小学奥数系统总复习

1 奥数教学简介奥数教学简介 一 课程特色 一 课程特色 1 教材与现行小学奥数教程同步 2 教材难度适中 体现科学性 现实性 有挑战性 突出实 难 巧 趣的特点 二 教学理念 二 教学理念 通才教育和趣味教育 三 教学目标 三 教学目标 以通才教育和趣味教育理念为指导 提高学生的学习成绩 培养学生在 现实生活中运用数学方法和数学思维解决实际问题的能力 进而开拓学生的 思维 为学好奥数打下坚实的基础 如何学好奥数 如何学好奥数 1 1 直观画图法 直观画图法 解奥数题时 如果能合理的 科学的 巧妙的借助点 线 面 图 表将奥数问题直观形象的展示出来 将抽象的数量关系形象化 可使同学们容易搞清数量关系 沟通 已知 与 未知 的联系 抓住问题 的本质 迅速解题 2 2 倒推法 倒推法 从题目所述的最后结果出发 利用已知条件一步一步向前倒 推 直到题目中问题得到解决 3 3 枚举法 枚举法 奥数题中常常出现一些数量关系非常特殊的题目 用普通的 方法很难列式解答 有时根本列不出相应的算式来 我们可以用枚举法 根 据题目的要求 一一列举基本符合要求的数据 然后从中挑选出符合要求的 答案 4 4 正难则反 正难则反 有些数学问题如果你从条件正面出发考虑有困难 那么你 可以改变思考的方向 从结果或问题的反面出发来考虑问题 使问题得到解 决 5 5 巧妙转化 巧妙转化 在解奥数题时 经常要提醒自己 遇到的新问题能否转化 成旧问题解决 化新为旧 透过表面 抓住问题的实质 将问题转化成自己 熟悉的问题去解答 转化的类型有条件转化 问题转化 关系转化 图形转 化等 6 6 整体把握 整体把握 有些奥数题 如果从细节上考虑 很繁杂 也没有必要 如果能从整体上把握 宏观上考虑 通过研究问题的整体形式 整体结构 局部与整体的内在联系 只见森林 不见树木 来求得问题的解决 第一讲第一讲 第一题 时钟问题第一题 时钟问题 有一个始终每小时快20秒 它3月1日中午12点准确 下一次准确的时间 是什么时间 5月30日 12时 答 答 一圈快20 x12 240秒 4分 一共要快几圈才会正好对准标准时间 12x60 4 180 圈 换算成是几日180 x12 2160时 90日 3月1日中午12时 90日 5月30日12时 第二题 几何问题第二题 几何问题 如图 ABC 是等腰直角三角形 D 是半圆周 的中点 BC 是半圆的直径 已知 AB BC 10 那 么阴影部分的面积是多少 圆周率取3 14 答 答 2 第第三题 和差倍问题三题 和差倍问题 春风小学原计划种杨树 柳树和槐树共1500棵 植树开始后 当种了杨 树总数的3 5和30棵柳树后 又临时运来15棵槐树 这是剩下的3种树的棵数 恰好相等 问原计划要栽植这三种树各多少棵 答 答 假设杨树 柳树和槐树棵树分别为 a b 和 c 由题意可得 a b c 1500 1 3 5 a b 30 b 30 c 15 易得到三种树分别为 825 360 315棵 第四题 行程问题第四题 行程问题 甲 乙二人进行游泳追逐赛 规定两人分别从游泳池50米泳道的两端同 时开始游 直到一方追上另一方为止 追上者为胜 已知甲 乙的速度分别 为1 0米 秒和0 8米 秒 问 1 比赛开始后多长时间甲追上乙 2 甲追上乙时两人共迎面相遇了几次 答 答 1 250秒 2 4次 如图 构造柳卡图 可见比赛开始250秒后甲追上乙 他们相遇4次 第五题 速算与巧算第五题 速算与巧算 答 答 2 452 45 第二讲第二讲 计算题计算题 1 1 难度 难度 1 计算 2 结果写成分数形式 答案 2 2 难度 难度 某次考试中 13 名同学的平均分四舍五入到十分位后等于 85 4 且每名 同学的得分都是整数 请问 这 13 名同学的总分是多少 计算平均分时四舍 五入到百分位等于多少 答案答案 平均数的范围是在 85 35 85 45 之间的数 这 13 个同学的总分最小为 13 85 35 1109 55 分 最大为 13 85 45 1110 85 分 每个同学的得分是整数 那么总分也一定是个整数 所以这 13 个同学的总分为 1110 分 则他们的平均分四舍五入到百分位为 85 38 分 第三讲第三讲 计算题计算题 1 1 难度 难度 将 15 个相同的悠悠球分装到四个相同的纸盒中 要求每个盒子中至少装 一个 且每个盒子装的数量都不相同 问共有 种装法 答案答案 因为 2 3 4 5 14 所以最小两个加数只能为 1 和 2 1 和 3 1 和 4 2 和 3 四种情况 15 1 2 3 9 2 15 1 3 4 7 3 无 4 15 2 3 4 6 1 2 4 8 1 3 5 6 1 2 5 7 因此 15 个悠悠球放在不同纸盒里共有 3 2 1 6 种不同的装法 2 2 难度 难度 将一个等边三角形各边七等分后再连接相应的线段得到下图 问图中共 有多少个三角形 3 答案答案 正立的 边长是 1 有 1 2 7 28 边长是 2 有 1 2 6 21 边长是 3 有 1 2 5 15 边长是 7 有 1 个 倒立的 边长是 1 有 1 2 6 21 边长是 2 有 1 2 3 4 10 边长是 3 有 1 2 3 因此共有 28 21 15 10 6 3 1 21 10 3 118 第四讲第四讲 几何问题几何问题 1 1 难度 难度 如图 已知三角形 ABC 面积为 1 延长 AB 至 D 使 延长 BC 至 E 使 CE 2BC 延长 CA 至 F 使 AF 3AC 求三角形 DEF 的面积 答案答案 2 2 难度 难度 一个大正方体 四个中正方体 四个小正方体拼成如图的立体图形 已 知大 中 小三个正方体的棱长分别为 5 厘米 2 厘 米 1 厘米 那么 这个立体图形的表面积是多少平 方厘米 答案答案 采用 三视图 的方法 立方体总表面积 正面 面积 侧面面积 上面面积 2 遮挡部分的面积 正 面面积 5 5 2 2 1 1 2 35 平方厘米 侧面面 积 5 5 2 2 1 1 2 35 平方厘米 上面面积 5 5 25 平方厘米 遮挡部分的面积 2 2 1 1 8 40 平方厘米 所以总 表面积 35 35 25 2 40 230 平方厘米 第五讲第五讲 数论问题数论问题 1 1 难度 难度 已知九位数 2012 12 2 既是 9 的倍数 又是 11 的倍数 那么 这个九 位数是多少 答案答案 设原数为 是 9 的倍数和 11 的倍数 那么一定是 99 的 倍数 根据 99 的整除特征 两位一截后得到的两位数相加 是 99 的倍数 只能是 99 所以 所以b 6 a 2 2 2 难度 难度 四个连续自然数的乘积是 11880 求此四个数 4 答案答案 把这些质因数搭配成 4 个乘数 并且要求是 连续的 11 比较大 我们不妨从 11 入手 只能有 8 9 10 11 或是 9 10 11 12 前者不成立 那么这四个数是 9 10 11 12 第六讲第六讲 应用题应用题 1 一个农夫看见池塘里有一群鹅 他自言自语地说 我如果有这些 鹅 再加上这些鹅 然后再加上这些鹅的一半 又加上这些鹅的一半的一半 最后再加上我家里的 5 只 就正好是 93 只鹅 池塘里有鹅多少只 解析解析 2 老师买来 120 支铅笔分给四 五 六年级的同学 其中分给四年级 分给五年级 那么六年级分到铅笔 支 解析解析 简单分数量率对应应用题 3 小明看 丁丁历险记 的连环画 第一天看了全书的还多 4 页 第二天看了余下的还多 5 页 第三天看了剩下的还多 6 页 第四天看了 2 页就将全书看完了 这本书一共有 页 解析 典型还原问题 列综合算式即可 页 4 陕北某村有一块草场 假设每天草都均匀生成 这片草场经过测算 可供 100 只羊吃 200 天 或可供 150 只羊吃 100 天 问 如果放牧 250 只羊 可以吃多少天 放牧这么多羊对吗 为防止草场沙化 这片草场最多可以放 牧多少只羊 解析解析 每只羊每天吃草量为 1 份 新生草量 份 原有草量 份 250 只羊可吃 天 放牧这么多羊不对 最多放牧 50 只羊 因为每天新增草 50 份 刚好够 50 只羊吃 第七讲第七讲 1 一箱苹果 按每千克 1 6 元卖 亏 12 元 按每千克 2 1 元卖 赚 3 元 要想不亏不赚 每千克应卖元 解析解析 如果 1 千克按 1 6 元卖 4 千克按 2 1 元卖 则刚好亏的和赚的抵 消 平均每千克卖 1 6 2 1 4 1 4 2 元 2 将一群人分为甲 乙 丙三组 每人都必在且仅在一组 已知甲 乙 丙的平均年龄分别为 3737 2323 4141 甲 乙两组人合起来的平均年龄为 2929 乙 丙两组人合起来的平均年龄为 3333 则这一群人的平均年龄为 解析解析 甲 乙两组人的年龄比为 29 2329 23 37 2937 29 3 4 3 4 乙 丙两组 人的年龄比为 41 3341 33 33 2333 23 4 5 4 5 所以甲 乙 丙三组人的年龄比 为 3 4 53 4 5 这群人的平均年龄为 岁 3 美是一种感觉 本应没有什么客观的标准 但在自然界里 物体形 映的比例却提供了匀称与协调上的一种美感的参考 在数学上 这个比例称 为黄金分割 在人体下躯干 由脚底至肚脐的长度 与身高的比例上 肚脐 是理想的黄金分割点 也就是说 若此比值越接近 0 6180 618 就越给人一种美 的感受 如果某女士身高为 1 601 60 米 下躯干与身高的比为 0 600 60 为了追求 美 她想利用高跟鞋达到这一效果 那么她选的高跟鞋的高度约为多少厘米 解析 该女士下躯干高 160 0 6 0 96160 0 6 0 96 米 设高跟鞋的高度为 x x 米 从而 解得 厘米 厘米 第八讲第八讲 1 小王期末考试得了满分 但老师在评讲试卷时小王突然发现在做一 道数学填空题时 算到最后一个结果是一个数乘以 8 再减去 63 由于粗心 把乘法算成除法 把减法算成加法 但凑巧的是得数是对的 这道数学题得 数是 解析解析 设数为a 则有a 8 63 a 8 63 求得a 16 结果为 16 816 8 6363 6565 5 2 天津红气球小学六年级同学参加运动会 每人都在长跑 短跑和接 力三个项目中选择两项参加 已知参加长跑的有 28 人 参加短跑的有 25 人 参加接力的有 33 人 那么 参加长跑和接力两项的有 解析解析 容易计算一共有六年级学生 28 25 3328 25 33 2 43 2 43 人 所以参加 长跑和接力的人有 43 15 1843 15 18 3 我国除了用公历纪年法外 在很多场合还采用干支纪年法表示年代 天干有 10 个 甲乙丙丁戊已庚辛壬癸 地支有 12 个 子丑寅卯辰巳午未申 酉戌亥 将天干的 10 个流字与地支的 12 个汉字循环对应排列成如下两行 甲乙丙丁戊已庚辛壬癸甲乙丙丁戊 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅 例如 公历 2000 年 干支纪年为庚辰年 那么公历 2003 年 干支幻年 为 年 请你阅读下面的故事 我国著名的数学家苏步青在 1983 年讲过一个学文史的也要学点数学的故 事 我有一个学生研究古典文学 送我好几本研究苏东坡的文集 我翻看 了一篇 赤壁赋 赤壁赋 是苏东坡哪一年写的 书上印的是 1080 年 苏东坡生于 1037 年 活了 66 岁 赤壁赋 开头几句就是 壬戌之秋 七 月既望 大家知道 1982 年是干支纪年法的壬戌年 我一看苏东坡写 赤壁赋 的年代是 1080 年 就知道一定是错的 请说明苏步青是通过怎样的 神机妙算 得出这个结论的 并推算苏东 坡是公历哪一年写的 赤壁赋 解析解析 因为 10 12 60 所以干支纪年法每 60 年一循环 1982 年是壬戌年 赤壁赋 也是壬戌年写的 因此公历 1982 年与写 赤壁赋 的公历年相差 应是 60 的倍数 但是 1982 1080 902 902 不是 60 的倍数 所以 赤壁赋 不是在 1080 年写的 1037 66 1103 在 1037 年至 1103 年间与 1982 相差 60 的倍数的只有 1982 60 5 1082 所以 赤壁赋 是苏东坡 1082 年写的 第九讲第九讲 1 一个农民携带一只狼 一只羊和一棵白菜 要借助一条小 船过河 小船上除了农民只能再带狼 羊 白菜中的一样 而农民不在时 狼会吃羊 羊会吃白菜 农民如何过河呢 解析解析 如下表 次数次数此岸此岸过河过河彼岸彼岸 1狼 白菜农民 羊 2狼 白菜 农民羊 3狼农民 白菜 羊 4狼 农民 羊白菜 5羊农民 狼 白菜 6羊 农民狼 白菜 7农民 羊 狼 白菜 农民 羊 狼 白菜 2 有一家五口人要在夜晚过一座独木桥 他们家里的老爷爷行 动非常不便 过桥需要 12 分钟 孩子们的父亲贪吃且不爱运动 体重严重超 标 过河需要时间也较长 8 分钟 母亲则一直坚持劳作 动作还算敏捷 过桥要 6 分钟 两个孩子中姐姐需要 3 分钟 弟弟只要 1 分钟 当时正是初 一夜晚又是阴天 不要说月亮 连一点星光都没有 真所谓伸手不见五 指 所幸的是他们有一盏油灯 同时可以有两个人借助灯光过桥 但要命的 灯油将尽 这盏灯只能再维持 30 分钟了 他们焦急万分 该怎样过桥呢 解析解析 首先姐姐跟弟弟一起过 用时 3 分钟 姐姐再回去送油灯 用时 3 分钟 老爷爷跟爸爸一起过河 用时 12 分钟 弟弟将灯送回去 用时 1 分钟 弟弟和母亲一起过 用时 6 分钟 弟弟送灯过河 用时 1 分钟 最后与姐姐 一起过河 用时 3 分钟 一共用时 3 3 12 1 6 1 3 29 分钟 最后能够安 全全部过河 第十讲第十讲 1 有两堆火柴 一堆 3 根 另一堆 7 根 甲 乙两人轮流取 火柴 每次可以从每一堆中取任意根火柴 也可以同时从两堆中取相同数目 的火柴 每次至少要取走一根火柴 谁取得最后一根火柴谁胜 如果都采用 最佳方法 那么谁将获胜 解析解析 采用逆推法分析 假设甲获胜 甲最终将两堆火柴都变为 0 简记 0 0 因为甲至少取 1 根火柴 所以甲取之前 即乙留给甲的两堆火柴 最少的几种情况是 1 0 2 0 1 1 要想乙留给甲上述情况 甲应该留给乙 1 2 再往前逆推 当甲留给乙 3 5 时 无论乙怎样 6 取 甲都可以一次取完所有的火柴或留给乙 1 2 所以甲先从 7 根火柴 的一堆取出 2 根 留给乙 3 5 甲必胜 2 国王带着 六位大臣去旅游 晚上 0 1 3579 11 大家要去住旅馆 可只有三间房 国王自己要住一间 剩下的两间房都能 0 住三个人 一间是奇数房 只能住奇数 一间是质数房 只能住质数 结果 六位大臣商量着竟然吵了起来 大臣说 我是质数 我应该住质数房 1 大臣说 不对 你是奇数 我才应该住质数房 3 他们闹得不可开交 最后只好请国王来评判 可国王一时之间也不 00 知道该怎么安排 同学们 你们能帮助他们吗 你们能够设计几种不同的住 法呢 解析解析 首先 在题目里 大臣所说的是错误的 而 大臣所说的是正确的 1 3 所有的六位大臣都可以去住奇数房 但只有 四位大臣可以 357 11 住在质数房 所以 例如 住奇数房 住质数房的安排方法就是正 1 3957 11 确的 由前面的分析 必须住在奇数房 所以另外四个数中任何一个也住 1 9 进奇数房 都是一种住法 那么一共有种不同的住法 1 4 4C 第十一讲第十一讲 1 若干个同样的盒子排成一排 小明把五十多个同样的棋子分 装在盒中 其中只有一个盒子没有装棋子 然后他外出了 小光从每个有棋 子的盒子里各拿一个棋子放在空盒内 再把盒子重新排了一下 小明回来仔 细查看了一番 没有发现有人动过这些盒子和棋子 问共有多少个盒子 解析解析 原来有个空的 说明现在也有个空的 现在空的说明原来这盒有 1 个 当然现在也必须有个盒子有 1 个 现在盒中有 1 个 说明原来是 2 个 当然 现在也必须有个盒子有 2 个 考虑 50 多 所以有 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55 共 11 个盒子 2 向阳小学有 730 个学生 问 至少有几个学生的生日是同一 天 解析解析 一年最多有 366 天 可看做 366 个抽屉 730 个学生看做 730 个苹 果 因为 所以 至少有 1 1 2 个 学生的生日是 7303661364 同一天 第十二讲第十二讲 1 六一 儿童节 很多小朋友到公园游玩 在公园里他们 各自遇到了许多熟人 试说明 在游园的小朋友中 至少有两个小朋友遇到 的熟人数目相等 解析解析 假设共有 n 个小朋友到公园游玩 我们把他们看作 n 个 苹果 再把每个小朋友遇到的熟人数目看作 抽屉 那么 n 个小朋友每人遇到 的熟人数目共有以下 n 种可能 0 1 2 n 1 其中 0 的意思是指这 位小朋友没有遇到熟人 而每位小朋友最多遇见 n 1 个熟人 所以共有 n 个 抽屉 下面分两种情况来讨论 如果在这 n 个小朋友中 有一些小朋友没有遇到任何熟人 这时其他 小朋友最多只能遇上 n 2 个熟人 这样熟人数目只有 n 1 种可能 0 1 2 n 2 这样 苹果 数 n 个小朋友 超过 抽屉 数 n 1 种 熟人数目 根据抽屉原理 至少有两个小朋友 他们遇到的熟人数目相等 如果在这 n 个小朋友中 每位小朋友都至少遇到一个熟人 这样熟人 数目只有 n 1 种可能 1 2 3 n 1 这时 苹果 数 n 个小朋友 仍然超过 抽屉 数 n 1 种熟人数目 根据抽屉原理 至少有两个小朋友 他们遇到的熟人数目相等 总之 不管这 n 个小朋友各遇到多少熟人 包括没遇到熟人 必有两个 小朋友遇到的熟人数目相等 2 海天小学五年级学生身高的厘米数都是整数 并且在厘 140 米到厘米之间 包括厘米到厘米 那么 至少从多少个学生中 150140150 保证能找到个人的身高相同 4 解析解析 陷阱 以前的题基本全是 2 个人的 而这里出现 4 个人 那么 就 从倍数关系选 认真思考 此题中应把什么看作抽屉 有几个抽屉 在 140 厘米至 150 厘米之间 包括 140 厘米到 150 厘米 共有 11 个整厘 米数 把这 11 个整厘米数看作 11 个抽屉 每个抽屉中放 3 个整厘米数 就 要个整厘米数 如果再取出一个整厘米数 放入相应的抽屉中 那 11 333 么这个抽屉中便有 4 个整厘米数 也就是至少找出 33 1 34 个学生 才能找 到 4 个人的身高相同 第十三讲第十三讲 7 1 有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥 此桥每次只 能让 2 个人同时通过 否则桥会倒塌 过桥的人必须要用到手电筒 不然会 一脚踏空 只有一个手电筒 4 个人的行走速度不同 小强用 1 分钟就可以 过桥 中强要 2 分钟 大强要 5 分钟 最慢的太强需要 10 分钟 17 分钟后 桥就要倒塌了 请问 4 个人要用什么方法才能全部安全过桥 解析解析 小强和中强先过桥 用 2 分钟 再用小强把电筒送过去 用 1 分钟 现在由大强跟太强一起过桥 用 10 分钟 过去以后叫中强把电筒送给小强用 2 分钟 最后小强与中强一起过河再用 2 分钟 他们一起用时间 分钟 正好在桥倒塌的时候全部过河 时间最短过河 21 102217 的原则是 时间长的一起过 时间短的来回过 这样保证总的时间是最短的 2 车间里有五台车床同时出现故障 已知第一台到第五台修复 时间依次为 18 30 17 25 20 分钟 每台车床停产一分钟造成经济损失 5 元 现有两名工作效率相同的修理工 怎样安排才能使得经济损失最少 怎样安排才能使从开始维修到维修结束历时最短 解析解析 一人修 17 20 30 另一人修 18 25 最少的经济损失为 元 51732023018225 910 因为 分 经过组合 一人修需 18 17 1830172520255 和 20 分钟的三台 另一人修需 30 和 25 分钟的两台 修复时间最短 为 55 分钟 第十四讲第十四讲 1 2008 年 迎春杯 三年级组初赛 计算 解析解析 本题可以直接将两个乘积计算出来再求它们的差 但灵活采用平方 差公式能收到更好的效果 原式 2 2008 年走美四年级初赛 解析解析 本题可以用凑整的方法来做 也可以直接用平方差公式来做 原式 3 3 2008 年日本小学算术奥林匹克大赛高小组初赛 计算 分析 分析 法 1 原式 4 计算 51 2 8 1 11 9 25 537 0 19 解析解析 稍着处理 题中数字就能凑整化简 原式 51 2 8 1 11 9 25 512 25 0 19 51 2 8 1 11 9 25 512 0 19 25 0 19 51 2 8 1 51 2 1 9 11 9 25 0 25 19 51 2 10 11 0 25 11 9 0 25 19 512 0 25 30 99 611 7 5 618 5 8 第十五讲 1 计算 1 2003 2001 111 2003 73 37 2 412 0 81 11 53 7 1 9 解析解析 1 原式 2003 2001 111 2003 73 3 37 3 2003 2001 73 3 111 2003 2220 111 40060 2 原式 41 2 8 1 11 9 0 25 41 2 12 5 1 9 41 2 8 1 41 2 1 9 12 5 1 9 11 9 11 0 25 41 2 8 1 1 9 10 2 5 1 9 99 11 0 25 412 10 1 9 2 5 1 9 99 11 0 25 412 19 99 11 19 0 25 410 2 20 1 100 1 7 5 537 5 2 04 年希望杯 1 试 计算 解析解析 第十六讲第十六讲 1 2008 年 希望杯 六年级第 2 试 分析 分析 用换元法 令 则 原式 2 解析解析 原式 第十七讲第十七讲 1 计算 解析解析 原式 第十八讲第十八讲 1 大林和小林共有小人书不超过 9 本 他们各自有小人书的 数目有多少种可能的情况 解析解析 大林和小林共有 9 本的话 有 10 种可能 共有 8 本的话 有 9 种可能 共有 0 本的话 有 1 种可能 所以根据加法原理 一共有 10 9 3 2 1 55 种可能 2 用 100 元钱购买 2 元 4 元或 8 元饭票若干张 没有剩 钱 共有多少不同的买法 解析解析 如果买 0 张 8 元饭票 还剩 100 元 可以购买 4 元饭票的张数为 0 25 张 其余的钱全部购买 2 元饭票 共有 26 种买法 如果买 l 张 8 元饭票 还剩 92 元 可购 4 元饭票 0 23 张 其余的钱全 部购买 2 元饭票 共有 24 种不同方法 如果买 2 张 8 元饭票 还剩 84 元 可购 4 元饭票 0 21 张 其余的钱全 部购买 2 元饭票 共有 22 种不同方法 如果买 12 张 8 元饭票 还剩 4 元饭票 可购 4 元饭票 0 1 张 其余的 钱全部购买 2 元饭票 共有 2 种方法 总结规律 发现各类情况的方法数组成了一个公差为 2 项数是 13 的等 差数列 利用分类计数原理及等差数列求和公式求出所有方法 26 24 22 2 26 2 13 2 182 种 共有 182 种不同的买法 9 第十九讲第十九讲 1 题库中有三种类型的题目 数量分别为 30 道 40 道和 45 道 每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张试卷 问 由该题库 共可组成多少种不同的试卷 4 级 解析解析 从该题库每一类试卷中分三步各选一道题 每一步分别有 30 40 45 种选法 根据乘法原理 一共有 30 40 45 54000 种不同的选 法 所以一共可以组成 54000 种不同试卷 2 五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝 晶晶 欢欢 迎迎和 妮妮 排成一排表演节目 如果贝贝和妮妮不相邻 共有多少种不同的排法 6 级 解析解析 五位同学的排列方式共有 5 4 3 2 1 120 种 如果将相邻的贝贝和妮妮看作一人 那么四人的排列方式共有 4 3 2 1 24 种 因为贝贝和妮妮可以交换位置 所以贝贝和妮妮相邻的排列方式有 24 2 48 种 贝贝和妮妮不相邻的排列方式有 120 48 72 种 第二十讲第二十讲 1 一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠个车站 包括 北京和上海 这条铁路线共需要多少种不同的车票 4 级 解析解析 种 2 用 1 2 3 4 5 6 7 8 可以组成多少个没有重复数字 的四位数 4 级 解析解析 这是一个从个元素中取个元素的排列问题 已知 根据排列数公式 一共可以组成 个 不同的四 位数 6 76 7 试题试题 1 某校举行排球单循环赛 有个队参加 问 共需要进行 多少场比赛 2 级 解析解析 因为比赛是单循环制的 所以 个队中的每两个队都要进行一场比赛 并且比赛的场次只与两个队的选取有关而与两个队选出的顺序无关 所以 这是一个在个队中取个队的组合问题 由组合数公式知 共需进行 场 比赛 2 从 0 0 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 这七个数字中 任取 3 个组成三 位数 共可组成多少个不同的三位数 这里每个数字只允许用 1 1 次 比如 100 210 就是可以组成的 而 211 就是不可以组成的 2008 年 陈省身 杯 国际青少年数学邀请赛五年级 4 级 解析解析 若三位数不含有 0 0 有 5 3 4 605 3 4 60 个 若含有一个 0 0 有 5 4 2 405 4 2 40 个 若含有两个 0 0 有 5 5 个 所以共有 60 40 5 10560 40 5 105 个 3 某班共有 4646 人 参加美术小组的有 1212 人 参加音乐小组的 有 2323 人 有 5 5 人两个小组都参加了 这个班既没参加美术小组也没参加音乐 小组的有多少人 解析解析 已知全班总人数 从反面思考 找出参加美术或音乐小组的人数 只需 用全班总人数减去这个人数 就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的 人数 根据包含排除法知 该班至少参加了一个小组的总人数为 12 23 12 23 5 305 30 人 所以 该班未参加美术或音乐小组的人数是 46 30 6046 30 60 人 4 对全班同学调查发现 会游泳的有 2020 人 会打篮球的有 2525 人 两项都会的有 1010 人 两项都不会的有 9 9 人 这个班一共有多少人 解析解析 如图 用长方形表示全班人数 A A 圆表示会游泳的人数 B B 圆表示会打篮 球的人数 长方形中阴影部分表示两项都不会的人数 由图中可以看出 全班人数至少会一项的人数 两项都不会的人数 至 少会一项的人数为 20 25 10 3520 25 10 35 人 全班人数为 35 9 4435 9 44 人 第二十一讲第二十一讲 1 有一个电子表的表面用 2 个数 码显示 小时 另用 2 个数码显示 分 例如 21 32 表示 21 时 32 分 那么这个手表从 10 00 至 11 30 之间共有分钟表面上 显示有数码 2 10 解析解析 显示小时的数码不会出现 2 只有分钟会出现 10 点到 11 点分别 有 2 12 20 21 22 29 32 42 52 共 15 次 11 点到 11 点半 有 2 12 20 21 22 29 共 12 次 所以有 27 分钟 2 袋中有 3 个红球 4 个黄球和 5 个白球 小明从中任意拿出 6 个球 他拿出球的情况共有 种可能 解析解析 如果没拿红球 那么拿 黄 白 球的可能有 1 5 2 4 3 3 4 2 4 种 如果拿 1 个红球 那么拿 黄 白 球的可能有 0 5 1 4 2 3 3 2 4 1 5 种 如果拿 2 个红球 那么拿 黄 白 球的可能有 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0 5 种 如果拿 3 个红球 那么拿 黄 白 球的可能有 0 3 1 2 2 1 3 0 4 种 可见他拿出球的情况共有 4 5 5 4 18 种 第二十二讲第二十二讲 1 1 2 3 4 四个数字 从小到大排成一行 在这四个数中间 任意插入乘号 最少插一个乘号 可以得到多少个不同的乘积 解析解析 方法一 方法一 按插入乘号的个数进行分类 若插入一个乘号 4 个数字之间有 3 个空当 选 3 个空当中的任一空 当放乘号 所以有 3 种不同的插法 可以得到 3 个不同的乘积 枚举如下 1 2341 234 12 3412 34 123 4123 4 若插入两个乘号 由于必有一个空当不放乘号 所以从 3 个空档中选 2 个空当插入乘号有 3 种不同的插法 可以得到 3 个不同的乘积 枚举如下 1 2 341 2 34 1 2 3 41 2 3 4 12 3 412 3 4 若插入三个乘号 则只有 1 个插法 可以得到 l 个不同的乘积 枚举 如下 1 2 3 41 2 3 4 所以 根据加法原理共有 3 3 1 73 3 1 7 种不同的乘积 方法二 方法二 每个空可以放入乘号可以可以不放乘号共有两种选择 在 1 2 3 4 这 四个数中共有 3 个空所以共有 2 2 2 82 2 2 8 去掉都不放的一种情况 所以共 有 8 1 78 1 7 种 选择 2 2002 年南京少年数学智力冬令营六年级试题 今年是 2002 年 把 2002 年这样的年份称为 对称年 年份的个位数字和千位数字相同 百位 数字和十位数字相同 从 2000 年到 2999 年之间共有 个 对称年 解析解析 2000 年到 2999 年之间的 对称年 个位为 2 十位和百位数字相同 可 以是 0 1 2 9 共 10 个 所以从 2000 年到 2999 年之间共有 10 个 对称年 第二十三讲第二十三讲 1 共有 个四位数 其四个数字的乘积是质数 解析解析 四个数的积为质数 其中只能有 个质数 另外 个数为 如 它可以排成四个符合要求的四位数 同样 也都可以排成四个符合要求的四位数 因此共有 个符合要求的四位数 2 给定三种重量的砝码 每种数量都有足够多个 将它们组合凑成有 种不同的方法 每种砝码至 少用一块 解析解析 分析 枚举 一共有种方法 第二十四讲第二十四讲 1 在 到 含 的所有正整数中 它的数码和可被整除的 数共有多少个 解析解析 把中的个位去掉 得到从中的一个数 各位数字 和除以的余数为 中的一种 之后添加个位数字使新生成 的数的各位数字之和能够整除 不论的各位数字之和除以的余数是多 少 个位数都有两种添加方法 所以从这个数中各位数字之和 为的倍数的有 个 减去一个 有 个 11 从这个数中有和各位数字之和能被整除 所以从 到所有正整数中 它的数码和可被整除的数共有 个 2 在一个六边形纸片内有个点 以这个点和六变形的个顶点为 顶点的三角形 最多能剪出 个 解析解析 设正六边形内有个点 当时有个三角形 每增加一个点 就增加个三角形 个点最多能剪出个三角形 时 可剪出个三角形 注 设最多能剪出个小三角形 则这些小三角形的内角和为 换 一个角度看 汇聚到正六边形六个顶点处各角之和为 故这些小三角 形的内角总和为 于是 解得 第二十五讲第二十五讲 1 有多少个四位数 满足个位上的数字比千位数字大 千位数字比百位 大 百位数字比十位数字大 解析解析 由于四位数的四个数位上的数的大小关系已经非常明确 而对于从 0 9 中任意选取的 4 个数字 它们的大小关系也是明确的 那么由这 4 个数 字只能组成 1 个符合条件的四位数 题目中要求千位比百位大 所以千位不能 为 0 本身已符合四位数的首位不能为 0 的要求 所以进行选择时可以把 0 包含在内 也就是说满足条件的四位数的个数与从 0 9 中选取 4 个数字的 选法是一一对应的关系 那么满足条件的四位数有 个 2 数 3 可以用 4 种方法表示为一个或几个正整数的和 如 3 问 1999 表示为一个或几个正整数的和的方法有多少种 解析解析 我们将 1999 个 1 写成一行 它们之间留有 1998 个空隙 在这些空 隙处 或者什么都不填 或者填上 号 例如对于数 3 上述 4 种和的 表达方法对应 1 1 1 11 1 1 11 111 可见 将 1999 表示成和的形式与填写 1998 个空隙处的方式之间是一一 对应的关系 而每一个空隙处都有填 号和不填 号 2 种可能 因 此 1999 可以表示为正整数之和的不同方法有 21998种 第二十六讲第二十六讲 比较分数的大小比较分数的大小 同学们从一开始接触数学 就有比较数的大小问题 比较整数 小数的 大小的方法比较简单 而比较分数的大小就不那么简单了 因此也就产生了 多种多样的方法 对于两个不同的分数 有分母相同 分子相同以及分子 分母都不相同 三种情况 其中前两种情况判别大小的方法是 分母相同的两个分数 分子大的那个分数比较大 分母相同的两个分数 分子大的那个分数比较大 分子相同的两个分数 分母大的那个分数比较小 分子相同的两个分数 分母大的那个分数比较小 第三种情况 即分子 分母都不同的两个分数 通常是采用通分的方法 使它们的分母相同 化为第一种情况 再比较大小 由于要比较的分数千差万别 所以通分的方法不一定是最简捷的 下面我们介绍另外几种方法 1 1 通分子通分子 当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大 而分子的最小公倍数比较 小时 可以把它们化成同分子的分数 再比较大小 这种方法比通分的方法 简便 如果我们把课本里的通分称为 通分母 那么这里讲的方法可以 称为 通分子 2 2 化为小数 化为小数 这种方法对任意的分数都适用 因此也叫万能方法 但在比较大小 时是否简便 就要看具体情况了 3 3 先约分 后比较 先约分 后比较 有时已知分数不是最简分数 可以先约分 4 4 根据倒数比较大小 根据倒数比较大小 12 5 5 若两个真分数的分母与分子的差相等 则分母 子 大的分数较大 若两个真分数的分母与分子的差相等 则分母 子 大的分数较大 若两个假分数的分子与分母的差相等 则分母 子 小的分数较大 也就是若两个假分数的分子与分母的差相等 则分母 子 小的分数较大 也就是 说 说 6 6 借助第三个数进行比较 有以下几种情况 借助第三个数进行比较 有以下几种情况 1 对于分数 m 和 n 若 m k k n 则 m n 2 对于分数 m 和 n 若 m k n k 则 m n 前一个差比较小 所以 m n 3 对于分数 m 和 n 若 k m k n 则 m n 注意 2 与 3 的差别在于 2 中借助的数 k 小于原来的两个分 数 m 和 n 3 中借助的数 k 大于原来的两个分数 m 和 n 4 把两个已知分数的分母 分子分别相加 得到一个新分数 新分数 一定介于两个已知分数之间 即比其中一个分数大 比另一个分数小 利用这一点 当两个已知分数不容易比较大小 新分数与其中一个已知 分数容易比较大小时 就可以借助于这个新分数 比较分数大小的方法还有很多 同学们可以在学习中不断发现总结 但 无论哪种方法 均来源于 分母相同 分子大的分数大 分子相同 分母 小的分数大 这一基本方法 练习练习比较下列各组分数的大小 答案与提示 练习练习 1 1 13 第二十七讲第二十七讲 工程问题 一 工程问题 一 顾名思义 工程问题指的是与工程建造有关的数学问题 其实 这类题 目的内容已不仅仅是工程方面的问题 也括行路 水管注水等许多内容 在分析解答工程问题时 一般常用的数量关系式是 工作量工作量 工作效率工作效率 工作时间 工作时间 工作时间工作时间 工作量工作量 工作效率 工作效率 工作效率工作效率 工作量工作量 工作时间 工作时间 工作量指的是工作的多少 它可以是全部工作量 一般用数 1 表示 也 可 工作效率指的是干工作的快慢 其意义是单位时间里所干的工作量 单 位时间的选取 根据题目需要 可以是天 也可以是时 分 秒等 工作效率的单位是一个复合单位 表示成 工作量 天 或 工作量 时 等 但在不引起误会的情况下 一般不写工作效率的单位 1 单独干某项工程 甲队需 100 天完成 乙队需 150 天完成 甲 乙两 队合干 50 天后 剩下的工程乙队干还需多少天 分析与解 分析与解 以全部工程量为单位 1 甲队单独干需 100 天 甲的工作效 2 2 某项工程 甲单独做需 36 天完成 乙单独做需 45 天完成 如果开工 时甲 乙两队合做 中途甲队退出转做新的工程 那么乙队又做了 18 天才完 成任务 问 甲队干了多少天 分析 分析 将题目的条件倒过来想 变为 乙队先干 18 天 后面的工作甲 乙两队合干需多少天 这样一来 问题就简单多了 答 甲队干了 12 天 3 3 单独完成某工程 甲队需 10 天 乙队需 15 天 丙队需 20 天 开始 三个队一起干 因工作需要甲队中途撤走了 结果一共用了 6 天完成这一工 程 问 甲队实际工作了几天 分析与解 分析与解 乙 丙两队自始至终工作了 6 天 去掉乙 丙两队 6 天的工 作量 剩下的是甲队干的 所以甲队实际工作了 4 4 一批零件 张师傅独做 20 时完成 王师傅独做 30 时完成 如果两人 同时做 那么完成任务时张师傅比王师傅多做 60 个零件 这批零件共有多少 个 分析与解 分析与解 这道题可以分三步 首先求出两人合作完成需要的时间 例例 5 5 一水池装有一个放水管和一个排水管 单开放水管 5 时可将空池灌 满 单开排水管 7 时可将满池水排完 如果一开始是空池 打开放水管 1 时 后又打开排水管 那么再过多长时间池内将积有半池水 14 例例 6 6 甲 乙二人同时从两地出发 相向而行 走完全程甲需 60 分钟 乙需 40 分钟 出发后 5 分钟 甲因忘带东西而返回出发点 取东西又耽误了 5 分钟 甲再出发后多长时间两人相遇 分析 分析 这道题看起来像行程问题 但是既没有路程又没有速度 所以不 能用时间 路程 速度三者的关系来解答 甲出发 5 分钟后返回 路上耽误 10 分钟 再加上取东西的 5 分钟 等于比乙晚出发 15 分钟 我们将题目改 述一下 完成一件工作 甲需 60 分钟 乙需 40 分钟 乙先干 15 分钟后 甲 乙合干还需多少时间 由此看出 这道题应该用工程问题的解法来解答 答 甲再出发后 15 分钟两人相遇 第二十八讲第二十八讲 1 1 难度 难度 请问至少出现一个数码 3 并且是 3 的倍数的五位数共有多少个 解析解析 五位数共有 90000 个 其中 3 的倍数有 30000 个 可以采用排除法 首 先考虑有多少个五位数是 3 的倍数但不含有数码 3 首位数码有 8 种选择 第二 三 四位数码都有 9 种选择 当前四位的数码确定后 如果它们的和 除以余数为 0 则第五位数码可以为 0 6 9 如果余数为 1 则第五位数码 可以为 2 5 8 如果余数为 2 则第五位数码可以为 1 4 7 可见只要前 四位数码确定了 第五位数码都有 3 种选择 所以五位数中是 3 的倍数但不 含有数码 3 的数共有个 所以满足条件的五位数共有个 2 2 难度 难度 如图所示 从 A 点到 B 点 如果要求经过 C 点或 D 点的最近路线有多少 条 解析解析 1 方格图里两点的最短路径 从位置低的点向位置高的点出发的话 每 到一点 如 C D 点 只能向前或者向上 2 题问的是经过 C 点 或者 D 点 那么 A 到 B 点就可以分成两条路径了 A C B A D B 那么也就可以分成两类 但是需要考虑一个问题 A 到 B 点的最短路径会同时经过 C 和 D 点吗 最短路径只能往上往前 经过观 察发现 C D 不会同时出现在最短路径上了 3 A C B 那么 C 就是必经之点了 就需要用到乘法原理了 A C 最短路径用标数法标出 同样 C B 点用标数法标注 然后相乘 A D B 同样道理 最后结果是 735 420 1155 条 15 第二十九讲第二十九讲 1 1 难度 难度 在一个西瓜上切 6 刀 最多能将瓜皮切成多少片 解析解析 将西瓜看做一个球体 球体上任意一个切割面都是圆形 所以球面上的 切割线是封闭的圆周 考虑每一次切割能增加多少瓜皮片 当切 1 刀时 瓜 皮被切成两份 当切第 2 刀时 由于切割线相交 所以瓜皮被切成 4 分 切第 n 次时 新增加的切割线与原来的切割线最多有 2 n 1 个交 点 这些交点将第 n 条切割线分成 2 n 1 段 也就是说新增加的切割线使瓜 皮数量增加了 2 n 1 所以在西瓜上切 6 刀 最多能将瓜皮切成 2 2 难度 难度 在一个六边形纸片内有 60 个点 以这 60 个点和六边形的 6 个顶点为顶 点的三角形 最多能剪出 个 解析解析 设正六边形内有 n 个点 当 n 1 时有 6 个三角形 每增加一个点 就增 加 2 个三角形 n 个点最多能剪出 6 2 n 1 2 n 2 个三角形 n 60 时 可剪出 124 个三角形 注 设最多能剪出 x 个小三角形 则这些小三角形的内角和为 换 一个角度看 汇聚到正六边形六个顶点处各角之和为 故这些小三角 形的内角总和为 于是 解得 x 124 第三十讲第三十讲 1 1 难度 难度 在 1 100 中任意取出两个不同的数相加 其和是偶数的共有多少种不同 的取法 解析解析 两个数的和是偶数 通过前面刚刚学过的奇偶分析法 这两个数必然同 是奇数或同是偶数 而取出的两个数与顺序无关 所以是组合问题 从 50 个偶数中取出 2 个 有 种 取法 从 50 个奇数中取出 2 个 也有 种 取法 根据加法原理 一共有 1225 1225 2450 种 不同的取法 小结 在本题中 对两个数的和限定了条件 不妨对这个条件进行分 类 如把和为偶数分成两奇数相加或两偶数相加 这样可以把问题简化 2 2 难度 难度 10 个三角形最多将平面分成几个部分 解析解析 设 n 个三角形最多将平面分成个部分 n 1 时 2 n 2 时 第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有个 2 交点 三 条边与第一个三角形最多有 2 3 6 个 交点 这 6 个交点将第二个三角形 的周边分成了 6 段 这 6 段中的每一段都将原来的每一个部分分成 2 个部分 从而平面也增加了 6 个部分 即 n 3 时 第三个三角形与前面两个三角形最多有 个 交点 从 而平面也增加了 12 个部分 即 一般地 第 n 个三角形与前面 n 1 个三角形最多有个交点 从 而平面也增加个部分 故 特别地 当 n 10 时 即 10 个三角形最 多把平面分成个 272 部分 16 第三十一讲第三十一讲 1 1 难度 难度 学校开设 6 门任意选修课 要求每个学生从中选学 3 门 共有多少种不 同的选法 解析解析 被选中的门排列顺序不予考虑 所以这是个组合问题 由组合数公式知 所以共有 20 种不同的选法 2 2 难度 难度 某校举行男生乒乓球比赛 比赛分成 3 个阶段进行 第一阶段 将参加 比赛的 48 名选手分成 8 个小组 每组 6 人 分别进行单循环赛 第二阶段 将 8 个小组产 生的前 2 名共 16 人再分成 4 个小组 每组 4