识精讲 1 1 相似三角形的预备定理 相似三角形的预备定理 如果一条直线平行于三角形的一条边 截其它两边 或其延长线 那么所截 得的三角形与原三角形相似 定理的基本图形有三种情况 如图其符号语言 DE BC ABC ADE 2 2 相似三角形的判定 相似三角形的判定 判定定理判定定理 1 1 两角对应相等 两三角形相似 补充 1 有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似 2 顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似 3 3 寻找相似三角形的思路寻找相似三角形的思路 1 1 横向三点定形法 要证 横向三点定形法 要证 则证明 则证明 BE AB EF BC 2 2 纵向三点定形法 如要证 纵向三点定形法 如要证 则证明 则证明 BC AB EF DE 重难点高效突破重难点高效突破 例例 1 1 如图 直线 DE 分别与 ABC 的边 AB AC 的反向延长线相交于 D E 由 ED BC 可以推出 A E D B C 11 吗 请说明理由 ADAE BDCE 例例 2 2 射影定理 射影定理 已知 如图 在 ABC 中 BAC 90 AD BC 于 D 求证 1 2 2 ABBD BC 2 ADBD CD 例例 3 3 如图 AD 是 Rt ABC 斜边 BC 上的高 DE DF 且 DE 和 DF 分别交 AB AC 于 E F 则吗 BD BE AD AF 说说你的理由 例例 4 4 如图 在平行四边形 ABCD 中 已知过点 B 作 BE CD 于 E 连接 AE F 为 AE 上一点 且 BFE C 1 求证 ABF EAD 2 若 AB 4 BAE 30 求 AE 的长 3 在 1 2 条件下 若 AD 3 求 BF 的长 素质能力测试素质能力测试 A A 组组 一 选择题 1 如图 ABC 经平移得到 DEF AC DE 交于点 G 则图中共有相似三角形 A 3 对 B 4 对 C 5 对 D 6 对 2 如图 已知 DE BC EF AB 则下列比例式中错误的是 A B C D AC AE AB AD FB EA CF CE BD AD BC DE CB CF AB EF 3 在矩形 ABCD 中 E F 分别是 CD BC 上的点 若 AEF 90 则一定有 A ADE AEF B ECF AEF C ADE ECF D AEF ABF 4 如图 直线l1 l2 AF FB 2 3 BC CD 2 1 则 AE EC 是 A 5 2 B 4 1 C 2 1 D 3 2 A BCD A D C B E F 12 1 题图 2 题图 3 题图 4 题图 5 如图 E 是平行四边形 ABCD 的边 BC 的延长线上的一点 连结 AE 交 CD 于 F 则图中共有相似三角形 A 1 对 B 2 对 C 3 对 D 4 对 5 题图 6 题图 7 题图 8 题图 6 ABC 中 DE BC 且 AD DB 2 1 那么 DE BC 等于 A 2 1 B 1 2 C 2 3 D 3 2 7 如图 P 是 Rt ABC 的斜边 BC 上异于 B C 的一点 过点 P 做直线截 ABC 使截得的三角形与 ABC 相似 满足这样条件的直线共有 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 8 如图 已知 DE BC EF AB 则下列比例式中错误的是 A B C D AC AE AB AD FB EA CF CE BD AD BC DE CB CF AB EF 二 填空题 1 下列说法 所有的等腰三角形都相似 所有的等边三角形都相似 所有等腰直角三角形都相似 所有的直角三角形都相似 其中正确的是 把你认为正确的说法的序号都填上 2 如图 ABC 中 BC a 1 若 AD1 AB AE1 AC 则 D1E1 2 若 D1D2 D1B E1E2 E1C 则 D2E2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 若 D2D3 D2B E2E3 E2C 则 D3E3 3 1 3 1 4 若 Dn 1Dn Dn 1B En 1En En 1C 则 DnEn 3 1 3 1 3 已知 如图 ABC 中 B C 30 请你设计三种不同的分法 将 ABC 分割成四个三角形 使得 其中两个是全等三角形 而另外两个是相似三角形但不全等的直角三角形 请画出分割线段 标出能够说 明分法的所得三角形的顶点和内角度数或记号 并在各种分法的空格线上填空 画图工具不限 不要求 写出画法 不要求说明理由 分法一 分法二 分法三 G F E D C B A 13 分法一 分割后所得的四个三角形中 Rt Rt 分法二 分割后所得的四个三角形中 Rt Rt 分法三 分割后所得的四个三角形中 Rt Rt 三 解答题 1 如图 ABC 中 BD 是角平分线 过 D 作 DE AB 交 BC 于点 E AB 5cm BE 3cm 求 EC 的长 2 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC BAD 90 BD DC 1 ABD 与 DCB 相似吗 请说明理由 2 如果 AD 4 BC 9 求 BD 的长 3 已知 如图 在正方形 ABCD 中 P 是 BC 上的点 且 BP 3PC Q 是 CD 的中点 ADQ 与 QCP 是否相似 为什么 B B 组组 1 如图 已知 AD 为 ABC 的角平分线 AD 的垂直平分线交 BC 的延长线于点 E 交 AB 与 F 试判定 BAE 与 ACE 是否相似 并说明理由 2 如图 在矩形 ABCD 中 AB 5cm BC 10cm 动点 P 在 AB 边上由 A 向 B 作匀速运动 1 分钟可到达 B 点 动点 Q 在 BC 边上由 B 向 C 作匀速运动 1 分钟可到达 C 点 若 P Q 两点同时出发 问经过多长时间 恰 好有 PQ BD A BE DC F Q P D C B A 14 A BC D A BC D E 课后思考课后思考 1 已知 如图所示 D 是 AC 上一点 BE AC AE 分别交 BD BC 于点 F G 1 2 则 BF 是 FG EF 的 比例中项吗 请说明理由 2 如图 CD 是 Rt ABC 的斜边 AB 上的高 BAC 的平分线分别交 BC CD 于点 E F AC AE AF AB 吗 说 明理由 3 如图 AD 是 Rt ABC 斜边 BC 上的高 DE DF 且 DE 和 DF 分别交 AB AC 于 E F 则吗 说 BD BE AD AF 说你的理由 4 已知零件的外径为 25cm 要求它的厚度x 需先求出它的内孔直径 AB 现用一个交叉卡钳 AC 和 BD 的长相等 去量 如图 若 OA OC OB OD 3 CD 7cm 求此零件的厚度x 第第 3 3 讲讲 相似三角形的判定 相似三角形的判定 2 2 基础知识精讲基础知识精讲 1 1 相似三角形的判定 相似三角形的判定 判定定理判定定理 2 2 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 判定定理判定定理 3 3 三边对应成比例 两三角形相似 2 2 直角三角形相似的判定 直角三角形相似的判定 在直角三角形中 斜边和一条直角边对应成比例 两直角三角形相似 3 3 相似三角形中的基本图形 相似三角形中的基本图形 A BC D E 15 DA B C D A BC E A 型 X 型 2 交错型 3 旋转型 4 母子形 典例剖析典例剖析 例例 1 1 如图在 4 4 的正方形方格中 ABC 和 DEF 的顶点都在长为 1 的小正方形顶点上 1 填空 ABC BC 2 判定 ABC 与 DEF 是否相似 并说明理由 例例 2 2 如图 在 ABC 中 已知 BD CE 是 ABC 的高 试说明 ADE ABC 例例 3 3 如图 已知 AB BD CD BD AB 6cm CD 4cm BD 14cm 点 P 在 BD 上由 B 点向 D 点移动 当 BP 等于多少时 ABP 与 CPD 相似 例例 4 4 求证 若一个直角三角形的一条直角边和斜边上的高与另一个直角三角形的一条直角边和斜边上的 高成比例 那么这两个直角三角形相似 例例 5 5 在三角形 ABC 中 AB AC AD BC 于点 D DE AC 于点 E M 为 DE 的中点 AM 与 BE 相交于点 N 延长 AM 交 BC 于点 G AD 与 BE 相交于点 F 求证 1 2 BCE ADM 3 AM BE DEAD CECD A B C D E M N F A BC D E G A B D C P 16 素质能力测试素质能力测试 A A 组组 1 下列命题中正确的是 三边对应成比例的两个三角形相似 二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 一个角对应相等的两个等腰三角形相似 A B C D 2 如图 D E 分别是 AB AC 上两点 CD 与 BE 相交于点 O 下列条件中不能使 ABE 和 ACD 相似的是 A B C B ADC AEB C BE CD AB AC D AD AC AE AB 3 如图在正方形网格上有 6 个斜三角形 ABC BCD BDE BFG FGH EFK 其中 中 与三角形 相似的是 A B C D 4 如图 DE 与 BC 不平行 当 时 ABC 与 ADE 相似 AC AB 5 烟台 如图 平行四边形 ABCD 中 AB 10 AD 6 E 是 AD 的中点 在 AB 上取一点 F 使 CBF CDE 则 BF 的长是 A 5 B 8 2 C 6 4 D 1 8 3 题图 4 题图 5 题图 17 5 如图 四边形 ABCD 是平行四边形 AE BC 于 E AF CD 于 F 1 ABE 与 ADF 相似吗 说明理由 2 AEF 与 ABC 相似吗 说说你的理由 6 已知 如图 在正方形 ABCD 中 P 是 BC 上的点 且 BP 3PC Q 是 CD 的中点 ADQ 与 QCP 是否相 似 为什么 7 如图 在正方形 ABCD 中 E 为 AD 的中点 EF EC 交 AB 于 F 连接 FC AEF EFC 吗若 AEAB 相似 请证明 若不相似 请说明理由 若 ABCD 为矩形呢 B B 组组 1 已知 如图 CE 是 Rt ABC的斜边 AB 上的高 BG AP 求证 CE2 ED EP 18 2 如图 在直角梯形 ABCD 中 AB CD 在 AD 上能否找到一点 P 7 3 2 ADABCDABDA 使三角形 PAB 和三角形 PCD 相似 若能 共有几个符合条件的点 P 并求相应 PD 的长 若不能 说明理 由 3 已知 ABC DCE EFG 是三个全等的等腰三角形 底边 BC CE EG 在同一直线上 且 AB BC 1 连接 BF 分别交 AC DC DE 于 P Q R 3 1 求证 BFG FEG 并求出 BF 的长 2 观察图形 请你提出一个与点 P 相关的问题 并进行解答 4 如图 AB 是等腰直角三角形 ABC 的斜边 点 M 在边 AC 上 点 N 在边 BC 上 沿直线 MN 将 MCN 翻折 使点 C 落在 AB 上 设其落点为 P 当 P 是边 AB 中点时 求证 CN CM PB PA 当 P 不是边 AB 中点时 是否仍成立 请证明你的结论 CN CM PB PA D C P A B 19 5 如图所示 在 ABC 中 AB AC 1 点 D E 在直线 BC 上运动 设 BD x CE y 1 如果 BAC 30 DAE 105 试确定 y 与 x 之间的函数关系式 2 如果 BAC 的度数为 DAE 的度数为 当 满足怎样的关系式时 1 中 y 与 x 之间的函数关系式还成立 试说明理由 课后思考课后思考 1 如图正方形 ABCD 中 点 E F 分别为 AB BC 的中点 AF 与 DE 相交于点 O 则等于 AO DO A B C D 1 3 2 5 5 2 3 1 2 2 如图 直线 EF 交 AB AC 于点 F E 交 BC 的延长线于点 D AC BC 已知 求证 AB CD DE AC AE CE DE EF 第第 4 4 讲讲 相似三角形的性质及其应用相似三角形的性质及其应用 基础知识精讲基础知识精讲 相似三角形的性质 相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等 对应边成比例 相似三角形对应高的比 对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形周长的比等于相似比 相似三角形面积的比等于相似比的平方 素质能力测试素质能力测试 F A B C D E 20 例例 1 1 1 1 两个相似三角形的面积比为 与它们对应高之比之间的关系为 21 s s 21 h h 2 如图 已知 DE BC CD 和 BE 相交于 O 若 则 AD DB 16 9 COBABC SS 3 如图 已知 AB CD BO OC 1 4 点 E F 分别是 OC OD 的中点 则 EF AB 的值为 4 如图 已知 DE FG BC 且 AD FD FB 1 2 3 则 S FBCGDFGE 四边形四边形 SS ABC A 1 9 36 B 1 4 9 C 1 8 27 D 1 8 36 5 如图 把正方形 ABCD 沿着对角线 AC 的方向移动到正方形 A B C D 的位置 它们的重叠部分的 面积是原正方形面积的一半 若 AC 则正方形移动的距离 AA 是 2 6 梯形 ABCD 中 AD BC AD BC AC BD 交于点 O 若 则 AOD 与 BOC 的周长 ABCDOAB SS 25 6 之比为 例例 2 2 如图 在 ABC 中 DE BC 且 S ADE S四边形 四边形 BCED 1 2 BC 2 6 求 DE 的长 例例 3 3 如图所示 已知 DE BC 且与 ABC 的边 CA BA 的延长线分别相交于点 D E F G 分别在边 AB AC 上 且 AF FB AG GC 求证 AFG AED A BC DE B B B B C D E E A A O 2 题图 3 题图 C EF O BA D 4 题图 B G F ED A C 5 题图 CA D D C B B A O B C DA 21 P A BCD 例例 4 4 如图 矩形 EFGH 内接于 ABC AD BC 于点 D 交 EH 于点 M BC 20 AM 8 S ABC 100 2 求矩形 EFGH 的面积 例例 5 5 ABC 中 D 为 AB 上一点 若 ABC ACD AD 8 DB 6 求 AC 的长 例例 6 6 已知 如图 ABC 中 BAC 900 AB AC 1 D 为 BC 上一动点 不与 B C 重合 ADE 45 1 求证 ABD DCE 2 设 BD x AE y 求 y 与 x 的函数关系式 3 若 ADE 为等腰直角三角形时 求 AE 的长 例例 7 7 如图 在等腰梯形 ABCD 中 AD BC AD 3 BC 7 B 60 P 为下底 BC 上一点 不与 B C 重 合 连结 AP 过 P 点作 PE 交 DC 于 E 使得 APE B 1 求证 ABP PCE 2 求等腰梯形的腰 AB 的长 3 在底边 BC 上是否存在一点 P 使得 DE EC 5 3 如果存在 求出 BP 的长 如果不存在 请说明理由 A BC D E F M H G C A B D E 60 A E 第 7 题图 P D CB 22 素质能力测试素质能力测试 A A 组组 一一 填空填空 选择选择 题 题 1 在长度为 的线段上找到两个黄金分割点 则 2 两个相似三角形的面积比为 4 9 那么它们周长的比为 3 若 x y z 3 5 7 3x 2y 4z 9 则 x y z 的值为 4 如图 APD 90 AP PB BC CD 则下列结论成立的是 A PAB PCA B PAB PDA C ABC DBA D ABC DCA 5 一个三角形的各边之比为 2 5 6 和它相似的另一个三角形的最大边为 24 它的最小边为 6 顺次连接三角形三边的中点 所成的三角形与原三角形对应边上中线的比是 7 在坐标系中 已知 A 3 0 B 0 4 C 0 1 过点 C 作直线 L 交 x 轴 于点 D 使得以点 D C O 为顶点的三角形与 AOB 相相似 这样的直线一共可以 作出 条 8 天府前沿 如图 D E 分别是 ABC 的边 AB AC 上的点 1 B AE EC 4 BC 10 AB 12 则 ADE 的周长为 9 某学生利用树影测松树的高度