高中数学概率 重点问题探讨

第 1 页 共 8 页 高中数学中古典概率应用上之易错处探究高中数学中古典概率应用上之易错处探究 一 基本概念一 基本概念 1 1 分类计数原理 分类计数原理 n mmmN 21 2 2 分步计算原理 分步计算原理 n mmmN 21 3 3 排列 排列 一般地 从一般地 从个元素中取出个元素中取出个元素 个元素 按照一定的 按照一定的顺序顺序排成排成nmnm 一列 一列 叫做从叫做从个元素中取出个元素中取出个元素的一个排列 从个元素的一个排列 从个元素中取出个元素中取出个元素 个元素 nmnm 的所有排列的个数 叫做从 的所有排列的个数 叫做从个不同元素中取出个不同元素中取出个元素的排列数 用符号个元素的排列数 用符号nm nm 表示 表示 m n A 1 2 1 mnnnnAm n 4 4 组合 一般地 从 组合 一般地 从个不同元素中取出个不同元素中取出个元素 个元素 并成一组 叫做 并成一组 叫做nmnm 从从个元素中取出个元素中取出个元素的一个组合 从个元素的一个组合 从个元素中取出个元素中取出个元素的所有组合的个个元素的所有组合的个nmnm 数 叫做从数 叫做从个不同元素中取出个不同元素中取出个元素的组合数 用符号个元素的组合数 用符号表示 表示 nm m n C 1 2 1 m mnnnn A A C m m m nm n 5 5 必然事件 在一定的条件下必然要发生的事件 必然事件 在一定的条件下必然要发生的事件 6 6 不可能事件 在一定的条件下不可能发生的事件 不可能事件 在一定的条件下不可能发生的事件 7 7 随机事件 在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件 随机事件 在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件 8 8 在相同的条件下 进行了 在相同的条件下 进行了次试验 在这次试验 在这次试验中 事件次试验中 事件发生的次数发生的次数nnA 称为事件称为事件发生的发生的频数频数 比值 比值称为事件称为事件发生的频率 发生的频率 A nA n nA A 9 9 一般地 在大量重复进行同一实验时 事件 一般地 在大量重复进行同一实验时 事件发生的频率发生的频率总是接近于某总是接近于某A n nA 个常数 在它附近摆动 这时就把这个常数个常数 在它附近摆动 这时就把这个常数叫做事件叫做事件的频率 记作的频率 记作 且一次实 且一次实A AP 验验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件 通常此试验中的某一个事件连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件 通常此试验中的某一个事件 由几个基本事件组成 如果一次实验中可能出现的结果有由几个基本事件组成 如果一次实验中可能出现的结果有个 即此实验由个 即此实验由个基个基Ann 本事件组成 而且所有结果出现的可能性相等 那么每一个基本事件的概率都是本事件组成 而且所有结果出现的可能性相等 那么每一个基本事件的概率都是 n 1 如果某个事件如果某个事件包含的结果有包含的结果有个 那么事件个 那么事件的概率的概率AmA n m AP 第 2 页 共 8 页 二 重点问题剖析二 重点问题剖析 1 1 有放回摸球有放回摸球 与与 无放回摸球无放回摸球 有放回摸球有放回摸球 与与 无放回摸球无放回摸球 主要有以下区别 主要有以下区别 1 1 无放回摸球主要是指每次摸出的球放在袋外 下次再摸球时总数比前次少一 无放回摸球主要是指每次摸出的球放在袋外 下次再摸球时总数比前次少一 而有放回的摸球是每次摸出一球放在袋内 下次再摸球时袋内球的总数不变 而有放回的摸球是每次摸出一球放在袋内 下次再摸球时袋内球的总数不变 2 2 无放回摸球无放回摸球 各次抽取不是相互独立的 而各次抽取不是相互独立的 而 有放回摸球有放回摸球 每次是相互独立每次是相互独立 的 下面通过一个例题来进一步的说明的 下面通过一个例题来进一步的说明 无放回摸球无放回摸球 与与 有放回摸球有放回摸球 的区别 的区别 例例 1 1 袋中有袋中有 1 1 2 2 3 3 号球各一个 采用号球各一个 采用 无放回 无放回 有放回的两种方式有放回的两种方式N 摸球 试求在第摸球 试求在第次摸球时首先摸到一号球的概率 次摸球时首先摸到一号球的概率 k 解 解 设设为事件为事件 第第 i i 次摸到一号球次摸到一号球 i B 2 1 ki 无放回摸球无放回摸球 若把若把次摸出的次摸出的个球排成一排 则从个球排成一排 则从个球任取个球任取个球的每个排列就是一个基本个球的每个排列就是一个基本kkNk 事件 因此基本事件的总数为以数码事件 因此基本事件的总数为以数码 1 1 2 2 中任取中任取个数码的排列数 个数码的排列数 Nk k N Pn 下面求事件下面求事件包含的基本事件数包含的基本事件数 事件 事件可分两步完成 先在第可分两步完成 先在第个位置上排上个位置上排上 1 1 k Bm k Bk 号球 只有一种排法 再在前号球 只有一种排法 再在前个位置排其它个位置排其它个球 共有个球 共有种排法 由乘法种排法 由乘法1 k1 N 1 1 k N P 原理知 事件原理知 事件包含的基本事件数为包含的基本事件数为 k B 1 1 1 1 1 k N k N PPm 从而从而 NP P n m BP k N k N k 1 1 1 有放回的摸球有放回的摸球 因为有放回摸球 每次袋中都有因为有放回摸球 每次袋中都有个球 共摸个球 共摸次 故共有次 故共有种可能结果 既基种可能结果 既基Nk k N 本事件总数为本事件总数为 事件 事件可分为两步完成 前可分为两步完成 前次未摸到次未摸到 1 1 号球 共有号球 共有 k Nn k B1 k 于是 于是 1 k Nm k k r N N n m BP 1 1 分析 对于有放回摸球与无放回摸球题型 在审题时一定要注意是有放回还是无分析 对于有放回摸球与无放回摸球题型 在审题时一定要注意是有放回还是无 放回 然后根据题意来考虑排列与组合的应用 总之 一定要抓住题目的隐含条件与放回 然后根据题意来考虑排列与组合的应用 总之 一定要抓住题目的隐含条件与 已知条件的关系 所要求的问题与已知条件之间的连接点 这样才能够很快的解决问已知条件的关系 所要求的问题与已知条件之间的连接点 这样才能够很快的解决问 题而不至于错误 题而不至于错误 第 3 页 共 8 页 2 2 隔板法隔板法 隔板法是插空法的一种特殊情况 它的使用非常广泛 能解决一大类组合问题 隔板法是插空法的一种特殊情况 它的使用非常广泛 能解决一大类组合问题 下面用一个具体的例子来说明它的使用的优越性 下面用一个具体的例子来说明它的使用的优越性 例例 2 2 将将 9 9 个相同的小球放到六个不同的盒子里 每个盒子至少放一个球 有多少个相同的小球放到六个不同的盒子里 每个盒子至少放一个球 有多少 种不同放法 种不同放法 解法一 先在盒子里各放一个球 再把剩下的解法一 先在盒子里各放一个球 再把剩下的 3 3 个球放到个球放到 6 6 个盒子里 分三类 个盒子里 分三类 3 3 个球放到一个盒子里 有个球放到一个盒子里 有种放法 种放法 1 6 C 3 3 个球放到两个盒子里 球数分别为个球放到两个盒子里 球数分别为 2 2 1 1 共 共种放法 种放法 2 6 P 3 3 个球放到个球放到 3 3 个盒子里 每个盒子各一个球 共个盒子里 每个盒子各一个球 共种放法 根据分类计数原理 种放法 根据分类计数原理 3 6 C 共有共有种放法 种放法 56 2 6 2 6 1 6 CPC 解法二 隔板法 把解法二 隔板法 把 6 6 个盒子看做由平行的个盒子看做由平行的 7 7 个隔板组成的 每一个满足要求个隔板组成的 每一个满足要求 的放法 相当于的放法 相当于 9 9 个小球和个小球和 7 7 个隔板的一个排列 其中个隔板的一个排列 其中 2 2 个隔板在两头 任何个隔板在两头 任何 2 2 个隔个隔 板之间至少有板之间至少有 1 1 个球 既任何个球 既任何 2 2 个隔板不相邻 个隔板不相邻 把两头的 把两头的 2 2 个隔板拿掉 每一个满足个隔板拿掉 每一个满足 要求的放法还相当于再排成一列的要求的放法还相当于再排成一列的 9 9 个小球间个小球间 8 8 个空档中插入个空档中插入 5 5 个隔板 不同的放球个隔板 不同的放球 方法即插隔板的方法 共有方法即插隔板的方法 共有种 种 56 5 8 C 分析 对于用隔板法解决概率问题 一般都是将问题的思考角度进行转化 使问分析 对于用隔板法解决概率问题 一般都是将问题的思考角度进行转化 使问 题从多向思维向单一思维转化 然后把问题的本质找出来进行剖析 问题自然就很好题从多向思维向单一思维转化 然后把问题的本质找出来进行剖析 问题自然就很好 理解了 上述解法理解了 上述解法 2 2 应用了对应的方法 转化为插空问题 计算比较简单 但不易理应用了对应的方法 转化为插空问题 计算比较简单 但不易理 解 等理解透彻后 就会发现隔板法是非常好用的 是具有普适性的方法 但一定要解 等理解透彻后 就会发现隔板法是非常好用的 是具有普适性的方法 但一定要 注意的是应用此法的前提是小球是完全相同 不加区分 注意的是应用此法的前提是小球是完全相同 不加区分 盒子是不同的 每个盒子至 盒子是不同的 每个盒子至 少放一球 少放一球 例例 3 3 要从高一年级要从高一年级 8 8 个班中产生个班中产生 1212 学生代表 每个班至少产生一名代表 则代学生代表 每个班至少产生一名代表 则代 表名额的分配的方案至少有多少种表名额的分配的方案至少有多少种 解 这个问题如果用原始的方法来分析 是比较麻烦的额 但如果转化问题的角解 这个问题如果用原始的方法来分析 是比较麻烦的额 但如果转化问题的角 度 用度 用 隔板法隔板法 来理解 这个问题就容易解决了 把来理解 这个问题就容易解决了 把 1212 个名额看做个名额看做 1212 个相同小球 个相同小球 8 8 个班看做个班看做 8 8 个不同的盒子 用隔板法知道名额分配方法共有个不同的盒子 用隔板法知道名额分配方法共有种 种 7 11 C 3 3 分组问题分组问题 分组问题时排列组合中的一个难点 主要有以下两种情况 分组问题时排列组合中的一个难点 主要有以下两种情况 1 1 非平均分组问题 非平均分组问题 在非平均分组问题中 不管是给出组名或不给出组名 其分组的方法相同 在非平均分组问题中 不管是给出组名或不给出组名 其分组的方法相同 例例 4 4 把把 1212 人分成如下三组 分别求出以下各种分组的方法数 人分成如下三组 分别求出以下各种分组的方法数 分成甲 乙 丙三组 其中甲组分成甲 乙 丙三组 其中甲组 7 7 人 乙组人 乙组 3 3 人 丙组人 丙组 2 2 人 人 分成三组 其中一组分成三组 其中一组 7 7 人 一组人 一组 3 3 人 一组人 一组 2 2 人 人 解 解 先从先从 1212 人中任选人中任选 7 7 人为甲组 余下人为甲组 余下 5 5 人中任选人中任选 3 3 人为乙组 剩下人为乙组 剩下 2 2 人为丙人为丙 组 则共有组 则共有种不同的方法 种不同的方法 2 2 3 5 7 12 CCC 第 4 页 共 8 页 先从先从 1212 人中任选人中任选 7 7 人为一组有人为一组有种选法 再从余下种选法 再从余下 5 5 人中任选人中任选 3 3 人有人有种选种选 7 12 C 3 5 C 法 剩下的两人为一组 共有法 剩下的两人为一组 共有种不同的选法 种不同的选法 2 2 3 5 7 12 CCC 分析 在第一个问题中 学生很容易受到干扰 就是对于甲 乙 丙三组 和分分析 在第一个问题中 学生很容易受到干扰 就是对于甲 乙 丙三组 和分 成三组时否需要乘以成三组时否需要乘以的问题 但是由于各组的人数不同 这个问题属于非平均分组的问题 但是由于各组的人数不同 这个问题属于非平均分组 3 3 A 问题 虽然第一小问给出了分组的名称 但是这个并不影响最后的结果 它们的分组问题 虽然第一小问给出了分组的名称 但是这个并不影响最后的结果 它们的分组 方法都是一样的 方法都是一样的 2 2 平均分分组问题 平均分分组问题 分析 上面的非平均分组问题中 是否给出组名对结果没有影响 但在平均分组分析 上面的非平均分组问题中 是否给出组名对结果没有影响 但在平均分组 问题中一定要注意问题是否给出了具体的组名 它们的结果是不同的 问题中一定要注意问题是否给出了具体的组名 它们的结果是不同的 例例 5 5 有有 6 6 本不同的书 按下列要求分配 各有多少种分发 本不同的书 按下列要求分配 各有多少种分发 分给甲 乙 丙三人 每人分给甲 乙 丙三人 每人 2 2 本 本 平均分成三份 平均分成三份 解 解 从从 6 6 本书中任取本书中任取 2 2 本给一个人 再从剩下的本给一个人 再从剩下的 4 4 本中取本中取 2 2 本给另外一个人 本给另外一个人 剩下的剩下的 2 2 本给最后一个人 共有本给最后一个人 共有种分法 种分法 222 642 90C C C 设平均分成三堆有设平均分成三堆有 x x 种分法 在分给甲乙 丙三人每人各种分法 在分给甲乙 丙三人每人各 2 2 本 则应有本 则应有 种分法 所以有种分法 所以有 种不同的分法 种不同的分法 3222 3642 xAC C C 222 642 3 3 C C C x A 说明 上面例子中可以看出 两个问题都是分成三堆 每堆两本 属于平均分组说明 上面例子中可以看出 两个问题都是分成三堆 每堆两本 属于平均分组 问题 而 问题 而 1 1 分到甲 乙 丙三人 属于到位问题 相当于给出了甲 乙 丙三个指 分到甲 乙 丙三人 属于到位问题 相当于给出了甲 乙 丙三个指 定的组 但 定的组 但 2 2 没有给出组名 因而是不同的 没有给出组名 因而是不同的 规律 一般地 把规律 一般地 把个元素平均分到个元素平均分到个不同的位置 有个不同的位置 有种种nmm 1 2 nnnn nmn mnn C CCC 方法 把方法 把个不同元素平均分成个不同元素平均分成组有组有种分法 种分法 nmm 1 2 nnnn nmn mnn C CCC m 4 4 圆排列与重复组合问题圆排列与重复组合问题 1 1 圆排列 圆排列 定义定义 1 1 从 从个不同的元素中任取个不同的元素中任取个 按照一定的顺序排成圆形 叫做一个 按照一定的顺序排成圆形 叫做一n m mn 个圆排列 个圆排列 定义定义 2 2 从 从个不同的元素中取出个不同的元素中取出个元素的所有圆排列的个数 叫做圆排个元素的所有圆排列的个数 叫做圆排n m mn 列数 用符号列数 用符号表示 表示 m n R 例例 6 6 5 5 个朋友坐在圆桌周围时 席位排列方法有几种 个朋友坐在圆桌周围时 席位排列方法有几种 解 设解 设 5 5 个人分别为个人分别为 a a b b c c d d e e 把他们排成一排时 排列的数目是 把他们排成一排时 排列的数目是 5 5 排 排 成圆形时 像下图那样只是转了一个地方的排法被看做是一样的 所以根据乘法原理成圆形时 像下图那样只是转了一个地方的排法被看做是一样的 所以根据乘法原理 得 得 第 5 页 共 8 页 5 5 55 R 所以所以 5 5 5 24 5 R 答 席位的排列方法有答 席位的排列方法有 2424 种 种 命题命题 1 1 n n 个不同的元素的圆排列数个不同的元素的圆排列数 1 n n Rn 例例 7 7 有有 6 6 名同学做成一圆圈做游戏 有多少种做法 名同学做成一圆圈做游戏 有多少种做法 解解 据命题一 据命题一 种 种 6 6 6 1 120R 答 共有答 共有 120120 种 种 C BA E D A B E D E A D C D E C B C D B A B C A E 命题命题 2 2 从 从个元素中取出个元素中取出个元素的圆排列数个元素的圆排列数 n m mn 1 mm nn RCm 证明 从证明 从个不同元素中取出个不同元素中取出个元素的组合数为个元素的组合数为种 而将这种 而将这个元素排成圆个元素排成圆nm m n Cm 形由命题形由命题 1 1 共有共有种方法 于是由乘法原理得种方法 于是由乘法原理得 1 m 1 mm nn RCm 2 2 重复组合 重复组合 定义定义 3 3 从 从个不同的元素中任取个不同的元素中任取个元素 元素可以重复选取 不管怎样的顺序个元素 元素可以重复选取 不管怎样的顺序nm 并成一组 叫做重复组合 并成一组 叫做重复组合 定义定义 4 4 从 从个不同的元素中取出个不同的元素中取出个元素的所有重复组合的个数 叫做重复组合个元素的所有重复组合的个数 叫做重复组合nm 数 用符号数 用符号表示 表示 m n H 例例 8 8 有有 5 5 个数个数 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 同一个数允许选用任意次 求从中选出 同一个数允许选用任意次 求从中选出 3 3 个的重个的重 复组合数 复组合数 解 如果从解 如果从 5 5 个中选出个中选出 3 3 个时 选的都是不同的数 那么很明显组合数为个时 选的都是不同的数 那么很明显组合数为 但 但 3 5 C 是同一个数允许选用任意次 因此像 是同一个数允许选用任意次 因此像 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 4 4 4 4 5 5 的组合的组合 也应在算内 所以要想办法 把问题转化成选取的全是不同元素的问题 为了把上述也应在算内 所以要想办法 把问题转化成选取的全是不同元素的问题 为了把上述 第 6 页 共 8 页 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 4 4 4 4 5 5 改成全是不同的数 先把这些数按从小到大的顺 改成全是不同的数 先把这些数按从小到大的顺 序排列起来得到 序排列起来得到 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 4 4 4 4 5 5 然后第一个数不 然后第一个数不 变 在第二个变 在第二个 数上加数上加 1 1 在第三个数上加 在第三个数上加 2 2 这就变成 这就变成 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 4 4 4 4 6 6 7 7 一般地一般地 可以证明左右两边是一一对应的 左右各有一组 可以证明左右两边是一一对应的 左右各有一组 2 1 cbacba 互相对应 一组不能和两组以上对应 互相对应 一组不能和两组以上对应 这样 这样 中即使有相同的元素 在上述的中即使有相同的元素 在上述的 a b c 一一对应中 也能够改变成没有相同的元素组 所以从整体上来说 结果就成了从一一对应中 也能够改变成没有相同的元素组 所以从整体上来说 结果就成了从 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 的的 7 7 个数中选取个数中选取 3 3 个不同的元素的组合问题了 即个不同的元素的组合问题了 即 33 57 7 6 5 35 1 2 3 HC 答 从答 从 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 中选取中选取 3 3 个数的重复组合数为个数的重复组合数为 3535 命题命题 3 3 从 从 n n 个不同的元素中选取出个不同的元素中选取出 m m 个元素的重复组合数为个元素的重复组合数为 1 mm nn m HC 例例 9 9 从从 3 3 5 5 7 7 1111 这这 4 4 个质数中任取两个相乘 同一个数允许重复使用 可以个质数中任取两个相乘 同一个数允许重复使用 可以 得到多少个不相同的乘积 得到多少个不相同的乘积 解 根据命题解 根据命题 3 3 有 有 个 个 32 44 2 1 10HC 答 可以得到答 可以得到 1010 个不相等的乘积 个不相等的乘积 分析 圆排列和重复组合问题时高考中的难点 学生在平时的理解过程中往往也分析 圆排列和重复组合问题时高考中的难点 学生在平时的理解过程中往往也 存在很多的理解上的问题 主要是因为他们在平时的训练当中已经习惯性的接受了全存在很多的理解上的问题 主要是因为他们在平时的训练当中已经习惯性的接受了全 排列和不重复组合的很多的例题 导致了思维的本能反应而导致错误 老师在讲解这排列和不重复组合的很多的例题 导致了思维的本能反应而导致错误 老师在讲解这 两个知识点的时候最好能够重新给学生建立相应的知识体系 在讲完这一个知识点以两个知识点的时候最好能够重新给学生建立相应的知识体系 在讲完这一个知识点以 后再与前两个知识点进行相应的对照理解和学习 这样可能更好的促进教学 学生也后再与前两个知识点进行相应的对照理解和学习 这样可能更好的促进教学 学生也 能够很好的接受 能够很好的接受 5 5 连排与间隔排连排与间隔排 1 1 排列中的排列中的 连排连排 问题 我们称要求某些元素必须排在一起的排列问题为问题 我们称要求某些元素必须排在一起的排列问题为 连连 排排 问题 问题 例例 1010 某班有学生某班有学生 3838 人 其中男生人 其中男生 2424 人 女生人 女生 1414 人 现将他们排成一排 女生人 现将他们排成一排 女生 必须排在一起的排法有多少种 必须排在一起的排法有多少种 我们称要求某些元素必须排在一起的排列问题为我们称要求某些元素必须排在一起的排列问题为 连排连排 问题 问题 解 由于解 由于 1414 名学生必须排在一起 所以我们可以将名学生必须排在一起 所以我们可以将 1414 名学生看成名学生看成 1 1 个个 人人 把 把 3838 人的排列问题看成人的排列问题看成 24 1 2524 1 25 人的问题 共有人的问题 共有种 再考虑到种 再考虑到 1414 名学生之间的排法名学生之间的排法 25 25 P 因此女生必须排在一起的排法种数为 因此女生必须排在一起的排法种数为种 种 14 14 P 2514 2514 P P 一般地 在一般地 在个不同的元素中 某个不同的元素中 某个元素排在一起的排法种数有个元素排在一起的排法种数有种 种 nk 1 1 n kk n kk PP 例例 1111 某班有某班有 3838 名同学 其中第一组的名同学 其中第一组的 1212 名同学必须排在一起且第一组中的名同学必须排在一起且第一组中的 5 5 名女同学又必须排在一起的排列方法有多少种 名女同学又必须排在一起的排列方法有多少种 解 将第一组的解 将第一组的 1212 名同学看成一个名同学看成一个 人人 将 将 3838 名同学的排列问题看成名同学的排列问题看成 2727 人的人的 第 7 页 共 8 页 排列的问题 共有排法排列的问题 共有排法种 再考虑到种 再考虑到 1212 名同学的排列方法 依照例名同学的排列方法 依照例 1 1 可知第一 可知第一 27 27 P 组的组的 1212 名同学要求名同学要求 5 5 名女生排在一起的排法共有名女生排在一起的排法共有种 因此总的排法种数有种 因此总的排法种数有 85 85 P P 种 种 2785 2785 P P P 命题命题 4 4 一般地 一般地 个不同元素的排列中 某个不同元素的排列中 某个元素必须排在一起的且在这个元素必须排在一起的且在这个个nkk 元素中的某元素中的某 个元素有必须排在一起的排法共有个元素有必须排在一起的排法共有种 种 l 11 11 n kk lk n kk lk PPP 分析 分析 连排连排 问题的类型很多 不可能一一例举 处理问题的类型很多 不可能一一例举 处理 连排连排 问题的基本方问题的基本方 法 就是将要求排列在一起的元素看成一个整体 将它作为一个元素放到问题中去处法 就是将要求排列在一起的元素看成一个整体 将它作为一个元素放到问题中去处 理 之后再考虑这个整体的内部排列 理 之后再考虑这个整体的内部排列 2 2 间隔排间隔排 问题问题 我们称要求某些元素中的任何两个都不能排列在一起的排列问题为我们称要求某些元素中的任何两个都不能排列在一起的排列问题为 间隔排间隔排 问问 题 例题 例 1212 某班有某班有 5959 名同学 其中第一小组有名同学 其中第一小组有 1414 名 现将他们排成一排且要求名 现将他们排成一排且要求 第一小组的任何两名同学都不排在一起的排法有多少种 第一小组的任何两名同学都不排在一起的排法有多少种 解 首先将不要求间隔的同学先排列有解 首先将不要求间隔的同学先排列有种排法 然后再将要求间隔排的同学插种排法 然后再将要求间隔排的同学插 45 45 P 入已排的入已排的 4545 位同学的位同学的 4646 个空档 包括两头 中去 有个空档 包括两头 中去 有种插入方法 所以总的排法种插入方法 所以总的排法 14 46 P 种数共有种数共有种 种 1445 4645 P P 命题命题 5 5 一般地 在 一般地 在 n n 个不同元素的排列中 某个不同元素的排列中 某个元素中的任何两个元个元素中的任何两个元 1 2 n k k 素不排列在一起的排法有素不排列在一起的排法有种 种 1 n kk n kn k PP 例例 1313 现有数字现有数字 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 用它们 不重复 可组成多少个各位上奇偶 用它们 不重复 可组成多少个各位上奇偶 相间的六位数 相间的六位数 解 首先将解 首先将 1 1 3 3 5 5 先排共有先排共有种排法 再将种排法 再将 2 2 4 4 6 6 插入已排的插入已排的 1 1 3 3 5 5 的空的空 3 3 P 档中去 考虑到奇偶数字要相间排列 故只有两大插法 在档中去 考虑到奇偶数字要相间排列 故只有两大插法 在 2 2 4 4 6 6 之间还要考虑顺之间还要考虑顺 序关系 所以插法共有序关系 所以插法共有种 故可组成种 故可组成个奇偶相间的六位数 个奇偶相间的六位数 3 3 2P 33 33 2P P 分析 处理分析 处理 间隔排间隔排 问题的基本方法是将不要求间排的元素先排 之后再考虑问题的基本方法是将不要求间排的元素先排 之后再考虑 将要求间隔排的元素插入已排元素的空档中间去 将要求间隔排的元素插入已排元素的空档中间去 2 3 62 3 6 重复计算或者漏计算重复计算或者漏计算 求解排列组合问题时 常有遗漏或重复的情况 导致解答错误 下面将求解排列组求解排列组合问题时 常有遗漏或重复的情况 导致解答错误 下面将求解排列组 合问题时几类常见的错误进行分析 以引起注意 合问题时几类常见的错误进行分析 以引起注意 1 1 对一些数学概念的意义把握不准 出现遗漏或重复 对一些数学概念的意义把握不准 出现遗漏或重复 例例 1414 数数 23102310 有多少个正约数 有多少个正约数 错解 因为错解 因为 所以从这 所以从这 5 5 个质数中分别取个质数中分别取 1 1 个 取个 取 2 2 个 取个 取1175322310 3 3 个 取个 取 4 4 个 取个 取 5 5 个的积都是个的积都是 23102310 的正约数 故正约数有的正约数 故正约数有 个 个 12345 55555 31CCCCC 第 8 页 共 8 页 分析 上述解法其实有遗漏 原因对正约数的概念掌握不深入 所谓的正约数是分析 上述解法其实有遗漏 原因对正约数的概念掌握不深入 所谓的正约数是 指 若有一个正约数指 若有一个正约数 此处的整数指正整数 此处的整数指正整数 使得整数 使得整数与与之间适合之间适合 则 则cabbca 称称可整除可整除 记作 记作 这时 这时称为称为的倍数 的倍数 称为称为的约数 因为的约数 因为 1 23101 2310 所 所babaabba 以以 1 1 也是也是 23102310 的一个正约数 所以正确的解答为的一个正约数 所以正确的解答为 个 个 12345 55555 132CCCCC 2 2 对题意要求或约束条件考虑不周 出现遗漏或重复或者不符题意的解答 对题意要求或约束条件考虑不周 出现遗漏或重复或者不符题意的解答 例例 1515 用数字用数字 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 组成没有重复数字的数 能够组成多少个大于组成没有重复数字的数 能够组成多少个大于 24013524