常用的一些求和公式

下面是常用的一些求和公式 a1 a1 d a1 2d a1 3d d 为常数 称为公差为 d 的等差数列 与等差数列相应的级数称为等差级数 又称算术级数 通项公式 前 n 项和 等差中项 a1 a1q a1q2 a1q3 q 为常数 称为公比为 q 的等比数列 与等比数列相应的级数称为等比级数 又称几何级数 通项公式 前 n 项和 等比中项 无穷递减等比级数的和 更多地了解数列与级数 等差数列与等差级数 算术级数 等比数列等比数列 等比数列的通项公式等比数列的通项公式 等比数列求和公式等比数列求和公式 1 等比数列 a n 1 an q n N 2 通项公式 an a1 q n 1 推广式 an am q n m 3 求和公式 Sn n a1 q 1 Sn a1 1 q n 1 q a1 an q 1 q q 1 q 为比值 n 为项数 4 性质 若 m n p q N 且 m n p q 则 am an ap aq 在等比数列中 依次每 k 项之和仍成等比数列 若 m n q N 且 m n 2q 则 am an aq 2 5 G 是 a b 的等比中项 G 2 ab G 0 6 在等比数列中 首项 a1 与公比 q 都不为零 注意 上述公式中 an 表示等比数列的第 n 项 等比数列等比数列 如果一个数列从第 2 项起 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 这个数列就叫 做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常用字母 q 表示 q 0 1 等比数列的通项公式等比数列的通项公式是 An A1 q n 1 若通项公式变形为 an a1 q q n n N 当 q 0 时 则可把 an 看作自变量 n 的函数 点 n an 是曲线 y a1 q q x 上的一群孤立的点 2 等比数列求和公式等比数列求和公式 Sn nA1 q 1 Sn A1 1 q n 1 q a1 a1q n 1 q a1 an q 1 q a1 1 q a1 1 q q n 即 A Aq n 前提 q 1 任意两项 am an 的关系为 an am q n m 3 从等比数列的定义 通项公式 前 n 项和公式可以推出 a1 an a2 an 1 a3 an 2 ak an k 1 k 1 2 n 4 等比中项 aq ap ar 2 ar 则为 ap aq 等比中项 记 n a1 a2 an 则有 2n 1 an 2n 1 2n 1 an 1 2n 1 另外 一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列 反之 以任 一个正数 C 为底 用一个等差数列的各项做指数构造幂 Can 则是等比数列 在这个意义 下 我们说 一个正项等比数列与等差数列是 同构 的 等比中项定义 从第二项起 每一项 有穷数列和末项除外 都是它的前一项与后一 项的等比中项 5 无穷递缩等比数列各项和公式 无穷递缩等比数列各项和公式 对于等比数列 的前 n 项和 当 n 无限增大时的极限 叫做这个无穷递缩数列的各项和 编辑本段 性质 若 m n p q N 且 m n p q 则 am an ap aq 在等比数列中 依次每 k 项之和仍成等比数列 G 是 a b 的等比中项 G 2 ab G 0 若 an 是等比数列 公比为 q1 bn 也是等比数列 公比是 q2 则 a2n a3n 是等比数列 公比为 q1 2 q1 3 can c 是常数 an bn an bn 是等比数列 公比为 q1 q1q2 q1 q2 4 按原来顺序抽取间隔相等的项 仍然是等比数列 5 等比数列中 连续的 等长的 间隔相等的片段和为等比 6 若 an 为等比数列且各项为正 公比为 q 则 log 以 a 为底 an 的对数 成等 差 公差为 log 以 a 为底 q 的对数 7 等比数列前 n 项之和 Sn A1 1 q n 1 q A1 q n 1 q 1 A1q n q 1 A1 q 1 8 数列 An 是等比数列 An pn q 则 An K pn K 也是等比数列 在等比数列中 首项 A1 与公比 q 都不为零 注意 上述公式中 A n 表示 A 的 n 次方 6 由于首项为 a1 公比为 q 的等比数列的通向公式可以写成 an q a1 q n 它的指数 函数 y a x 有着密切的联系 从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列 求等比数列通项公式 an 的方法 1 待定系数法 已知 a n 1 2an 3 a1 1 求 an 构造等比数列 a n 1 x 2 an x a n 1 2an x a n 1 2an 3 x 3 所以 a n 1 3 an 3 2 an 3 为首项为 4 公比为 2 的等比数列 所以 an 3 a1 q n 1 4 2 n 1 an 2 n 1 3 编辑本段 等比数列的应用 等比数列在生活中也是常常运用的 如 银行有一种支付利息的方式 复利 即把前一期的利息和本金加在一起算作本金 在计算下一期的利息 也就是人们通常说的利滚利 按照复利计算本利和的公式 本利和 本金 1 利率 存期 等比数列小故事 根据历史传说记载 国际象棋起源于古印度 至今见诸于文献最早的记录是在萨珊王 朝时期用波斯文写的 据说 有位印度教宰相见国王自负虚浮 决定给他一个教训 他向 国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏 国王当时整天被一群溜须拍马的大臣们包围 百无聊赖 很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情 国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣 高兴之余 他便问那位宰相 作为 对他忠心的奖赏 他需要得到什么赏赐 宰相开口说道 请您在棋盘上的第一个格子上放 1 粒麦子 第二个格子上放 2 粒 第三个格子上放 4 粒 第四个格子上放 8 粒 即每一 个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的倍数 直到最后一个格子第 64 格放满为止 这样我就十分满足了 好吧 国王哈哈大笑 慷慨地答应了宗师的这 个谦卑的请求 这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢 稍微算一下就可以得出 1 2 2 2 2 3 2 4 2 63 2 64 1 直接写出数字来就是 18 446 744 073 709 551 615 粒 这位宰相所要求的 竟是全世界在两千年内所产 的小麦的总和 如果造一个宽四米 高四米的粮仓来储存这些粮食 那么这个粮仓就要长三亿千米 可以绕地球赤道 7500 圈 或在日地之间打个来回 国王哪有这么多的麦子呢 他的一句慷慨之言 成了他欠宰相西萨 班 达依尔的一笔 永远也无法还清的债 正当国王一筹莫展之际 王太子的数学教师知道了这件事 他笑着对国王说 陛下 这个问题很简单啊 就像 1 1 2 一样容易 您怎么会被它难倒 国王大怒 难道你要我 把全世界两千年产的小麦都给他 年轻的教师说 没有必要啊 陛下 其实 您只要让 宰相大人到粮仓去 自己数出那些麦子就可以了 假如宰相大人一秒钟数一粒 数完 18 446 744 073 709 551 615 粒麦子所需要的时间 大约是 5800 亿年 大家可以 自己用计算器算一下 就算宰相大人日夜不停地数