第2章-连续信号的时域分析

第二章 连续信号的时域分析 1 第二章第二章 连续信号的时域分析连续信号的时域分析 所谓信号的时域分析 指的是整个分析过程都在时间域内进行 分析过程中所有的信 号都用以时间t为自变量的时间函数表达式或时间波形图表示 本章首先介绍几个典型的连续时间信号 以及对这些信号的基本运算 此外 连续信 号的卷积积分也是信号与系统时域分析中的基本运算 本章将详细介绍卷积积分的定义及 其运算方法 2 1 基本要求基本要求 1 基本要求 了解基本的连续信号及其相关参数和描述 了解信号的基本运算 掌握阶跃信号和冲激信号的定义 性质及作用 掌握卷积积分的定义 性质及计算 2 重点和难点 冲激信号的定义及性质 含有阶跃和冲激函数的信号的求导和求积分运算 卷积积分的计算 2 2 知识要点知识要点 1 基本的连续信号 了解正弦信号 实指数信号 复简谐信号 门信号及抽样函数信号的函数表达式 时 间波形及其相关参数 2 信号的基本运算 从数学意义上看 系统对信号的处理和变换就是对信号进行一系列的运算 一个复杂 的运算可以分解为一些基本运算的组合 本章主要了解信号的加减乘除运算 翻转平移和 尺度变换 微积分等几种基本的运算 所有运算既可以利用信号的时间函数表达式进行 也可以在时间波形图上进行运算 注意与数学上相关运算的区别 这里强调 作为信号基本运算之一的积分运算 运算结果 得到的是一个新的以 t 为自变量的函数 具体表示符号和定义为 2 1 t ftf d 1 信号与系统学习指导 2 3 阶跃信号和冲激信号 阶跃信号和冲激信号是对实际系统中的某类信号进行理想近似后得到的两个特殊信号 这两种信号用于描述一类特殊的物理现象 对于信号特性和系统性能的分析 起着十分重 要的作用 阶跃信号和冲激信号的时间波形如图 2 1 所示 Au t t0 t A t t0 t A 0t0 t0 A 0 图 2 1 在信号与系统的分析过程中 经常利用阶跃函数将分段信号的时间函数表达式统一为 一个解析表达式 以简化信号的运算 利用阶跃函数还可以方便地表示因果 非因果信号 等 由于阶跃函数和冲激函数是两个特殊的函数 因此在进行求导和求积分等运算时 必 须根据其定义和性质对函数表达式进行分析 以便化为普通函数的运算 本节公式较多 这里再将几个常用的公式和结论总结如下 1 单位斜变信号的导数等于单位阶跃信号 单位阶跃信号的导数等于单位冲激信号 即 2 1 tu tu tu tt 2 单位冲激信号的积分等于单位阶跃信号 单位阶跃信号的积分等于单位斜变信号 即 2 2 1 1 d d tt tu tututu t 此外 有 2 3 0 d 0 0 0 0 ttAu tt ttA tA t 3 对冲激信号取定积分 结果等于冲激的强度 即 2 4 AttA d 4 冲激信号的性质 尺度变换性质 2 5 1 t a at 奇偶性质 2 6 tt 筛选性质 2 7 000 tttftttf 4 卷积积分 卷积积分主要用于在时域中求解系统在给定输入作用下的零状态响应 这里首先介绍了 卷积积分的三种计算方法 即定义法 图解法和性质法 本课程重点掌握根据卷积积分的 定义和性质计算卷积积分的方法 第二章 连续信号的时域分析 3 卷积积分的定义式为 2 8 2121 d tfftftftf 卷积积分的几个主要性质总结如下 设 12 f tf tf t 则 微分性质 2 9 1212 f tf tf tf tf t 积分性质 2 10 1 1 1 1212 ftff tf tf 微积分性质 2 11 1 1 1212 f tftf tf tft 时移性质 2 12 011021 f tttf ttf tt 2 3 补充例题补充例题 例例 2 1 已知下列信号的时间函数表达式 分析并画出其时间波形 1 1 1 f tutut 2 2 1 1 f ttu ttu t 解解 1 根据阶跃信号的定义可知 1 0 0 0 t ut t 1 1 1 0 1 t ut t 则当 t 0 时 u t 1 u 1 t 1 所以 f1 t 1 1 0 当 0 t1 时 u t 0 u 1 t 0 所以 f1 t 0 0 0 最后得到 1 1 01 0 0 t f t t 2 根据阶跃信号的定义可知 1 1 1 0 1 t u t t 1 0 0 0 t u t t 则 2 0 1 1 10 11 1 t f ttt ttt 根据以上分析得到 f1 t 和 f2 t 的时间波形如图 2 2 所示 t f1 t 1 012 图 2 2 t f2 t 1 0 1 信号与系统学习指导 4 说说 明 在分析和绘制信号波形时 如果信号的时间函数表达式中含有阶跃函数 则信明 在分析和绘制信号波形时 如果信号的时间函数表达式中含有阶跃函数 则信 号的波形一般是分段的 因此必须根据阶跃函数的定义对信号的时间函数表达式进行分析 号的波形一般是分段的 因此必须根据阶跃函数的定义对信号的时间函数表达式进行分析 写成为分段函数的形式 再分别分析和绘制各段的时间波形 写成为分段函数的形式 再分别分析和绘制各段的时间波形 分析时 其中的阶跃信号一般是由基本的单位阶跃信号进行一些基本运算而得到 图分析时 其中的阶跃信号一般是由基本的单位阶跃信号进行一些基本运算而得到 图 2 32 3 分别为单位阶跃信号经过翻转 平移后得到的时间波形 分别为单位阶跃信号经过翻转 平移后得到的时间波形 t u t 1 0 图 2 3 t u t 1 1 01 t u t 1 1 0 1 t u 1 t 1 10 例例 2 2 写出图 2 4 中信号 f t 的解析表达式 解解 信号 f t 的分段函数表达式为 2 1 1 1 e 1 t t f t t 则其解析表达式可表示为 2 1 1 e 1 t f tutu t 说说 明 引入阶跃函数以后 分段信号中的各段可以用一个表明 引入阶跃函数以后 分段信号中的各段可以用一个表 达式同时表示 而不用写成为分段函数的形式 这样不仅可以在达式同时表示 而不用写成为分段函数的形式 这样不仅可以在 一定程度上简化表达式 也便于根据表达式对信号进行运算 一定程度上简化表达式 也便于根据表达式对信号进行运算 列写的一般方法是 首先得到分段函数表达式 然后将每段表示为列写的一般方法是 首先得到分段函数表达式 然后将每段表示为 12 i f t u ttu tt 的形式 其中的形式 其中 fi t 为第为第 i 段的函数表达式 段的函数表达式 t1和和 t2分别为第分别为第 i 段的起始时刻 如果段的起始时刻 如果 t1 则 则 u t t1 u t 1 如果 如果 t2 则 则 u t t2 u t 0 然后将各段的上述表达式直接相加即得 然后将各段的上述表达式直接相加即得 到信号总的时间函数表达式 到信号总的时间函数表达式 例例 2 3 写出图 2 5 所示信号的解析表达式 解解 从左向右各段的表达式分别为 1 2 1 1 1 1 f ttu tu t f tt u tu t 则 12 1 1 1 1 1 1 2 1 1 f tf tf t tu tu tt u tu t tu ttu tt u t 00 20 40 60 81 0 2 4 6 8 图 2 4 t0 1 f t t2 e 1 图 2 5 t f t 1 0 1 1 第二章 连续信号的时域分析 5 例例 2 4 已知 f t 的波形如图 2 6 a 所示 分析并画出 f 1 2t 的波形 a b 图 2 6 t 0 1 f t 1 1 1 t 0 1 f 1 2t 0 51 0 5 解解 法一 利用表达式进行变换 首先得到 f t 的表达式为 1 1 f ttt u tu t 则 1 2 1 21 1 2 1 2 1 21 22 1 2 1 2 2 0 5 1 1 2 1 2 2 fttt utut tt utut tt utut 根据阶跃信号的定义可得 0 0 0 1 02 0 02 1 2 5 0 0 5 0 1 021 0 021 1 21 t t t t tu t t t t tu 则 1 2 00 5 1 2 1 2 2 0 tt t utut 其其 根据以上分析得到 f 1 2t 的波形如图 2 6 b 所示 法二 根据波形图进行变换 由 f t 得到 f 1 2t 首先经过翻转得到 f t 再左移 t0得 到 f t t0 f t0 t 然后进行伸缩变换得到 f t0 at 将最后的结果与要求的结果 f 1 2t 比 较可知 其中 a 2 t0 1 因此 第二步实际上应是右移 1 得到 f 1 t 第三步再压缩 1 2 得 到 f 1 2t 各步变换的结果依次如图 2 7 所示 说说 明 将信号变换得到一个新的信号 如果其中同时需要经过翻转 平移和伸缩变换 明 将信号变换得到一个新的信号 如果其中同时需要经过翻转 平移和伸缩变换 由于每步只能画出一种变换后的波形 因此要注意三种变换的顺序 因为顺序不同 则变由于每步只能画出一种变换后的波形 因此要注意三种变换的顺序 因为顺序不同 则变 换过程中的参数 特别是其中平移的方向和距离 也会有所不同 中间过程中得到的波形换过程中的参数 特别是其中平移的方向和距离 也会有所不同 中间过程中得到的波形 也会有所区别 请读者采用另外几种变换顺序重新绘制 也会有所区别 请读者采用另外几种变换顺序重新绘制 此外 本例已知的此外 本例已知的 f t 中含有冲激信号 绘制波形时 对冲激进行翻转和平移与普通函中含有冲激信号 绘制波形时 对冲激进行翻转和平移与普通函 数波形相同 但是进行伸缩变换时需要用到单位冲激信号的尺度变换性质 仔细比较图中数波形相同 但是进行伸缩变换时需要用到单位冲激信号的尺度变换性质 仔细比较图中 f 1 t 和和 f 1 2t 的波形 特别注意冲激信号的变化 的波形 特别注意冲激信号的变化 信号与系统学习指导 6 图 2 7 t 0 1 f t 1 1 t 0 1 f t 1 1 1 1 t 0 1 f 1 t 1 1 2 t 0 1 f 1 2t 0 51 0 5 例例 2 5 已知 求 并画出各信号的时间波形 ttutf 1 tfty 1 2 tfty 解解 y1 t 为 f t 的一阶导数 则 1 tttuty 再利用冲激信号的筛选性质化简得到 1 tuty y2 t 为 f t 的一重积分 则 2 1 dd d 2 0 2 tuttuufty ttt 信号 f t y1 t 和 y2 t 波形如图 2 8 所示 分别称为单位斜变信号 单位阶跃信号和单 位抛物线信号 由此可见 单位阶跃信号 单位斜变信号和单位抛物线信号依次呈积分关 系 而单位阶跃信号等于单位冲激信号的积分 图 2 8 t 0 f t 1 1 t 0 y1 t 1 1 t 0 y2 t 说说 明 时间函数表达式中含有阶跃函数的信号 求导后必然含有冲激 此时需要注意明 时间函数表达式中含有阶跃函数的信号 求导后必然含有冲激 此时需要注意 利用冲激函数的筛选性质将表达式化简 利用冲激函数的筛选性质将表达式化简 求积分时 如果积分函数中出现一个函数与单位阶跃函数相乘的形式 此时应根据单求积分时 如果积分函数中出现一个函数与单位阶跃函数相乘的形式 此时应根据单 位阶跃函数的定义将积分的上下限进行相应的修改 之后即可将积分函数中的单位阶跃函位阶跃函数的定义将积分的上下限进行相应的修改 之后即可将积分函数中的单位阶跃函 数省略 从而化简为普通函数的积分 数省略 从而化简为普通函数的积分 另外需要注意的是 为保证化简前后积分结果相同 必须在化简后的积分后面再乘以另外需要注意的是 为保证化简前后积分结果相同 必须在化简后的积分后面再乘以 合适的单位阶跃函数 设化简后得到的积分上限和下限分别为合适的单位阶跃函数 设化简后得到的积分上限和下限分别为 a 和和 b 则该单位阶跃函数为 则该单位阶跃函数为 u a b 再看下例 第二章 连续信号的时域分析 7 例例 2 6 已知 求 2 2 tgtf 1 tfty 解解 y t 为 f t 的一重积分 则 2 11 d2 d 2 1 1 d 2 1 d2 1 d 21 d 1 2 1 d 1 2 1 1 2 1 1 tt t tt tt y tfg uu uu u tu t tu ttu t 请自行画出 f t 的波形 再根据波形上完成上述积分运算 并从波形图上验证上述结果 例例 2 7 已知 f1 t 和 f2 t 如图 2 9 所示 分别求 y1 t f1 t y2 t f2 t 及 1 23 tytf 解解 根据求导就是求斜率 由波形图可以直接得到 y1 t 和 y2 t 并且有 y1 t y2 t 波形 如图 2 8 所示 图 2 9 t 0 f1 t 1 1 t 0 f2 t 1 2 1 t 0 y1 t y2 t 1 1 此外 由求得 1 2 tututy 1 1 d 1 d d 1 d 23 tutttu uu uuytf tt tt 而由波形图得到 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 tf tutttu tutututtutf tutttututututtf 由此可见 而 31 tftf 1 32 tftf 说说 明 根据本例的计算结果可知 信号的微分和积分并不是完全相反的运算 也就是明 根据本例的计算结果可知 信号的微分和积分并不是完全相反的运算 也就是 说 将说 将 f2 t 求导后得到求导后得到 y2 t 但是 但是 y2 t 的积分并不等于的积分并不等于 f2 t 而是要叠加上一个直流信号 而是要叠加上一个直流信号 并且直流信号的幅度 如上例中的并且直流信号的幅度 如上例中的 1 等于原来被求导信号在 等于原来被求导信号在 t 时刻的幅度 时刻的幅度 信号与系统学习指导 8 根据以上分析 如果被求导的信号为因果信号 则微分和积分一定是可逆的 因为根据根据以上分析 如果被求导的信号为因果信号 则微分和积分一定是可逆的 因为根据 因果信号的定义 该信号在因果信号的定义 该信号在 t 时刻的幅度为时刻的幅度为 0 例如 上例中的 例如 上例中的 f1 t 其导数等于 其导数等于 y1 t 即即 y2 t 因此将 因此将 y2 t 积分后等于积分后等于 f1 t 例例 2 8 已知 f t 如图 2 10 a 所示 分析并画出 f t 的波形 解解 求导就是求斜率 由已知 f t 的波形可知 其中包括 4 段 从左向右各段的斜率分 别为 0 0 5 0 5 0 此外 f t 的波形在 t 2 和 2 位置分别有一个 1 和 1 的跳变 求导后 在同样位置分别对应两个冲激 由此得到 f t 的波形如图 2 9 b 所示 a b 图 2 10 t 0 f t 2 22 1 t 0 f t 22 0 5 1 1 说说 明 根据波形图求导两个要点 明 根据波形图求导两个要点 1 对每段分别求斜率 对每段分别求斜率 2 如果波形图上有跳变 求导后一定含有冲激 冲激的位置等于跳变的位置 冲激 如果波形图上有跳变 求导后一定含有冲激 冲激的位置等于跳变的位置 冲激 的强度等于跳变的高度 的强度等于跳变的高度 例例 2 9 已知 求 并分别画出其波形 1 f ttu t 1 tfty 解解 y t 为 f t 的一重积分 则 d 1 d 1 d d 1 0 0 01 1 1 tt tt y tfu uu ttu t t tt tt f t 和 y t 的波形如图 2 11 所示 图 2 11 t 0 f t 1 t 0 y t 1 1 1 1 第二章 连续信号的时域分析 9 说说 明 如果信号中含有冲激 在积分后得到的信号中一定含有跳变 跳变的位置等于明 如果信号中含有冲激 在积分后得到的信号中一定含有跳变 跳变的位置等于 冲激的位置 跳变的高度等于冲激的强度 冲激的位置 跳变的高度等于冲激的强度 例例 2 10 利用单位冲激信号的定义和性质计算或化简下列表达式 1 2 0 d 3 1 ttt 2 t 0 d 3 1 3 3 2 d 15 0 ett t 解解 1 101d 3 d 1 d 3 1 3 0 2 0 2 0 ttttttt 2 ttt 000 d 3 d 1 d 3 1 3 1 tutu 3 3 2 3 2 d 2 5 0 ed 15 0 etttt tt 4 3 22 3 2 e2 d 2 2ed 2 2e tttt t 说说 明 对冲激函数进行积分主要有两种典型情况 明 对冲激函数进行积分主要有两种典型情况 1 积分上下限为常数 此时积分结果为常数 积分上下限为常数 此时积分结果为常数 1 或或 0 具体取决于积分上下限与冲激 具体取决于积分上下限与冲激 的相对位置 即的相对位置 即 0 0 00 1 d 0 其 b a atb ttt tatb 2 积分上限或下限为 积分上限或下限为 t 此时积分结果是以 此时积分结果是以 t 为自变量的函数 即阶跃信号 但需注为自变量的函数 即阶跃信号 但需注 意得到的阶跃函数的自变量表示 意得到的阶跃函数的自变量表示 3 如果积分函数是某个函数与单位冲激函数的乘积 必须利用冲激的筛选性质将积 如果积分函数是某个函数与单位冲激函数的乘积 必须利用冲激的筛选性质将积 分函数化简为冲激 再根据上述两点对积分结果进行分析计算 如上例中的第分函数化简为冲激 再根据上述两点对积分结果进行分析计算 如上例中的第 3 小题 小题 例例 2 11 计算 tttttfd 2sin 解解 d 2sin d 2sin tttttttf 对右边第一项 利用筛选性质得到化简后再积分得到 0d 0d 2sin ttttt 对右边第二项 利用分部积分法得到 d 2cos 2 2sin d 2sin d 2sin tttttttttt 利用筛选性质得到 2 2cos 2 0 2sin tttttt 则 信号与系统学习指导 10 2d 2d 2sin ttttt 最后得到 220 tf 说说 明 对含有冲激偶的函数的积分 教材中式 明 对含有冲激偶的函数的积分 教材中式 2 3 11 2 3 13 给出了相关的计 给出了相关的计 算公式 实际上上例并没有直接引用这些公式的结论 而是利用数学上的分部积分法自行算公式 实际上上例并没有直接引用这些公式的结论 而是利用数学上的分部积分法自行 推导 因此这三个公式不需